第四章 混合策略纳什均衡
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第四章
混合策略纳什均衡
攻而必取者，攻其所不守也；守而必固者，守其所必攻也。故善攻者，敌不
< br>知其所守；善守者，敌不知其所攻；不乎神乎，至于无声，故能为敌之司命。
——孙子
故事模型
< br>假设你在地面逃亡，
而你的敌人正在空中对你实施打击。
你可以选择躲到坚
固的掩体下面，
也可以选择躲到一间民房里。
你首先可能想到躲到坚固掩体下面
是更好的，因为更坚固的地方
会更安全。但是，你可能马上意识到，你的敌人很
可能也会猜测到你将躲到最坚固的地方
，
所以他们也就会集中火力轰炸那些坚固
的掩体——最安全的地
方反而变成了最危险的地方；
于是你决定还是到民房，
但
是你的敌人也会想到这一点而进攻民房……最后，
你想不出究竟该躲在
哪里，
你
的敌人也不知道你究竟会躲在哪里，于是大家都在碰运
气。
这样的局势并非假想，
现实中的确存在诸多类似的情形，
我们称之为混合对
策情形。
§
4-1
策略混合动机
1
、懦夫博弈中的策略混合
回想一下上一章图
3-5<
/p>
的懦夫博弈。
当时我们得到了两个纯策略纳什均衡：
（向前，转向）和（转向，向前）
。为了更方便，我们将这个博弈的赢利在这
里
再画一遍（见图
4-1
）
。
司机甲
（你）
转向
向前
司机乙
转向
1, 1
2
，－
2
向前
－
2
，
2
－
4,-4
图
4-1
懦夫博弈
但问题可以想得更复杂些。
假如你是司机甲，
你究竟会转向还是
继续向前？
这很可能取决于你对司机乙的判断：
司机乙选择转向
还是选择向前决定着你的选
择。
但是你无法肯定司机乙是否会转
向，
因为他的行为取决于他对你的揣摩。
所
1
以，最终你也许只能猜测司机乙有多少可能转向、有
多少可能向前。
假如，你认为司机乙转向的可能性为
50%
，向前的可能性也为
50%
，那么你
应该选择转向还是向前？这取决于你采取不同策略的预期赢利，
它们可以计算如
下：
◆
你选择转向的预期赢利：
1
×
50%
＋（
-2
）×
50%=
－
0.5
◆
你选择向前的预期赢利：
2
×
50%
＋
(-4)
×
50%
=
－
1
你将发现，当司机乙转向、向
前的可能性各为
50%
的时候，你选择转向是最
合适的，因为转向的预期贏利
(
—
0.5)
比向前的预期赢利
(
-1)
要大一些。
但是，
司机乙当然知道你在猜测他选择两种策略的概率，
他会不会真如你所
想的那样以各自
50%
的概率来选择转向或向
前呢？如果他确实以各
50%
的概率在
两个策略间选择，那么他知道你就一定会选择转向（这是对你最适合的策略）
；
但是既然你选择转向，那么他又何必以各自
50%
的概率来选择其两个策略呢，他
完全可以选择向前。
假如，你认为司机乙转向的可能性为
80%
，
向前的可能性仅为
20%
，那么你
又应
该选择什么策略？这仍然取决于你采取不同策略的预期赢利，计算如下：
◆
你选择转向的预期赢利：
1
×
80%+
（
-2
）×
20% = O.4
◆
你选择向前的预期赢利：
2
×
80%
+
（
-4
）×
20% = 0.8
显然，此情之下你选择向前（得到
0.8
）比选择转向（得到
0.4
）更合适。
但是，给定你选择向前，司机乙必定选择转向，即他选择转向的概率将为
1
，而
不是你事先认为的
0.
8
。也就是说，从你的先验估计出发的结果会推翻你的先验
估计
。
同样地，司机乙对你也在进行一系列的估计。问题是，在什
么状态下，可以
刚好使你们的估计能够和从该估计出发的行为选择趋于一致？如果能够趋
于一
致，那就是达到了纳什均衡状态。
假如存在一个概率
q
，司机乙以概率
q
选择转向，那么他选择向前的概率将
是
1-q
。而你选择不同策略的预期赢利就会是：
◆
你选择转向的预期贏利：
1
×
q+
（
-2
）×
(1
－
q) = 3q-2
◆
你选择向前的预期贏利：
2
×
q+
（
-4
）×
(
1-q) = 6q-4
如果司机乙真的以概率
q
选择转择某个策略（纯策略）
，而他不重复地选择
某个策略的条件必须是你也不会重复地选择某个策略。
因此，
他
以概率
q
选择转
向必然意味着在这样的
情况下你不可能有合适的纯策略；
换句话说，
他也必须使
你在你的两个策略之间进行随机选择。
那么
，
在什么情况下你会在两个策略之间进行随机选择呢？那就只有一种情
< br>况：
当你选择任何一个策略的预期赢利都完全相同的时候——因为这样你就无法<
/p>
选出哪个策略更优，就只有随机选择。也就是说，司机乙选择
q<
/p>
，使得：
2
3q-2 = 6q-4
即
q
﹡
=2
／
3 1-
q
﹡
=
1
／
3
这样，
司机乙以
2/3
的概率选择
转向，
以
1/3
的概率选择向前，
就可以使你
在两个策略之间无差异而无法采取纯策略
（可以计算得出，
