初中数学几何的动点问题专题练习
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动点问题专题训练
1
、
（
09
包头）如图，已知<
/p>
△
ABC
中，
A
B
AC
1
0
厘米，
BC
8
厘米，点
D
为
AB
的中点．
（
1
）
如果点
P
在线段
BC
上以
3
厘米
/
秒的速度由
B
点向
C
点运动，
同
时，
点
Q
在线段
CA
上由
C
点向
A
点运动．
①若点
Q
的运动速度与点
P
的运动
速度相等，经过
1
秒
后，
△
BPD
与
△
CQP
是否全等，请说明理由；
< br>②若点
Q
的运动速度与点
P
的运动速度不相等，当点
Q
的运动速度为多
少时，能够使
△
BPD
与
△
CQP
全等？
（
2
）
若点
Q
以②中的运动速度从点
C
出发，
点
P
以原来
< br>的运动速度从点
B
同时出发，都逆时针沿
△
ABC
三边运
B
动，求经过多长时间点
P
与点
< br>Q
第一次在
△
ABC
的哪条
边上相遇？
<
/p>
解：
（
1
）①∵
t
1
秒，<
/p>
∴
BP
CQ
3
1
3
厘米，
∵
AB
10
厘米，点
D
为
AB
的中点，
∴
BD
5
厘米
．
又∵
PC
BC
BP
，
BC
8
厘
米，
∴
PC
8
3
<
/p>
5
厘米，
∴<
/p>
PC
BD
．<
/p>
又∵
AB
<
/p>
AC
，
∴
B
C
，
∴
△
BPD
≌△
CQP
．
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（
4
分）
<
/p>
②∵
v
P
v
Q
，
∴
BP
CQ
，
又∵
△
BPD
≌△
CQP
，
B
C
，则
BP
PC
4
，
CQ
BD
5
，
∴点
P
，点
Q
运动的时间
t
∴
v
Q
D
Q
P
C
A
BP
4
秒，
3
3
CQ
5<
/p>
15
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（
7
分）
<
/p>
厘米
/
秒．
·
4
4
t
3
（
2
）设经过
x
秒后点
P<
/p>
与点
Q
第一次相遇，
由题意，得
解得
x
15
x
3
x
2
10
，
4
80
秒．
3
京翰教育
1
对
1
家教
/
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< br>80
3
80
厘米．
3
< br>∵
80
2
28
24
，
∴点
P
共运动了
∴点
P
、点
Q
在
AB
边上相遇，
80
秒点
P
与点
Q
第一次在边
AB
上相遇．
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·<
/p>
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（
12
分）
3
3
2
、
（
09
齐齐哈尔）直线
y
x
6
与坐标轴分别交于
A
、
B
两点，动点
P
、
Q
同
4
∴经过
时从
O
点出发，同时
到达
A
点，运动停止．点
Q
沿线段
OA
运动，
速度为每秒
1
个单位长度，点
P
沿路线
O
→
B
→
A
运动．
（
1
）直接写出
A
、
B
两点的坐标；<
/p>
（
2
）设点<
/p>
Q
的运动时间为
t
秒，
△
OPQ
的面积为
S
，求出
S
与
t
之间的函数关系
式；
<
/p>
48
时，求出点
P
的坐标，并直接写出以点
O
、
P
、
Q
为顶点的平行四
5
边形的第四个顶点
M
的坐标．
y
（
3
）当
S
解（
1
）<
/p>
A
（
8
，
0
）
B
（
0
，
6
）
·
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·<
/p>
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1
分
（
2
）
OA
8
，
OB
6
AB
10
B
P
x
8
点
Q
由<
/p>
O
到
A
的时间是
8
（秒）
1
6
10<
/p>
2
（单位
/<
/p>
秒）
·
·
·
1
分
点
P
的速度是
8<
/p>
O
Q
A
当
P
在线段
OB
上运动（或
0
≤
t
≤
3
）时，
OQ
< br>
t
，
OP
2
t
S
t
2
<
/p>
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1
分
当
P
在线段
BA
上运
动（或
3
t
≤
8
）时，
OQ
t
，
AP
6
10
2
t
16<
/p>
2
t
,
如图，作
PD
O
A
于点
D
，由
PD
AP
48
6
t
，得
PD
，
·
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< br>·
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1
分
< br>BO
AB
5
1
< br>3
24
S
OQ
PD
t
2
t
·
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< br>·
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·
1
分
2
5
5
（自变量取值范围写对给
1
分，否则不给分．
）
<
/p>
（
3
）
P
，
·
·
·
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·<
/p>
1
分
8
24
5
5
京翰教育
1
对
1
家教
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< br>
8
24
12
24
12
24
·
·
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·<
/p>
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·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
3
分
I
1
，
，
M
2
，
，
< br>M
3
，
·
5
5
5
5
5
5
3
（
09
深圳）如图，在平
面直角坐标系中，直线
l
：
y
=
－
2
x
－
8
分别与
x
轴，
y
轴
相交于
A
，
B
两点，点
P
（
0
，
k
）是
y
轴的负半轴上的一
个动点，以
P
为圆
心，
3
为半径作⊙
P
.
