高职高等数学教案
-
.
.
湄洲湾职业技术学院
.
高等数学
（理论）教案
系
部：
基础部
任课教师：
蔡高明
教师职称：
讲师
授课对象：
动漫
142
课程学时：
60
学年学期：
2014
——
2015
学年第一学期
zyzl
. .
.
.
第
1
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.9.25(
第四周
星期四
)
第一章
函数与极限
§
1
函数
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法；
2
、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。
教学方法、手段：
讲授法，师生互动，板书，课件展示
教学重点、难点：
重点、定义域的求解；函数的几种特性；
难点、定义域的求解；奇偶性的判断。
教学内容及过程设计
补
充
内
容
和
< br>时间分配
（
5
分钟）
（
15
分钟）
（
10
分钟）
（
10
分钟）
一、
新教程序言
为什么要重视数学学习
（
1
）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是
现代社会文
明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；
（
2
）开发大脑——数
学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面
的作用；
（
3
）知识技术——数学
知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一
种能力和技术；
（
4
）智慧开发——
数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续
发展的动力。
二、讲授新课
先
介绍变量、区间以及领域的概念，然后利用现实生活中的一个实例（匀速运动）
，
引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学生们认真听课。顺利引
出函数。
1
、函数
的定义（课件展示（或板书）
）
说明
：函数是变量间的一种对应关系（单值对应），函数的表达式如下：
< br>y
f
(
x
)
,
x
D
(1)
定
义域：自变量的取值集合（
D
）。
(2)
值域：函数值的集合，即
y
0
y
x
x
f
(
x
0
)
< br>。
0
2
、函数的二要素（板书）
构成函数的两个重要因素：定义域和对应法则。
如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。
（熟
记）
注意：为了使定义域在数学上有意义，要求，
（１）分母不能为０。如
f
(
x
)
1
时<
/p>
x
.
zyzl
. .
.
. <
/p>
（２）偶次根号下非负。如
f
(
x
)
x
时
x
（３）对数的真数大
于０。如
f
(
x
)
ln
（４）正切符号下的式子不等于
k
2
,
k
Z
。
（５）余切符号下的式子不等于
k
,
k
Z
。
（６）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等
于
1
。
1<
/p>
例
1
求函数
y<
/p>
的定义域。
2
x
4
例<
/p>
2
确定函数
f
(
x
)
3
2
x
x
2
ln(
x
2
)
的定义域。
说明：
根据学
生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解
和掌握。
3
、函数的表示方法
通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该
函数，加强学生对函数的表示方法的理解。
4
、分段函数
分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。
例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。
分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集
。
注意：
求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围
，再按照其对应的式
子进行计算。
点
评
：通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识
5
、
函数常见的几种基本特性（课件展示，板书辅助）
函数常见的四种基本特性：奇偶性，周期性，单调性，有界性。
讲解思路：
（
1
）给出奇偶函数的图形，对比性地进行讲解；
（
2
）通过例题讲解，示范最小正周期的求解方法
（
3
）给出一些函数，提问学生函数是
否有界。
三、例题分析
例
1
y
sin
x
的定义
域为
(
,
)
，值域为
[
1
,
1
]
。
例
2
y
1
x
的定义域为
[
1
,
)
，值域为
[
0
,
<
/p>
)
。
1
,
x
0
例
3
设
f
(
x
)
0
,
x
0
，求
f
(
2
)
，
f
(
0
)
和
f
(
2
)
。
1
,
< br>x
0
解
f
(
2
)
1
，<
/p>
f
(
0
)
0
，
f
(
2
)
1
。
注意：
求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所
在范围，再按照其对应的式
子进行计算。
四、课堂小结
1.
函数的定义及函数的二要素：定义域，对应法则；
.
zyzl
. .
（
10
分钟）
（
10
分钟）
（
10
分钟）
（
15
分钟）
（
5
分钟）
.
.
2.
函数的特性：有界性，单调性，奇偶性，
周期性；
师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1
、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？
[
定义域、对应法则
]
2
、两个函数相同的条件有那些？
[
定义域、对应法则都相同时两函数相同
]
2
、思考函数的几种特性的几何意义？
[
奇偶性、单调性、周期性、有界性
]
作业题：
P10
：习题
1.1
（
3
）
（
4
）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
2
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.9.27(
第四周
星期六
)
第一章、函数与极限
§
2
初等函数、数列的极限
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数；
2
、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性
和发散性。
教学方法、手段：
以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。
教学重点、难点：
重点：复合函数；数列的极限；
难点：复合函数的判断；数列极限的求解；
教学内容及过程设计
一、知识回顾（板书）
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。
二、讲授新课
（
15
分钟）
1.
基本初等函数（课件展示，板书辅助）
熟记：
六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。
板书：
结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。
（
15
分钟）
2.
复合函数（板书给出）
说
明
：
(1)
并非任意几个函数都能构成复合函
数。
如：
y
ln
u
，
u
x
2
就不能构成复合函数。
(2)
复合函数的定义域：各个复合
体定义域的
交集
。
< br>(3)
复合函数的分解
从外到内
进行；复合时，则
直接代入
消去中间变量即可。
强调：
在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。
<
/p>
板书：给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。
< br>
复合函数反映了事物联系的复杂性。
(10
分钟
)
3.
初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成
的，并且能用一个数学
式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。
说
明：<
/p>
（
1
）一般分段函数都不是初等函数，但
y
︱
x
︱
是初等函数；
（
2
）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算
4.
数列的概念
（课件展示）
（
10
分钟）
板书：举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。
5.
数列的极限（课件展示）
根据下面的一个例子引出数列极限的概念。
（
15
分钟）
半径
r
的圆内接正多边形面积
S
n
f
(
n
)
，
< br>n
为正多边形的边数，
当
n
越来越大时，
S
n
就
.
zyzl
. .
.
.