你选择转向的预期赢
利是
0
，
选择向前的预期赢利也是
0
）
。
由此，
我们可以记下司机乙采取的混合策
略：
(2/3
，
1/3)
〔注
1
〕
。
反过来，
司机乙对你的选择也有着概率判断，
而为了保持这种判断信念的后<
/p>
果与信念本身一致，你也以一定概率（比如
p
）随机选择你的策略，且
p
需要满
足使司机乙在他的两个策略之间没有差异。此时他两种策略的预期贏利为：
★
司机乙选择转向的预期赢利：
l
×
p+
（
-2
）×（
l-p
）
= 3p-2
★
< br>司机乙选择向前的预期贏利：
2
×
p+
（
-4
）×
(1-p) = 6p-4
而你需要选择
p
的值，使
3p-2
=
6p
–
4
，可得到
p
﹡
=
2/3
，
1
－
p
﹡
=
1/3
。
仍可计算，此时司机乙无论选转向还是选向前，其预期
赢利皆为
0
。由此，我们
可以记下你采
取的混合策略
( 2/3
，
1/3)<
/p>
。
由
于你以
2/3
的概率选择转向，以
1/
3
的概率选择向前；而司机乙也以
2/3
的概率选择转向，
以
1/3
的概率选
择向前，
刚好可以互为对彼此的最优反应。
因
< br>此，它是一个纳什均衡状态，被称为
混合策略纳什均衡
，
可以记为
{(2/3,
1/3),
(2/3, 1/3)}
〔注
2
〕
。
2
、会发生车毁人伤的情况吗？
既然你和司机乙都采用了（
2/3
，
1/3
）的混合策略，那就意
味着各种结果
都是可能出现的。我们可以计算各种情况出现的概率，见图
4-2
。
司机甲
（你）
转向
（<
/p>
2/3
）
向前
（
1/3
）
转向（
2/3
）
2/3
×
2/3
< br>＝
4/9
1/3
×
2/3
＝
2/9
司机乙
向前（
1/3
）
2/3
< br>×
1/3
＝
2/9
1/3
×
1/3
＝
1/9
图
4-2
懦夫博弈各种情况出现的概率
注意，
图
4-2
不是博弈的赢利表，
而是各种情况出现的概率表。
策略组合
（转
向，转向）成为现实结果的概
率是
2/3
×
2/3 = 4/9<
/p>
（因为你和司机乙各有
2/3
的概率选择
转向）
。其他各单元格的数字根据同样的道理计算。
可以发现，在懦夫博弈中，真正出现车毁人伤的概率
其实还是艰小的，为
1/9
，约为
11
%
。
〔注
1
〕
(2/3
，
1/3)
是混合策略的表示方法，
括号中第一个数字表示选择第
一个策略的概率，
第二个数字表示选择第二个策略的概率，
依此
类推。在这里，
(2/3
，
1/3)<
/p>
具体表示司机乙以
2/3
的概率选择转向
（策略一）
，以
1/3
的概率选择向前
（策略二）
。
3
〔注
2
〕
｛
(2
／
3<
/p>
，
1
／
3)
，
(2/3
，
1/
3)
｝是混合策略组合的表示方法，第一个小括号内表示
第一个
参与人的混合策略，
第二个小括号内表示第二个人的混合策略。
在这个博弈中，
可以
证明这是唯一的混合策略纳什均衡。
§
4-2
如何寻找混合策略均衡
1
、
“麦琪的礼物”中的混合策略
下面我们介绍一种简便的求解混合策略的方法，它不一定严谨，但是管用。<
/p>
以“麦琪的礼物”为例来说明。我们假设丈夫卖表的概率为
p
，那么，不卖
表的概率为
1- p
，为了更方便，也可将这概率标记在赢利表旁边（如图
4-3
）
；
假设妻子剪发的概
率为
q
，那么不剪发的概率为
1-q<
/p>
，为方便把它们记在赢利表
下边。
丈夫
卖表
不卖
剪发
0,0
1,2
妻子
不剪
2,1
0
，
0
P
1-p
q 1-q
图
4-3
麦琪的礼物
各参与人在各策略下的预期赢利为：
◆
丈夫
卖表的预期赢利：
O
×
q+2
×
(l-q) =
2
－
2q (1)
不卖的预期赢利：
l
×
q+O
×
(l-q) = q (2)
◆
妻子
剪发的预期赢利：
O
×
p+2
×
(1-p) = 2- 2p (3)
不剪的预期赢利：
l
×
p+O
×
(1
－
p) = p (4)
< br>有必要注意，
丈夫的某个策略的赢利是该策略对应的行中丈夫的赢利与妻子
的概率积之和；
而妻子的某个策略的赢利是该策略对应的列中妻子的赢
利与丈夫
的概率积之和。
纳什均衡应
满足，
妻子选择
q
使丈夫在各策略之间
的预期赢利没有差异，
即
使式子
(1)
等于式子
(2)
：
2-2q = q
，可解出
q
﹡<
/p>
=2/3
；
丈夫选择
p
使妻子在各策略之间的预期赢利没有差异，即使
式子
(3)
等于式
子
< br>(4): 2-2p=P
，
可
解出
P
﹡
=2
／
3
。
由此
，在纳什均衡状态下，丈夫的混合策略是
(2/3
，
1/3)
，妻子的混合策略
也是
< br>(2/3
，
1/3)
。
混合纳什均衡为
{(2/3
，
< br>1/3)
，
(2/3
，
1/3)}
。
2
、
求混合策略应先剔除劣势策略
4