（
1
）连结
PA
，若
PA
=
PB
，试判断⊙
P
与
x
轴的位置关系，并说明理由；
（
2
）当
k
为何值时
，以⊙
P
与直线
l
的两个交点和圆心
P
为顶点的三角形
是正三角形？
解：
（
1<
/p>
）⊙
P
与
x
轴相切
.
∵直线
y
=
－
2
x
－
8
与
x
轴交于
A
（
4
，
0
）
，
与
y
轴交于
B
（
0
，－
8
）
，
∴
OA
=4
，
OB
=8
.
由题意，
OP
=
－
k
，
∴
PB
=
P
A
=8+
k
.
在
Rt
△
AOP
中，
k
2
+4
2
=(8+
k
)
< br>2
，
∴
k
=
－
3
，
∴
OP
等于⊙
P
的半径，
∴⊙
P
< br>与
x
轴相切
.
< br>
（
2
）设⊙
< br>P
与直线
l
交于
C
，
D
两点，连结
PC
，
PD
当圆心
P
在线段
OB
上时<
/p>
,
作
PE
⊥
CD
于
E
.
∵△
PCD
为正三
角形，∴
DE
=
∴
PE
=
1
3
CD
=
，
PD
=3
，
2
2
3
3
.<
/p>
2
∵∠
AOB
=
∠
PEB
=
90°
，
∠
ABO
=
∠
PBE
，
∴△
AOB
< br>∽△
PEB
，
∴
3
3
AO
< br>PE
4
,
即
=
2
，
AB
PB
4
5
PB
京翰教育
1
对
1
家教
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∴
PB
<
/p>
3
15
,
2
∴
PO
BO
PB
8
∴
P
(0,
∴
k
3
15
8)
，
2
3
15
，
2
< br>3
15
8
.
2
当圆心
P
在线段
OB
延长线上时
,
同理可得
P
(0,<
/p>
－
∴
k
=
－
3
15
－
8
，
2
3
15
－
8)
，
2
3
< br>15
3
15
－
< br>8
或
k
=
－
－
8
时，
以⊙
P
与直线
l
的两个交点和圆心
P
为顶点的三
2<
/p>
2
角形是正三角形
.
∴当
k
=
4
（
09
哈尔滨）
如图
1
，
在平
面直角坐标系中，
点
O
是坐标原点，<
/p>
四边形
ABCO
是菱形，点
A
的坐标为（－
3
，
4
）
，
点
C
在
x
轴的正半轴上，直线
AC
交
y
轴于点
M
，
A
B
边交
y
轴于点
H
．
（
1
）求直线
AC
的解析式；
< br>
（
2
）连接
BM
，如图
2
，动点
P
从点
A
出发，沿折线
ABC
方向以
2
个单
位／秒的速度向终点
C
< br>匀速运动，设△
PMB
的面积为
S
（
S
≠
0<
/p>
）
，点
P
的运动
时间为
t
秒，求
S
与
t
之间的函数关系式（要求写出
自变量
t
的取值范围）
；
（
3
）在（
2
）的条件下，当
< br>t
为何值时，∠
MPB
与∠
BCO
互为余角，并求
此时直线
OP
与直线
AC
所夹锐角
的正切值．
京翰教育
1
对
1<
/p>
家教
/
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解：
京翰教
育
1
对
1
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< br>5
（
09
河北）在
Rt
△
ABC
中，∠
C
=90°
，
AC
= 3
，
AB
= 5
．点
P
从点
C
出发
沿
CA
以每秒
1
个单位长的速度向点
A
匀速运动，到达点
A
后立刻以原来的速
度沿
AC
返回；
点
Q
从点
A
出
发沿
AB
以每秒
1
个单
B
位长的速度向点
B
匀速运动．伴随着
P
、
Q
的运动，
DE
保持垂直平分
PQ
，且交
PQ
于点
D
，交折线
QB
-
BC
-
CP
于点
E
．点
P
、