面积为极限。
通过对以下例子的讲解，
使学生更进
一步地理解数列极限的概念，
并且会运用数列极
限的概念去解题。
1
例如：当
n
时，
y
n
n
收敛于
0
；
2
1
当
n
时，
y
n
1
收敛于
1
；
n
当
n
时，
y
n
n
无极限，发散；
1
(
< br>1
)
n
当
n
时，
y
n
时而取
0
，
时而取
1
，
震荡无极限，
因而也是发散的。
2
注意：
数列极限的收敛性。
三、课堂演练
例
1
、分解
下列复合函数；
（
10
分钟）
sin
x
（
1
）
y
x
2
1
（
< br>2
）
y
e
例
2
、求下列数列的极限并说明其收敛
性；
1
1
1
,(
1)
n
1
,
;
1,
,
,
;
1,
1,
2
3
n
n
1
n
1
1
4
< br>,2
n
,
;
2,4,6,
2,
,
,
,
,
;
2
3
n
n
1
1
n
(
1)
n
1
其
通项分别为
,(
1)
,
2
n
,
。
n
n
四、课堂小结
1
、初等函数的结构：由基本初等函
数经过有限四则预算和复合步骤所构成；
2
、数列极限：
直观描述，精确定义，几何意义
（
5
分钟）
3
、数列的收敛性：如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的
，否则称为发散的
越来越接近圆的面积，当
< br>n
无限增大时，
S
n
就无限接近圆的面积。这时，我们说
S
n
以圆的
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？
作业题：
P10
：习题
1.1
（
5
）
（
6
）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
3
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.9.29(
第五周
星期一
)
第一章
函数与极限
§
3
数列的左右极限
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、掌握函数极限的概念，运用函数极限的概念求函数的极限；
2
、理解函数左右极限的的概念，会利用函数左右极限判断函数的极限是否存在。
教学方法、手段：
讲授法，板书、课件展示。
教学重点、难点：
重点：函数的极限及函数极限的求法；
难点：左极限与右极限。
教学内容及过程设计
一、复习基本知识——数列极限
1
、数列的概念；
2
、数列极限的概念；
二、讲授新课
引例：
函数
f
(
x
< br>)
1
的图形。
x
补
充
内
容
和
时间分配
< br>
（
10
分钟）
（
5
分钟）
（
20
分钟）
（
10
分钟）
老师通过对引例的讲解，使学生们对函数的极限有一个初步的
认识，最后给出极限的
定义。
1
、当
x
时，函数
f
(
x
)
的极限（课件展示）
< br>（
1
）函数
f
< br>(
x
)
当
x
趋向于无穷（记为
x
）时的极限，记为
x
（熟记）
lim
f
(
x
)
A
或
当
x
时，
f
(
x
)
A
。
（
2
）函数
f
(
x
)
当
x
趋向于正无穷（记为<
/p>
x
）时的
极限，记为
x
（熟记）
lim
f
(
x
)
A
或
当
x
时，
f
(
x
)
A
。
（
3
）函数
f
(
x
)
当
x
趋向于负无穷（记为
x
）时
的极限，记为
x
< br>
（熟记）
lim
f
(
x
)
A
或
当
x
时，
f
(
x
)
A
。
x
（结论）
lim
f
(
x
)
A
的充分必要条件是
l
im
f
(
x
)
A
且
lim
f
(
x
)
A
。
x
x
注：
x
0
,
x
无限增大时，函数
值
f
(
x
)<
/p>
1
无限接近于
0
；
x
1<
/p>
无限接近于
0
。
x
x
0
,
x
无限减小时，函数值
< br>f
(
x
)
2
、当
x
x
0
时，函数
f
(
x
)
的
极限
.
zyzl
. .
.
. <
/p>
函数
f
(
x
)
当
x
趋向于
x
0
时的极限，记作
x
x
0
lim
f
(
x
)
A
或
f
(
x
)
A
(
x
x
0
)
< br>（熟记）
3
、函数左右极限的概念
函数
f
(
x
)
当
x
< br>x
0
时的左极限，记为
lim<
/p>
f
(
x
)
A
；
x
x
0
函数
f
(
< br>x
)
当
x
x
0
时的右极限，记为
lim
f
(
x
)
A
；
x
x
0
注：
左右极限统称为函数
f
(
x
)
的单侧极限。
函数
f
(
x
)
的极限
与左、右极限有以下关系：
x
x
0
lim
f
(
x
)
A
的充分必要条件是
lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
A
。<
/p>
x
x
0
x
x
0
注：
我们主要利用此充要条件来验证某些函数主要是分段函数在分段点处的极限情
况。
三、课堂演练
例
1
：求下列函数的极限
<
/p>
3
x
2
2
1
12
（
1
）
lim
3
；
（
2
）
lim(
3<
/p>
)
；
x
x
x
5
x
2
x
2
x
8
（
3
）
lim
x
4
x
4
x
3
<
/p>
1
；
（
4
）
lim
x
0
x
2
1
1
x
2
；
< br>
x
1
,
x
0
;
例
2
：试求函数
f
(
x
)
x
2
,
0
x
1
;
在
< br>x
0
和
x
1
处的极限。
< br>
1
,
x
1
。
四、课堂小结（师生互动）
1
、函数的概念：趋于无穷时的极限概念，趋于正无穷、负无穷时的极限概念，趋于
某一点的极限概念；
2
、函数的左右极限。
3
、极限是函数的一个局部性质。
（
15
分钟）
（
20
分钟）
（
10
分钟）
.
zyzl
. .
.
.
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1
、函数在趋于无穷和某一点时，函数的极限在定义上有什么区别？
作业题：
P19
：
习题
1.2
（
1
）
（
2
）<
/p>
（
3
）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
4
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.9(
第六周
星期四
)
第一章
函数与极限
§
4
极限的性质极限的运算
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、理解极限的惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则，以及极限性质的推论；
2
、熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数
的极限。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：会利用函数极限的运算法则求函数的极限；
难点：
函数的极限的运算法则。
教学内容及过程设计
一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）
1
、函数在不同情况下的极限的概念；
（熟记）
2
、函数的左右极限。
< br>（理解）
二、讲授新课
1
、极限的性质
在讲极限的性质之前，给出两个新的概念：邻域和去心邻域。
（
了解）
开区间
x
0
,
x
0
称为点
x
0
的邻域；
开区间
< br>
x
0
,
x
0
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
（
20
分钟）
（
20
分钟）
5
分钟学生消
x
0
,
x
0
称为点
x
0
的去心
邻域，其中
0
。
极限的性质：
（
了解）
（
1
）惟一性；
（
2
）有界性；
（
3
）局部
保号性；局部保号性的推论；
（
4
）夹
逼准则。
根据函数的图形，一一讲解极限的性质，使学生们对
函数的极限有更进一步的认识
和理解。
2
、极限的运算
（熟记）
（
1
）极限的可加（减）性；
< br>
（
2
）极限的可乘性；
（
3
）极限的可除
性。
老师根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对
极限运算法则的讲解给出如
下折推论。
推论
1
常数可以提到极限号前，即
lim
Cf
(
x
)
C
li
m
f
(
x
)<
/p>
CA
。
推论
2
若
m
为正整数，则
lim
f
(
x
)
[lim
< br>f
(
x
)]
m
A
m
。
m
注意：
在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑
将函数适当变形，再考虑
.
zyzl
. .
.