Q
同时出发，当点
Q
到达
点
B
时停止运动，点<
/p>
P
也随之停止．设点
P
< br>、
Q
运动
E
< br>的时间是
t
秒（
t
＞
0
）
．
< br>
Q
（
1
）当
t
= 2
时，
AP
=
，点
Q<
/p>
到
AC
的距
D
离是
；
A
C
P
（
2
）在
点
P
从
C
向<
/p>
A
运动的过程中，求
△
< br>APQ
图
16
的面积
S
与
t
的函数关系式；
（不必写出
t
的取值范围）
（<
/p>
3
）在点
E
从<
/p>
B
向
C
运动的过
程中，四边形
QBED
能否成
为直角梯形？若能，求
t
的值．若不能，请说
明理由；
（
4
）当
DE
经过点
C
时，请直接
写出
t
的值．
．．
8
解：
（
1
）
1
，
；
5
（
< br>2
）作
QF
⊥
< br>AC
于点
F
，如图
3
，
AQ
=
CP
=
t
，∴
AP
3
t
．
<
/p>
由
△
AQF
∽<
/p>
△
ABC
，
BC
5
2
3
2
4
，
得
QF
t
4
．∴
QF
t
．
4
5
5
B <
/p>
1
4
∴
S
(3
t
)
t
，
2
5
2
< br>6
即
S
t
2
t
．
5
5
（
3
）能．
①
当
DE
∥
QB
时，如图
4
．
∵
DE
⊥
PQ
，∴<
/p>
PQ
⊥
QB
，四
边形
QBED
是直角梯形．
此时∠
AQP
=90°
．
AQ
AP
由△
APQ
∽△
ABC
，得
，
AC
AB
t
3
t
9
即
．
解得
< br>t
．
3
5
8
E
Q
A
D
P
C
图
4
B
②如图
5
，当
PQ
∥
BC
时，
DE
⊥
BC
，四边形
QBED
是直角梯形．
此时∠
APQ
=90°
．
由△
AQP
∽△
ABC
，得
AQ
AP
，
AB
AC
A
Q
D
P
E
C
t
3
t
15
即<
/p>
．
解得
t
．
5
3
8
图
5
B
京翰教育
1
对
1
家教
/
Q
G
D
A
P
C
(
E
)
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< br>（
4
）
t
5
45
或
t
．
2<
/p>
14
①点
P
由<
/p>
C
向
A
运动，<
/p>
DE
经过点
C
．
连接
QC
，
作
QG
⊥
BC
于点
G
，如图
6
．
3
4
P
C
t
，
QC
2
QG
2<
/p>
CG
2
[
(5
t
)]
2
[4
(5
t
)]
2
．
5
5
由
PC
2
QC
2
，得
t
2
< br>[
(5
t
)]
2
[4
(5
t
)]
2
，解得
t
②点
P
由
A
向
C
运动，
DE
经过点
C
，如图
7
．
3
4
(6
t
)
2
[
(
5
t
)]
2
[4
(5
t
)]
2<
/p>
，
t
45
】
5
5
14
3
5
4
5
5
．
2
6
（
09
河
南
））
如
图
，
在
Rt
△
ABC
中
，
ACB
90
°
，
B
60
°
，
BC
2
．点
O
是
AC
的中点，过
点
O
的直线
l
从与
AC
重合的
位置开始，绕点
O
作逆时针
旋转，交<
/p>
AB
边于点
D
．
过点
C
作
CE
∥
AB
交直线
l
于点
A
E
，设直线
l
的旋转角为
．
（
1
）
①当
度时，
四边形
E
D
B
C
是等腰梯形，
此时
AD
的长为
；
②当
度时，
四边形
E
D
B
C
是直角梯形，
此时
AD
的长为
；
（
2
）当
90
°
时，判断四边形
EDBC
是否为菱形，并说
A
明理由．
E
O
D
l
C
B
C
O
B
（备用图）
解（
1
）①
30
，
1
；②
60
，
1.5
；
„„„„„„„„
4
分
（
2
）当∠
α
=90
时，四边形<
/p>
EDBC
是菱形
.