. <
/p>
能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因子同乘<
/p>
或同除分子分母，分子或分母有理化。
三、课堂演练
例
1
：求下列函数的极限
（
1
）
lim
x
2
4
x
4
x
2
4
x
2
(
x
h
)
2
x<
/p>
2
；
（
2
）
lim
；
h
0
h
x
2
< br>
3
2
x
3
3
x
2
1
（
3
）
lim
；
（
4
）
lim
3
；
x
1
x
2
x
5
x
3
x
2
2
例
2
：求下列函数的极限
（
1
）
<
/p>
lim(
x
8
x
7)
。<
/p>
x
1
2
（
2
）
lim
x
2
3
x
2
x
< br>x
2
2
x
2
。
四、课堂小结（提问的方式）
1
、极限的性质：惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则；
2
、极限的运算法则：可加（减）性，可乘性，可除性。
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
化
以
上
所
讲
的知
识。
（
25
分钟）
（
10
分钟）
在某个过程中，
若
f
(
x
) <
/p>
有极限、
g
(
x
)
无极限，
那么
f
(
x
)
+
g
(
x
)
是否有极限？为什么？
f
(
x
) <
/p>
-
g
(
x
)
是
否有极限？
作业题（补充）
：
求下列各极限：
< br>1
x
1
2
x
3
x
2
5
4
1
；
（
1
< br>）
lim
2
；
< br>（
2
）
lim
< br>
；
（
3
）
lim
2
x
x
3<
/p>
x
1
x
2
x
4
x
2
x
x
0
1
x
3<
/p>
x
3
3
x
2
2
x
1
（
4
）
lim
；
（
5
）
lim
3
。
x
< br>1
x
2
4
x
3
x
x
x<
/p>
2
2
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
5
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.11(
第六周
星期六
)
第一章
函数与极限
§
5
无穷小量与无穷大量
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质；
2
、掌握无穷小量与无穷大量的关系。
教学方法、手段：
讲授法，板书。
教学重点、难点：
重点：无穷小量与无穷大量的概念及它们的关系；
难点：无穷小量与无穷大量的关系。
教学内容及过程设计
一、复习基础知识——极限的性质及运算
1
、极限的性质
2
、极限的运算
二、新课引入
给出一个函数
f
(
x
)
1
的图形，生动形象地
讲解此函数的极限是趋向于
0
的，通过讲
x
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
（
25
分钟）
（
15
分钟）
解引发学生们的思考，引出无穷小量。
三、讲授新课
1
、无穷小量
x
x
0
l
im
f
(
x
)
0
为无穷小量；
（理解）
例如：
因为
lim
x
2
0
，
lim
sin
x
0
，所以
x
2
，
sin
x
均是当
x
0
时的无穷小。
x
0
x
0
因为
lim
(<
/p>
x
1
)
0
,
lim
x
2
1
0
,
所以
x
1
,
< br>x
2
1
均为当
x
1
时的无穷小。
x
1
x
1
因为
lim
< br>1
1
1
1
均为当
x
时的无穷小。
0
,
所以
,
< br>0
，
lim
x
< br>
x
1
x
x
1
x
x
注意：
（
1
）确定
f
(
x
)
是无穷小，需指出
x
的变化趋势；
（
2
）绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极限是常数本身并不是
零。
（
3
）常数中只有零是无穷小，因为它的极限为零。
1
例如
f
(
x
)
是当
x
是的无穷小；而当
x
趋于
常数时，不再是无穷小。
x
1
2
、无穷小量的性质
（理解）
（
1
）无穷小的可加性；
.
zyzl
. .
.
.
（
3
）有界函数与无穷小的可积性；
（
4
）常数与无穷小的可积性。
老师利用板书通过例题以上面的性质一一进行讲解。
（
25
分钟）
3
、无穷大量（课件展示）
lim
f
(
x
)
。
（无穷大量）
x
x
0
1
1
例如，
是当
x
0<
/p>
时的无穷大，记作
lim
；
x
x
0
x
1
1
是当
x
1
时的无穷大，记作
lim
；
x
1
x
1
x
1
e
x
是当
x
时的无穷大，记作
lim
e
x
；
x
<
/p>
ln
x
是当
x<
/p>
0
时的无穷
大，记作
lim
ln
x
。
x
0
老师采用提问的方式对以上的例子进行
了讲解，并得出以下注意项。
注意
：
（
1
）无穷大不是一个很大的数，它
是一个绝对值无限增大的变量。
1
（
2
）确定函数
f
(
x
)
是
无穷大，需指出自变量
x
的变化趋势，例如函数
f
(
x
)
x
x
当
x<
/p>
0
时是无穷大；当
时，是无穷小。
5
分钟学生消<
/p>
（
3
）无穷大必为无界函数；反之无界函
数不一定为无穷大。例如：当
x
<
/p>
时，
化
以
上
所
讲
f
(
x
)
x
sin
x
是无界函数，但不是无穷大量。
的知识。
（
4
）无穷大是极限不存在的一种情形，这里借用极限的符号，但并不表示
极限
存在。
（
10
分钟）
四、课堂小结（师生互动）
（
2
）无穷小的可积性；
1
、无穷小的概念；
2
、无穷小的性质；
3
、无穷大量的概念。
思考题、作业题、讨论题：
思考题：怎样利用无穷小进行等价替换？
作业题：
P23
：习题
1.3
（
3
）
（任选
3
小题）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
6
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.13(
第七周
星期一
)
第一章
函数与极限
§
6
两个重要极限、常见未定式极限
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、了解无论穷小量与无穷大量的关系，掌握无穷小量与无穷大量的比较方法；
2
、正确理解函数的两个重要极限，并会用两个重要极限求函数的极限
。
3
、会利用无穷小（大）量、重要
极限求未定式极限
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：无穷小量与
无穷大量的比较方法，函数的两个重要极限，常见未定式极限。
难点：无穷小量与无穷大量的比较方法，运用函数的两个重要极限，常见未定式极限；
教学内容及过程设计
一、复习基本知识——无穷小与无穷大（课件展示）
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
1
、无穷小量的概念；
2
、无穷小量的性质；
3
、无穷大量的概念。
二、讲授新课
1
、无穷小量与无穷大量的关系（作图说明）
（
15
分钟）
结论：
在自变量的同一变化过程中（注意：在极限符号中省略了
自变量的变化趋势）
，
1
1
设
f
(
x
)
0
，若
lim
f
(
< br>x
)
，则
lim
0
，反之，若
lim
f
(
x
)
0
，则
lim
。
f
< br>(
x
)
f
(
x
)
老
师利用板书通过例题对上述结论做进一步的讲解，使学生对无穷小与无穷大的关系
有进一步的理解。
2
、无穷小量与无穷大量的比较
（
15
分钟）
结论：
（
1
）高阶无穷小；
< br>（
2
）低阶无穷小；
（
3
）同阶
无穷小；
通过给出的例题对无穷小与无穷大的比较仔细讲解，使学生正确理解并会利用。
(
x
)
(
x
)
定理：如果当
x
<
/p>
x
0
时，
(
x
)
~
(
x
)
，
(
x
< br>)
~
(
x
)
，且
lim
存在，则
lim
x
x
0
< br>(
x
)
x
x
0
(
x
)
(
x
)
(
x
)
lim
也存在，且
lim
。
x
x
0
(
x
)
x
x
0
(
< br>x
)
说明：
< br>求两个无穷小之比时，分子、分母均可用等价无穷小替代。
注意：
常见的等价无穷小，当
x
0
时，有
1
5
分钟学生消
sin
x
~<
/p>
x
，
tan
x<
/p>
~
x
，
1
cos
x
~
x
2
，
e
x
1
~
x
，
ln(
1
x
)
~
x
等。
2
化
以
上
所
讲
.
zyzl
. .
.
.
强调
：
等价无穷小中的
x
，可用含有
x
的表达式代替。
3
、
两个重
要极限（列表说明）
（熟记）
sin
x
（
1
）
lim
1
x
0
x
1
（
2
）
lim
1
< br>
e
x
x
x
4
、未定式极限（略）
三、课堂演练
例
1
求
lim
1
。
x
1
x
1
例
2
利用等价无穷小代换定理求下列函数的极限：
（
1
）
lim
tan
x
sin
x
sin
4
x
；
（
2
）
lim
。
x
0
tan
2
x
x
0
x
2
sin
x
例
3
计算
lim
1
cos
x
sin
7
x
。
例
4
计算
lim
。
2
x
0
x
0
x
x
x
4
x
1
< br>
例
5
计算
lim
1
。<
/p>
例
6
计算
lim
5
x
x
< br>
x
x
2
(
x
<
/p>
2)
。
四、课堂小结（提问回答）
1
、无穷小与无穷大的关系；
2
、无穷小与无穷大的比较；
3
、两个重要极限。
的知识。
（
25
分钟）
（
15
分钟）
（
5
分钟）
思考题、作业题、讨论题：
ln
1
x
2
1
cos
x
arcsin
2<
/p>
x
lim
作业题
（补充）
：
1
、
求下列函数的极限。
（
1
）
lim
；
（
2
）
；
（
3
）
。
lim
x
0
sin
2
x
x
0
x
2
2
x
x
0
e
2
x<
/p>
1
sin
x<
/p>
2
、计算下
列函数的极限。
（
1
）
lim
1
x
x
tan
3
x
cot
x
；
（
2
）
lim
1
；
（
3
）
lim
1
3tan
x
。
2
x
0
x
0
4
x
x
0
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
7
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.16(
第七周
星期四
)
第一章
函数与极限
§
7
函数的连续性
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、了解增量的概念，熟练掌握函数的连续性；
2
、正确理解函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性判断函数在某一点是否连续。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：函数的连续性以及它的左右连续性；
难点：函数的连续性以及函数的左右连续性。
教学内容及过程设计
一、复习基础知识——无穷小与无穷大的关系及比较
1
、无穷小与无穷大的关系；
2
、无穷小量与无穷大量的比较；
3
、两个重要极限。
二、导入新课
通过对
给出的两个函数的图象（一个是间断的，一个是不间断的）进行的讲解，引出
函数增量的
概念，从而也引出了函数的连续性。
三、讲授新课
1
、增量的概念（课件展示）
注意：
增量
u
可正可负。当
u
0
时，说明变量
u
< br>从数值
u
1
变到数值
u
2
是增加的；
当
u
0
时，说明变量
u
从数值
u
1
变到数值
u
2
是减少的。称
< br>y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
（
5
分钟）
（
10
分钟）
（
15
分钟）
为函数
f
(
x
)
的增量。
2
、函
数连续性的概念（课件展示，板书辅助）
定义
1
：
若
lim
y
0
，
则称函数
y
< br>f
(
x
)
在点
x
0
处连续，
< br>并且称点
x
0
为函数
y
f
(
x
)
x
0
的连续点。
定义
2
：若
lim
f
(
x
)
f
(
x
0
)
，则称函数
y
f
(
x
)
在
x
0
处连续。
x
x
0
根据定义
2
的内容，函数
f
(
x
)
在点
x
0
连续，需满足如下条件：
（重点且熟记）
①
f
(
x
)
在点
x
0
< br>及附近有定义；
②
lim
f
(
x
)
存在；在
x
x
0
③
lim
f
(
x
)
f
(
x
0
)
。
x
x
0
.
zyzl
. .
.
.
续性，并且会利用函数连续性的定义求解函数的连续性。
3
、函数的左右连续性
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
若
lim
f
(
x
)
f
(
x
0
)
（或
，
0
）
（
15
分钟）
x
x
0
< br>x
x
0
则称函数
y
f
(
x
)
在点
x
0
处左连续（或右连续）
。即
lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
f
(
x
0
)
< br>。
x
x
0
x
x
0
说明：
如果函数
f
(
x
)
在某
一区间上每一点都连续，
则称
f
(
x
)
在该区间上连续，
或者说
f
(
x
)
是该区间上的连续函数。
注：
连续
函数的图像是一条连续而不间断的曲线。
关于函数的连续性有下面
三点结论：
5
分钟学生消
（
1
）基本初等函数在它们的定义区间内，都是连续的；
化
以
上
所
讲
（
2
）连续函数的和
、差、积、商（分母不能为
0
）在它的定义区间内，是连续函数
；
的知识。
（
3
）由连续函数复合而成的函数，在它的定义区间内是连续
函数。
三、课堂演练
x
0
x
2
例
1
讨论函数
y
在
x
0
的连续性。<
/p>
（
20
分钟）
x
2
x
0
例
2
求<
/p>
lim
(
2
x<
/p>
1
)
；
x
1
例
3
求<
/p>
lim
sin
x
；
x
0
2
x
2
x
0
例
4
求
lim
。
x
x
0
x
x
0
四、课堂小结（师生互动）
（
10
分钟）
1
、函数增量的概念；
利用板书给出例题，老师通过例题讲解函数的连续性
，使学生们正确掌握函数的连
2
、函数连续性的概念；
3
、函数的左右连续性，会利用函数的左右连
续性函数在某一点是否连续。
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1
、满足函数连续的条件？
作业题：
；习题
1.5
P37
：
（
1
）任选
2
小题
（
2
）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
8
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.20(
第八周
星期一
)
第一章
函数与极限
§
8
闭区间上连续函数的性质及本章小结
理论课□
研讨课□
习题课□
复习课√□
其他□
教学目的：
1
、掌握闭区间上连续函数的性质及应用
< br>2
、带领学生复习本章所学的知识中，巩固学生对本章知识的理解和运用。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：闭区间上连续函数的性质及应用以及本章所学的知识点；
难点：闭区间上连续函数的性质及应用以及会运用本章所学的知识点。
< br>
教学内容及过程设计
补
充
内
容
和
时间分配
（
25
分钟）
（
10
分钟）
（
15
分钟）
（
25
分钟）
一、闭区间上连续函数的性质
定理：
1.13
，
1.14
< br>，
1.15
例题：
课堂练习：
P39
：
习
题
1.6
（
1
）
（
2
）
（<
/p>
3
）
二、基本概念
1
、函数的定义；
2
、基本初等函数；
3
、复合函数；
4
、初等函数；
5
、数列的极限；
6
、函数的极限；
7
、函数的左右极限；
8
、函数的连续性；
9
、函数的左右连续性。
三、基本性质和方法
1
、函数的二要素：定义域，对应法则；
（判断两个函数的相等性）
2
、函数的四种特性
3
、函数极限的性质；
4
、无穷小量与无穷大量的关系；
5
、无穷小的比较；
6
、函数极限的运算；
7
、两个重要极限。
四、例题讲解
.
zyzl
. .
.
.
例
1<
/p>
求函数
y
1<
/p>
2
x
4
的定义域。
例
2
、将下列复合函数进行分解。
2
2
（
1
）
y
sin
x
；
（
2
）
y
cos
x
。
x
1
,
< br>
x
0
;
例
3
试求函数
f
(
x
)
x
2
,
0
x
1
;
在
x
0
和
x
< br>
1
处的极限。
1
,
x
< br>
1
。
例
4
求
lim(
x
8
x
7)
。
x
1
2
例
5
求
lim
4
x
2
3
x
1
6
x
4
x
1
2
x
2
。
< br>
例
6
计算
lim
tan
3
x
。
x
0
4
x
1
x
x
例
7
计算
lim
1
。
2
x
0
五、课堂演练
例
1
确定函数
f
(
x
)
3
2
x
x
2
ln(
x
2
)
的定义域。
例
2
求函数
y
u
与
u<
/p>
1
x
2
的复合函数。
1
,
x
0
例
3
设
f
(
x
)
0
,
x
0
，求
f
(
2
)
，
f
(
0
)
和
f
(
2
)
。
1
,
x
0
< br>
（
15
分钟）
例
4
求下列各极限：
1
< br>
x
3
x
3
3
x
2
2
x
1
2
x
3
x
2
5
（
1
）
< br>lim
；
（
2
< br>）
lim
3
；
< br>（
3
）
lim
< br>2
。
x
1
x
2
4
x
3<
/p>
x
x
x
2
2
x
x
3
x
1
（
4
）
lim
x
2
4
x
2
4<
/p>
1
x
1
1
cos
x
1
lim
；
（
5
）
。
（
6
）
。
lim
2
x
2
x
x<
/p>
0
x
0
x
x
1
< br>（
7
）
lim
< br>
x
x
2
(
x
2)
。
思考题、作业题、讨论题：
作业题：
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
9
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.23(
第八周
星期四
)
第二章
导数与微分
§
1
导数的概念（
1
）
理论√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、正确理解导数、左右导数的概念；
2
、掌握通过左右导数的方法求函数的导数。
< br>
教学方法、手段：
讲授法，板书。
教学重点、难点：
重点：导数的概念；
难点：会利用左右导数求函数在某一点的导数。
教学内容及过程设计
补
充
内
容
和
< br>时间分配
一、引入新课
（
15
分钟）
引入匀变速运动的例子（课件展示）
。
提问：
路程
s
和时间
t
之间的函数关系，在数学中
该如何描述。
小结：
实质上就是路程在某一时刻的变化率，即函数增量与自变量增量比值的极限，
这种特殊的极限就是函数的导数。
总结解决此例题的步骤如下：
（
1
）求增
量：
（
2
）定比值：
（
3
）取极限：
强调
：上
述步骤是函数求导的基本方法，需要学生掌握。
二、讲授新课
1
、导数的概念
通过以上对讲解，给出导数的概念。
注意：
（
20
分钟）
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
（
1
< br>）导数的常见形式还有：
f
(
x
0
)
lim
；
x
0
x
f
(
x
0
< br>
h
)
f
(
x
0
)
<
/p>
f
(
x
0
)
lim
；
h
0
h
f
(
x
0
)
f
(
x
0
h
)<
/p>
f
(
x
0
)
lim
；
（
h
即自变量的增
量
h
0<
/p>
h
x
）
.