∵∠
α
< br>=
∠
ACB=90
，∴
BC
//
ED
.
∵
CE
< br>//
AB
,
∴四边形
EDBC
是平行四边形
.
„„„„„„„„
6
分
在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB<
/p>
=90
，∠
B
=
60
,
BC
=2,
< br>∴∠
A
=30
.
0
0
0
0
0
∴
AB
=4,
AC
=2
3
< br>.
∴
AO
=
< br>1
AC
=
3
.
„„
„„„„„„
8
分
< br>2
0
在
Rt
△
AOD
中，∠
A
=30
，∴
AD
=2.
∴
BD
=2.
京翰教育
1
对
1
家教
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< br>∴
BD
=
BC
< br>.
又∵四边形
EDBC
是平行
四边形，
∴四边形
EDBC
是菱形
„„„„„„„„
10
分
7
（
09
济
南
）
如
图<
/p>
，
在
梯
形
ABCD
中
，
动
点
M
从
B
点
出
发
沿
线
段
AD
∥
BC
，
AD
3
，
DC
< br>5
，
AB
4
2
，∠
B
45
．
BC
以每秒
2
个单位长度的速度向终点
C
运动；
动点
N
A
D
同时从
C
点出发沿线段
CD
以每秒
1
个单位长度的速
度向终点
< br>D
运动．设运动的时间为
t
秒．
N
（
1<
/p>
）求
BC
的长．
B
（
2
）当
MN
∥
AB
时
，求
t
的值．
C
M
（
3
）试探究：
t
为何值时，
△
MNC
为等腰三角形．
解：
（<
/p>
1
）
如图①，
过
A
、
D
分别作
AK
BC
于
K
，
DH
<
/p>
BC
于
H
，
则四边形
ADHK
是矩形
< br>
∴
KH
AD
3
．
·
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< br>·
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·
1
分
在
Rt
△
ABK
中，
AK
AB
sin
45
4
2
．
2<
/p>
4
2
BK
AB
cos
45
4
2
2
·
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< br>·
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2
分
4
·
2
在
Rt
△
CDH
中，由勾股定理得，
HC
5
2
< br>4
2
3
∴
BC
BK
KH
HC
4
3
3
10<
/p>
·
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3
分
A
D
A
D
N
C
B
C
B
K
H
G
M
（图①）
（图②）
（
2
）如图②，过
D
< br>作
DG
∥
AB
< br>交
BC
于
G
点，则四边形
ADGB
是平行四边形
∵
MN
∥
AB
∴
MN
∥
DG
∴
B
G
AD
3
∴
GC
<
/p>
10
3
7
·
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< br>·
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< br>·
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·
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·
4
分
由题意知，当
M
、
N<
/p>
运动到
t
秒时，
CN
t
，
C
M
10
2
t
．
∵
DG
∥
MN
∴
∠
NMC
∠
DGC
又
∠
C
∠
C
∴
△
MNC
∽△
GDC
京翰教育
1
对
1
家教
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CN
CM
·
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< br>·
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·
5
分
CD<
/p>
CG
t
10
<
/p>
2
t
即
5
7
50
解得，
t
·
·
·
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·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
6
分
17<
/p>
∴
（
3
）分三种
情况讨论：
①当
NC
MC
时，如图③，即
t
10
2
t
∴
t
10
·
·
·
·
·
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·<
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·
7
分
3
D
N
A
A
D
N
B
B
C
M
（图④）
（图③）
②当
MN
NC
时，如图④，过
N
作
NE
MC
于
E
解法一：
由等腰三角形
三线合一性质得
EC
M
H
E
C
1
1
MC
10
2
t<
/p>
5
t
2
2
EC
5
t
在
Rt
△
CEN
中，
cos
c
NC
t
CH
3
又在
Rt
△
DHC
中，
cos
c
CD
5
5
t
3
∴
t
5
25
解得
t
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
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·
8
分
8
解法二：
∵
∠
C
∠<
/p>
C
，
DHC<
/p>
NEC
<
/p>
90
∴
△
NEC
∽△
DH
C
NC
EC
DC
HC
t
5
t
即
5
3
25
∴
t
·
·
·
·
·
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/p>
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8
分
8
1
1
③当
MN
MC
时，如图⑤，过
M
作
MF
CN
于
F
点
.
FC
NC
t
2
2<
/p>
∴
解法一：
（方法同②中解法一）
京翰教育
1
对
1
家教
/