zyzl
. .
.
.
（
2
）
y
dy
反映
的是曲线在
[
x
0
,
x
]
上的平均变化率，而
f
(
x
)
x
dx
x
x
< br>0
是在点
x
0
< br>的变
化率，它反映了函数
y
<
/p>
f
(
x
)
随
x
x
0
而变化的快慢程度。
（
3
）
这里
dy
dx
x<
/p>
x
0
与
df
dx
x
x
0
中的
dy
df
与
是一个整体记号，而不能视为分子
dy
或
dx
dx<
/p>
df
与分母
dx
。
（
4
）若极限
lim
特别地，
如果函数
f
(
x
)
在开区间<
/p>
D
内的每一点
x
处都可导，
就称函数
f
(
x
)
在开区间
D
内可导，
其导数一般是
x
的函数，这个函数称为原来函数
y
f
(
x
)
的导函
数，简称导数，记为
y
、
f
(
x
)
、
f
(
x
)
f
(
x
0
)
<
/p>
y
即
lim
不存
在，就称
y
f
(
x
)
在
x
x
0
点不可
导。
x
0
x
x
x
0
x
x
0
dy
df
(
x
)
或
。
dx
dx
f
(
x
< br>
x
)
f
(
x
)
x
x
0
如果
将上面式子中的
x
0
换成
x
，即得到导函数的定义式为
f
(
x
)
lim
或
f
(
x
)
lim
h
0
f
(
x
h
)
f
(
x
< br>)
h
说明：
（
1
）上式中，虽然
x
< br>可以取开区间
D
内的任何数值，但在求极限的过程中，<
/p>
x
被当
作常量，
x
或
h
是变
量。
（
2
）
在没有特别说明的情况下，导数指的是导函数。如果给出了具体的点，导数指的
是该点的
导数值。
显然，函数
f
(
x
)
在点
x
0
处的导数
f
(
x
0
< br>)
就是导函数
f
(
x
)
在点
x
x
0
处的函数值，即
f
(
x
0
)
f
(
x
)
x
x
。
0
以后
，如果求函数
f
(
x
< br>)
在点
x
0
处的导数，就用先求导函数
f
(
x
)
，再将点
x
x
0
代入
f
(
x
)
。
2
、左右导数的概念（单侧导数）
<
/p>
从导数的定义中可知，函数
f
(
x
)
在点
x
0
处的导数
f
(
x
0
)
是一个极限。
提问：
函数
的连续有左连续和右连续，那么函数的导数的左导数和右导数吗？
结论：
(
x
0
)
及
把相应的左、右极限分别称为函数
f
(
x
)
在点
x
0
处的左导数和右导数，记做
f
(
x
< br>0
)
，即
f
(
x
0
)
li
m
f
<
/p>
x
0
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
（
2-6
）
x
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
< br>
（
2-7
）
x
(
x
0
)
lim
f
x
0
说明：
函数
f
(
x
)
在点
x
0
处可导的充分必要条件是
f
(
x
)
在点
x
0
处的左导数和右导数都
.
zyzl
. .
（
10
分钟）
（
20
分钟）
.
.
存在且相等。
< br>这里需要强调的是函数的左右导数是用来判断函数在某一点是否可导的。
三、课堂演练
练习题：
1
、
根据
导数的定义，求常值函数
f
(
x
)
C
（
C
是常数）的导数
f
<
/p>
(
x
)
。
2
、
根据导数定义，求函数
f
(
x
)
x
2
在
x
2<
/p>
处的导数
f
(
2
)
。
x
1
x
3
、
讨论函数
f
(
x
)
在
x
1
处的可导性。
x
1
x
1
四、课堂小结
本次课程的内容有：导数的定义；导数的几种不同的表达形式；左、右导数；
（
15
分钟）
（
10
分钟）
思考题、作业题、讨论题：
作业题：
必做题：
P50
< br>（
3
）
、
（
4
）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
10
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.27(
第九周
星期一
)
第二章
导数与微分
§
1
导数的概念（
2
）§
2
函数求导法则（
1<
/p>
）
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、掌握通过导数的几何意义求函数在某一点的切线法线方程；
2
、掌握导数的定义求导法则，熟练掌握导数的四则运算法则。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：导数的定义求导，导数的四则运算；
难点：利用导数的几何意义求函数在某一点的切线法线方程。
教学内容及过程设计
补
充
内
容
和
< br>时间分配
一、课前复习
（
10
分钟）
由于本次所讲的内容是上次课程内容的延伸，上次内容的掌握程度影响到本次课程的
讲授，以提问的形式考察学生对于导数概念的理解以及导数定义公
式的掌握。
二、讲授新课
1
、导数的几何意义
（
20
分钟）
引入实例，切线问题的求解，侧面讲解导数的几何意义。
（课件展示）
由切线问题的讨论和导数的定义知，
函数
y
f
(
x
)
在点
x
0
处
的导数
f
(
x
0
)
在几何上表
示曲线
y
f
(
x
)
在点
M
0
(
x
0
,
y
0
)
处的切线的斜率。
过切点
M
0
(
x
0
,
y
0
)
且垂直于切
线的直线叫做曲线
y
f
(
x
)
在点
M
0
(
x
0
,
y
0
)
处的法线。
如果
f
(
x
0
)
存在，则曲线
y
f
(
x
)
在
M
0
(
x
0
,<
/p>
y
0
)
处的切线
方程为
y
f
(
x<
/p>
0
)
f
(
x
0
)(
x
x
0
)
；
曲线
y
<
/p>
f
(
x
)
在点
M
0
(
x
0
,
y
0
)
处的法线方程为
1
y
f
(
x
0
)
(
x
x
0
< br>)
，
(
f
(
x
0
)
0
)
。
f
(
x
0
)
注意：
当
f
(
x
< br>0
)
=0
时，
< br>切线方程为平行于
x
轴的直线
y
f
(
x
0
)
，
法线方程为
垂直于
x
轴的直线
< br>x
x
0
；当
f
(
x
0
)
<
/p>
时，切线为垂直于
x
轴的直线
x
x
0
，法线为平行于
x
轴的
直线
y
<
/p>
f
(
x
0
)
。
2
、按定义求导数
（
15
分钟）
在上节课我们学习了导数的概念，那么谁知道按照定义怎样求
函数的导数呀？
学生们相互讨论，老师启发学生们思考，最后给出正确的结论。
求
y
f
(
x
)
的导数
y
的一般步骤
如下：
（
1
）求增量：
y
f
x
x
<
/p>
f
x
；
（
2
）算比值；
.
zyzl
. .
.
.
说明：按定义求导数是这节课的重
点，需要学生们会运用“三步骤”
。
3
、导数的四则运算法则
（
15
分钟）
（
1
）
设
u
u
(
x
)
和
v
v
(
x
< br>)
都在点
x
处可导，
则
u
v
也在
x
处可导，
且
(
u
v
)
u
v
。
（
2<
/p>
）
设
u
u
(
x
)
和
v
v
(
x
)
都在点
x
处可导，
则
u
v
也在
x
处可导，
且
(
u
v
)
< br>
u
v
u
v
。
推论：
(
cu
)
c
u
（
c
为常数）
。
注意：
以上两个法则可推广到有限个函数的情形。
u
（
3
）设
u
u
(
x
)
和
v
v
(
x<
/p>
)
都在点
x
处可
导，
v
(
x
)
0
,
则
也在点
x
处可导，且
v
u
u
v
u
v
。
2
v
v
v
< br>
u
u
1
注：
<
/p>
2
；
uv
u
v
,
< br>。
v
v
v
v
三、
课堂演练
（
20
分钟）
练习题：
2
1
、
求抛物线
y
x
在点
(1,1)
< br>处的切线方程和法线方程。
2
、
求函
数
y
log
a
x
(
a
<
/p>
0
且
a
1
)
的导数。
3
、
<
/p>
求
y
x
n
(
n
N
)
的导数。
4
、
求下列函数的导数。
1
2
(1)
y
2
x
< br>ln
2
；
(2)
y
sin
x
x
；
x
x
1
e
(3)
y
tan
x
；
(4)
y
；
(5)
y
。
2
ln
x
1<
/p>
x
点评：<
/p>
练习的目的是为了加深学生对于本次课程知识的理解，加强学生对于知识点的
解题应用。
四、课堂小结
（
10
分钟）
本节课的内容有：导数的几何意义；按定义求导数；导数
的四则运算法则。
（
3
）取极限
lim
y
。
x
0
x
思考题、作业题、讨论题：
作业布置：
P55:
（
1
）任选
2
小题、
（
2
）任选
< br>2
小题
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
11
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.10.30(
第九周
星期四
)
第二章
导数与微分
§
2
函数
求导法则（
2
）
§
3
特殊
函数求导法则及高阶导数（
1
）
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、掌握利用复合函数的求导法则求函数的导数；
2
、正确理解隐函数的定义，掌握隐函数的求导法则。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：复合函数的求导法则；
难点：利用隐函数的求导法则求函数的导数。
教学内容及过程设计
一、课前复习
提问的形式复习复合函
数的概念及复合函数的分解方法，以此考察学生对复合函数所
学知识点的掌握程度。
设计意图：
看学生对复合函数的理解程度
，加以总结分析，为复合函数的求导法则做
铺垫。
二、讲授新课
1
、复合函数求导法则
复合函数的求导法则：设
u
(
x
)
在
x
可导，函数
y
f
(
u
)
在相应的点
u
可导，则复合
dy
dy
du
函数
y
f
(
x
)
<
/p>
在
x
处也可导，且
f
(
x
)
f
(
u
)
(
x
< br>)
或
。
dx
du
dx
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
（
15
分钟）
（
20
分钟）
说明：
应用复合函数求导时，首先要分析由哪些函数复合而成，如果
所给函数能分解
成比较简单的函数，而这些函数的导数易求，那么应用复合函数的求导法
则就可以求出所
给函数的导数。
注意
：
区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
< br>设计意图：
通过讲练结合，让同学们有一个理解求导法则的过程。
2
、隐函数的定义
课件展示：隐函数的定义。
板书：给
出几个函数，让学生们判断哪些函数是显函数哪些是隐函数。
说明：
有些隐函数可以变换为显函数
，
例如
2
x
2
y
5
0
，
可化为
y
x
数则很难化为显函数，如
sin(
x
y
)
e
y
。
说明：
要想直接计算隐函数的导数，需要找出隐函数求导
的方法。
下面就讲解隐患函数的求导法则。
.
zyzl
. .
5
；
但有些隐函
2
.
.
3
、隐函数的求导法则
通过以上学生们对显函数及隐函数定义的学习，对它们的
形式已经基本上掌握了，但
是要想计算隐函数的导数，还是需要找出隐函数的求导法则。
如下：
求方程
F
(
x
,
y
)
0
确定的隐函数的导数
y
，只要将方程中的
y
看作是
x
的函数，利
< br>用复合函数的求导法则，在方程两边同时对
x
求导，就可
得到一个关于
y
的方程，然后从
中解出
y
即可。
设计思路：
讲解教材例题，加强同学
们对隐函数求导法则的理解。
三、课堂演练
练习题：
1
、
设
y
ln
sin
x
，求
y
。
2<
/p>
、
设
y
sin
3
2
x
，求
y
。
3
、
求由方程
xy
ln(
x
y
)
所确定的隐
函数的导数
y
。
4
、
求由方程
< br>y
5
2
y
x
3
x
7
0
所确定的隐函数在
x
0
处的导数
y
< br>x
0
。
点评：
练习题考察的是隐函数的求导法则，以及符合函数的
求导。
四、课堂小结
本次课程的内容有：复合函数的求导法则；隐函数；隐
函数求导法则。
思考题、作业题、讨论题：
作业题：
P55
（
3
）任选
2
小题、
（
4
）任选
2
小题
P61
（
1
）
任选
1
题
课后总结分析：
.
zyzl
. .
（
20
分钟）
（
20
分钟）
（
5
分钟）
.
.
第
12
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.11.3(
第十周
星期一
)
第二章
导数与微分
§
3
特殊函数求导法则及高阶导数（
2
）
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、正确理解对数函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2
、掌握函数的二阶导数以及简单函数的
n
阶导数。
教学方法、手段：
讲练结合，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：基本初等函数的导数公式；
难点：求函数的二阶以及二阶以上的导数。
教学内容及过程设计
一、课前复习
补
充
内
容
和
时间分配
（
10
分钟）
学生阅读教材内容，复习上次课程学习的知识点，重点之处加以讲解。
< br>
二、讲授新课
提问：
如何求解对数函数的导数呢？
利用此问题吸引学生们的注意力，并引起他们学习的的兴趣。
1
、对数函数求导
思路：
有这样两类函数，一是幂指函
数，二是有一系列函数的乘、除、乘方、开方所
（
15
分钟）
构成的函数。对这两类函数求导时，先
取对数，再利用隐函数的求导方法即可得到结果。
点评：
讲练结合，让学生利用隐函数
的求导方法练习求对数的导数。
2
、基本初等函数的导数公式
课件展示：基本初等函数的求导公式（
熟记
）
。
说明：
基本初等函数的求导公式是我们用来求函数导数的关键，
因此，求导公式不但
熟记，而且要求会运用它来求函数的导数。
< br>思路：
为同学们仔细分析每一个初等函数的导数公式，
加
强学生对求导公式的理解和
（
20
分钟）
运用。
3
、高阶导数
提问：
在前面我们所学的都是求函数的一阶导数，二阶导数怎么求呢？
设计思路：通过提问，引出高
阶导数的概念，以此为源头逐步进行讲解，给出高阶导
数的定义。
一般地，
y
f
(
x
)
的导数
y
f
(
x
)
仍然
是
x
的函数，我们把
y
f
(
x
)
的导数称为
y
f
(
x
)
的二阶导数，记作
（
20
分钟）
2
d
y
d
dy
y
y
或
f
(
x
)
f
(<
/p>
x
)
或
2
。
dx
dx
dx
.
zyzl
. .
.
. <
/p>
类似地，
二阶导数的导数叫做三阶导数，
三阶导数的导数叫做四阶导数，
…。
一般地，
< br>
n
1
阶导数的导数叫做
n
阶导数，分别
记作
3
4
n
d
y
d
y
d
y
y
，
y
(4)
，
y
(5)
，
...
，
y
(
n
)
或
，
，
< br>...
，
。
< br>3
4
n
dx
dx
dx
二阶及二阶以上的导数，统称高阶导数。
说明：
求高阶导数是一个逐次向上求
导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方
法就可以了。
三、课堂演练
练习题：
（
20
分钟）
1
、
设
y
(sin
x
)<
/p>
x
，求
y
。
2
3
(
x
1
)
(
< br>2
x
7
)
2
、
求
函数
y
的导数。
5
(
3
x
5
)
3
、
y
ax
b
，求
y
。
4
、
指数函数
y
e
x
的
n
阶导数。
演练意图：
通过习题练习，考察学生对于本次课程知识点的初步掌握情况。<
/p>
三、课堂小结
（
5
分钟）
对数求导，基本初等函数的求导公式，高阶导数。
思考题、作业题、讨论题：
作业题：
P61
（
2
）
（
3
）
（
4
）
（
5
）每题中各任选
1
小
题
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
13
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.11.6(
第十周
星期四
)
第二章
导数与微分
§
4
函数的微分
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、正确理解微分的概念；了解微分在近似计算中的应用
2<
/p>
、了解微分的几何意义，会运用基本初等函数的微分公式求函数的微分。
< br>
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：微分的概念及微分公式；
难点
：利用基本初等函数的微分公式求函数的微分、微分在近似计算中的应用
教学内容及过程设计
一、引入新课
给出一个实例“一块正
方形均质金属薄片因为受热膨胀（课件展示）
，其边长由
x
0
变
到
x
0
x
”
通过图形，分析此问题。
正方形的面
积
A
与边长
x
的函数关系为：
A
x
2
。据此，薄片面积的增加量可以看成
当自变量
x
自
x
0
取得增量
x
时，函数<
/p>
A
x
2
相应的增量
A
，即
补
充
内
容
和
时间分配
（
15
分钟）
（
15
分钟）
A
x
0
x
2
x
2
0
< br>
2
x
0
x
x
2
。
A
的几何意义
很明显，
A
由两部分构成：第一部分
2
x
0
x
是
x
的线性代数，是图
2-2
中画斜线的两个小长方
形的面积之和；第二部分是
x
，是图
2-2
中
画交叉线的小
2
正方形的面积。一般情况下，当
x
很小，
(
x
)
2
更小。当
x
< br>0
时，
(
x
)
2
是
x
的高阶无
穷小，即
(
x
)
2
(
x
)(
x
0
)
。所以
，当
x
很小时，
2
x
0
x
是
A
的很
好的近似，即
A
< br>2
x
0
x
设计意图：
通过对此实例的讲解
，引出微分的概念。
二、讲授新课
1
、微分的定义
如果函数
y
f
< br>(
x
)
在点
x
处的改变量
y
可以表示为
y
A
x
o
x
(
x
0
)
，<
/p>
其中，
A
是与
x
无关的量，则称函数
y
f
(
< br>x
)
在点
x
处可微，称
A
x
为函数
y
f
(
x
)
在点
< br>x
处的微分，记作
d
y
，即
d
y
A
x
。
注
1
：
< br>由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求
sin
x
对
x
的导数时就
.
zyzl
. .
.
.
可以
看成
sin
x
微分与
< br>x
微分的商，即
d
sin
x
d
x
cos
xdx
2
x
cos
x
。
1
dx
2
x
注
2
：
函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差
x
的高阶无穷
小。因此
要会应用下面两个公式：
y
dy
f
x
0
x
，
< br>
f
x
0
x
f
x
0
f
x
0
x
< br>。
典型例题：
例题
1.
（教材
36
页例
2.19
）
讲解：略
点评：
通过例题加深学生对于微分定义的理解，帮助学生更好的应用微分的定义。
2
、基本初等函数的微分公式
强调：
基本初等函数的微分公式需要学生们熟记，这是求函数微分的关
键。
探索：
给出一些函数，让学生利
用微分公式求函数的微分。
设计思路：
由基本初等函数的导数公式可以直接得到基本初等函数的微分公式，要求
学生对比导数
公式记忆。
3
、微分的运算法则
说明：
因为微分和导数是密切相关的，所以它们有相似的运算法则。
微分的运算法则（
课件展示
）
。
设计思路：
讲解例题，让学生们利用微分的运算法则求函数的微分。
4
、复合函数的微分法则
复习复合函数的导数运算法则，根据复合函数的导数的运算法则，给出复合函数的运
算法则，如下：
设函数
y<
/p>
f
(
u
)
，
u
(
x
)
都可微，则复合函数
y
f<
/p>
[
(
x
)]
的微分为
dy
f
(
u
)
(
x
)
dx
。
由于
d
u
< br>(
x
)
d
x
，所以，复合函数
y
f
[
(
x
)]
的微分也可以写成：
d
y
f
u
d
u
。
说明：
无论
u
是自变量还是
中间变量，微分形式
d
y
f
u
d
u
总保持不变，这一性质
称
为微分形式不变性。
典型例题
：
例
1.
（教材
38
页例
2.20
）
讲解：略
点评：
通过例题的讲解，初步复合函数微分法则的运用。
三、微分在近似计算中的应用
（略）
.
zyzl
. .
5
分钟学生消
化
以
上
所
讲
的知识
。
（
10
分钟）
（
10
分钟）
（
15
分钟）
（
10
分钟）
.
.
四、课堂演练
练习题：
1
、
求函数
y
x
3
在
x
<
/p>
1
处，当
x<
/p>
0
.
1
和
x
0
.
01
时的增量和微分
。
2
、
填下
面的空。
（
1
）
d
（
）
cos
2
xdx
；
（
2
）
d
（
）
3
e
2
x
dx
。
点评：
考察学
生对于定义求导数的方法。
五、课堂小结
本次课程的内容有：微分的概念，微分的几何意义，基本初等函数的微分公式。
思考题、作业题、讨论题：
作业题：
P67
（
1
）任选
2
小题、
（
2
）
、
（
3
）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
14
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.11.17(
第十二周
星期一
)
第三章
导数的应用
§
1
微分中值定理
§
3
函数单调性判定与极值的求法（
1
< br>）
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、理解拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西中值定理；
2<
/p>
、掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间。
教学方法、手段：
讲练结合，师生互动；板书、幻灯片
教学重点、难点：
拉格朗日中值定理（罗尔定理）；函数单调性的判别；
教学内容及过程设计
一、知识点复习
同学们阅读教材内容，复习微分的定义及其性质。
设计意图：
微分的性质是本
节课程的基础，理解微分的概念才能更好的学习本节的
知识点。
二、讲授新课
（一）拉格朗日中值定理
1
、定理
2.3
（拉格朗日中值定理）
若函数
f
(
x
)
满足：
（
1
）在闭区间
[
a
,
b
]
上连续。
<
/p>
（
2
）在开区间（
a
,
b
）上可导，则至少有一点
(
a
,
b
)
，使得
f
(
)
f
(
< br>b
)
f
(
a
)
或
b
a
补
充
内
容
和
时间分配<
/p>
（
10
分钟）
（
20
分钟）
f
(
b
)
f
(
a
)
f
(
< br>)
b
a
。
y
B
C
y
f
(
x
)
A
o
a
1
2
图
2-4
x
b
定理的
几何意义：
如果连续曲线
y
f
(
x
)
的弧
AB
上除端点外处处具有不垂直于
x
轴的
切线，那么，弧上至少有一点
C
，在该点处的切线平行于弦
AB
。
说明：
(1)
此定理是微积分学的重要定理，它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均
变化
率和函数在该区间内某点的导数间的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性
的重
要工具。
(2)
此定理是充分而不必要的。
.
zyzl
. .
.
.
2
、罗尔定理和柯西中值定理（略）
典型例题：
例
1
讲解：略
例
2
讲解：略
点评：
通过例题加深同学们对于拉格朗日中值定理的理解，初步了解定义的运用。
由拉格朗日定理，可得如下两个推论：
推论
1
设函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b<
/p>
)
内可导，
且
f
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内是一个常数。
推论
2
如
果函数
f
(
x
)
与
g
(
x<
/p>
)
在区间
(
a<
/p>
,
b
)
内每一点
的导数
f
(
x
)
与
g
<
/p>
(
x
)
都相等，
则这
两个函数在区间
(
a
,
b
)
内至多相差一个常数。
（二）函数的单调性
定理
2.4
（判定法）设函数
y
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连续，在
(
a
,
b
)
内可导
（
1
）如果在
a
,
b
< br>f
(
x
)
0
，那么函数
< br>y
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调
增加。
（
2
）如果在
(
a
,
b
)
f
(
x
)
0
，那么函数
y
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调减少。
说明
：
判定法中的闭区间换成其他各种区间，包括无穷区间，结论也成立。
< br>
确定函数的单调性的一般步骤是：
< br>（
1
）确定函数的定义域；
<
/p>
（
2
）求出使
f
(
x
)
0
和
f
(
x
)
不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个
子区间；
（
3
）确定
f
(
x
< br>)
在各个子区间内的符号，从而判定出
f
(
x
)
的单调性。
典型例题：
例
1
讲解：略
例
2
讲解：略
点评：
通过确定函数的单调性的步骤求解函数的单调区间，思路明确，解题时不易出
错。<
/p>
三
.
课堂小结
本次课程的内容有：拉格朗日中值定理；函数的单调性；
布置作业：
P74
< br>：
（
3
）
P86
：
（
1
）任选一题
（
15
分钟）
（
10
分钟
消
化新知识）
（
20
分钟）
（
10
分钟）
（
5
分钟）
课后总结分析：
.
zyzl
. .
.
.
第
15
次课
学时
2
上课时间
授课题目（章，节）
授课类型（请打√）
2014.11.20(
第十二周
星期四
)
第三章
导数的应用
§
2
洛必塔法则
理论课√□
研讨课□
习题课□
复习课□
其他□
教学目的：
1
、理解洛必达法则；掌握洛必达法则的运用条件；
教学方法、手段：
讲练结合，师生互动；板书、幻灯片
教学重点、难点：
拉格朗日中值定理；函数单调性的判别；
教学内容及过程设计
一、知识点复习
同学们回忆拉格朗日中值定理；函数单调性的求解步骤。
设计意图：
拉格朗日中值定
理，函数的单调性是微分应用中常常运用到的两个知识
点，希望同学们多加强相关习题的
练习。
二、讲授新课
（一）洛必达法则
0
1.
型未定式
0
定理
2.5
设（
1
）当
x
x
0
时，函数
f
(
x<
/p>
)
及
(
x
)
都趋于零；
<
/p>
（
2
）在点
x<
/p>
0
的某邻域内（点
x
0
本身可以除外）
，
f
(
x
)
及
(
x
)
都存在且
< br>
(
x
)
0
；
（
3
）
lim
f
(
x
)
存在（或为无穷大）
，那么，
x
x
0
(
x
)
x
x
0
补
充
内
容<
/p>
和
时间分配
（
10
分钟）
（
25
分钟）
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
lim
。
(
x
)
x
x
< br>0
(
x
)
说明
:
（
1
）如果
0
f
(
x
)<
/p>
，当
x
x
0
时仍属
型时，且这时
f
(
x
)
、
(<
/p>
x
)
能满足定理中
(
x
)
0
f
(
x
)
、
(
x
)
所要满足的条件，那么可继续再用罗必塔法
则。
（
2
）
定理中的
x
x
0
换为
x
（或其他趋势）时，结论也成立。
如果连续曲线
y
f
(
x
)
的弧
AB
上除端点外处处具有不垂直于
x
轴的切线，
那么，
弧上至少
有一点
C
，在该点处的切线平行于弦
AB
。
典型例题：
例
1
讲解：略
点评：
此题也可以利用极限的等价无穷小代换去求。
例
2
.
zyzl
. .
.
.
讲解：略
点评：
通过例题的讲解，初步加强同学们多于
0/0
型的洛必达法则的运用。
2.
型未定式
定理
2.6
设
f
(
x
)
、
(
x
)
在点
x
0
的某个去心邻域内有定义，若
（
1
）
lim
f
x
lim
x
；
x
x<
/p>
0
x
x
0
（
2
）
f
(
x
)
、
(
x
)
在点
x
0
的某个去心邻域内可导，且
(<
/p>
x
)
0
；
（
3
）
lim
则
x
x
0
f
(
x
)
存在（或为无穷大）
，
x
x
0
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
=
lim
。
(
x<
/p>
)
x
x
0
(
x
)
lim
把定理
2.6
中的
x
x
0
换为
x
（或其它情形）时，结论也成立。
典型例题：
例
1
讲解：略
例
2
讲解：略
3
．其它类型的未定式
说明：其他一些
0
、
、
0
0
、
1
、
< br>0
型的未定式，我们也可通过适当变形化
0
或
型，再用罗必塔法则。
0
典型例题：
例
1
讲解：略
例
2
讲解：略
例
3
讲解：略
注意：
洛必塔法则是求未定式的极限一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结
合使用
。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或应用重要极限时，应
尽可能
应用，这样可以使运算更简捷。
三
.
课堂小结
本次课程学习的知识点有：洛必达法则的三大类型未定式；
为
（
25
分钟）
（
25
分钟）
（
5
分钟）
布置作业：
P79
< br>：
（
1
）任选
< br>3
题
P80
：
（
2
）
任选
2
题
课后总结分析：
.
zyzl
. .