天津九年级数学知识点总结
-
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一元二次方程知识点总结
考点一、一元二次方程
1
、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的整式方程叫做一元二次方程。
2
、一元二次方程的一般形式：
ax
bx
c
0
(
a
0
)
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数
x
的二次
多项
式，等式右边是零，其中
ax
叫做二次项，
a
叫做二次项系数；
bx
叫做一次
项，
b
叫做一次项系数；
c
叫
做常数项。
考点二、一元二次方程的解法
1
、直接开平方法
:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如
2
2
(
x
a
)
2
b
的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
x
a
是
b
的平方根，当
b
0
时，
x
a
b
，
x
a
b
，当
b<0
时，方程没有实数根。
2
、配方法
:
配方法的理论根据是完全平方公式
a
2
ab
b
(
a
b<
/p>
)
，把公式中的
a
看做未知数
x
，并用
x
代替，则
有
x
2
bx
b
(
x
< br>b
)
。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为
1
，再同时加上
1
次项的系数的一半的
< br>平方，最后配成完全平方公式
3
、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
<
/p>
一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
的求根公式：
2
2
2
2
2
2
2
b<
/p>
b
2
4
ac
2
x
(
b
4
ac
0
)
2
a
公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，
这里二次项的系数为
a
，一次项的系数为
b
，
常数项的
系数为
c
< br>。
4
、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用< /p>
的方法。
分解因式法的步骤：把方程右
边化为
0
，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是
分解因式中的
公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
< br>
5
、韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于
-
为
x
1
+x
2
=-
b
c
，二根之积等于
，也可以表示
a
a
b
c
，
x
1
x
2
=
。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。
a
a
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考点三、一元二次方程根的判别式
根的判别式：
2
一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
0
< br>)
中，
b
4
ac
叫做一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
的根的判别
2
2
式，通常用“
”来表示，即
b
4
ac
I
当△
>0
时，一元二次方程有
2
个不相等的实数根；
< br>
II
当△
=
< br>0
时，一元二次方程有
2
个相同
的实数根；
III
当△
<
0
时，一元二次方程没有实数根。
考点四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程
ax
bx
c
0
< br>(
a
0
)
的两个实数根是
x
1
，
x
2
，那么
x
1
x
< br>2
2
2
b
c
，
x
1
x
2
。也就是说，对
a
a
于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反
数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点五、一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二< /p>
次方程也可以用二次函数来表示，
其实一元二次方程也是二次函数
的一个特殊情况，
就是当
Y
的
0
的时候就
构成了一元二次方程了。那如果在平
面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与
X
轴
的交点。也就是该方程的解了
一元二次方程易错题
一、选择题
1
、若关于
x
的一元二次方程
(m-1
)x
2
+5x+m
2
< br>-3m+2=0
有一个根为
0
，
则
m
的值等于（
）
A
．
1
B
.
2
C
.
1
或
2
D
.
0
2
、巴中日报讯：今年我市小春粮油
再获丰收，全市产量预计由前年的
45
万吨提升到
50
万吨，设从前年到
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今年我市的粮油产量年平均
增长率为
x
，则可列方程为（
）
A
．
45
2
x
50
B
．
45(1
x
)
50
C
．
50(
1
x
)
<
/p>
45
2
2
2
D
．
45(1<
/p>
2
x
)
50
3
、已知
a
，
b
是关于
x
的一元二次方程
x
nx
1
0
的两实数根，则
A
．
n
2
2
b
a
的值是（
）
a
b
B
．
n
2
2
C
．
n
< br>
2
2
D
．
n
2
2
4
、已知
a
、
b
、
c
分别是三角形的三边，则
(a + b)x2 +
2cx + (a + b)
＝
0
的根
的情况是（
）
A
．没有实数根
B
．可能有且只有一个实数根
D
．有两个不相等的实数根
2
2
C
．有两个相等的
实数根
2
5
、
已知
m
,
n
是方程
x
2
x
1
0
的两根，
且<
/p>
(
7
m
14
m
a
)(
3
n
6
n
7
)
8
，
则
a
的值等于
（
）
A
．－
5
B.5
C.-9
D.9
6
、已知方程
x
bx
a
0
有一个根是
a
< br>(
a
0)
，则下列代数式的值恒为常数的是（
）
A
．
ab
B
．
2
2
a
C
．
a
b
D
．
a
b
b
7
、
x
2
x
< br>
2
0
的一较小根为
x
1
,
下面对
x
1
的估计正确的是<
/p>
（
）
A
．
2
x
1
1
B
．
< br>
1
x
1
0
2
C
．
0
x
1
1
D
．
1
x
1
< br>2
2
2
8
、
关于
x
的一元二次方程
x
mx
2
m
< br>1
0
的两个实数根分别是
x
1
、
x
2
，
且
x
1
x
2
< br>
7
，
则
(
x
1
x
2
)
2
的
值是（
）
A
．
1
B
．
12
C
．
13
D
．
25
9
、中江县
2011
年初中毕业生诊断考
试
)
某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其
他同学
各送一张表示留念，全班共送了
2450
张相片，如果全班有
x
名学生，根据题意，列出方程为
( )
A
.
x
(<
/p>
x
1
)
2450
B
.
x
(<
/p>
x
1
)
2450
C
.
2
x<
/p>
(
x
1
)
2450
D
.
x
(<
/p>
x
1
)
2450
2
2
10
、设
a
，
b
是方程
x
2
x
2009
0
的两个实
数根，则
a
2
a
b
的值为（
）
A
．
2006
B
．
2007
C
．
2008
D
．
2009
11
、对于一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
(
a≠0)
，下列说法：
①若
a+c=0
，方程
ax
2
+bx+c=0
必有实数根；<
/p>
②若
b<
/p>
+4ac<0
，则方程
ax
2
+bx+c=0
一定有实数根；
< br>
③若
a-b+c=0
，则方程
ax
2
+bx+c=0
一定有两个不等实数根；
< br>④若方程
ax
+bx+c=0
有
两个实数根，则方程
cx
+bx+a=0
一定有两个实数根．
其中正确的是
( )
A
．①②
B
．①③
C
．②③
D
．①③④
二、填空题
1
、若一元二次方程
x
－
(a+2)x
+2a=0
的两个实数根分别是
3
、<
/p>
b
，则
a+b
=
．
2
2
2
2
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3
、方程（
x
﹣
1
）
（
x +
2
）
=
2
（
x +
2
）的根是
．
2
ab<
/p>
4
、关于
x
的一
元二次方程
ax
+bx+1=0(a
0)
有两个相等实根，求
的值为
____
___
．
2
2
(a
-
2)
b
-
4
2<
/p>
2
5
、在等腰△
ABC
中，三边分别为
a
，
b
，
c
，其中
a=5
，若关于
x
的方程
x
+(b+2)x+6-b=0
有两个
相等的实数
根，则△
ABC
的周长为<
/p>
__________
．
6
、已知关于
x
的一元二次
方程
x
-6x-k
=0
（
k
为常数）
．设
x
1
，
x
2
为方程的两个实数根，且
x
1
+2x
2
=14
< br>，
2
2
则
k
的值为
__________
．<
/p>
7
、已知
m
、
n
是方程
x
2
-2003x+2004=0
的两
根，则
(n
-2004n+2005)
与
(m
-2004m+2005)
的积
是
.
2
2
人教版九年级数学下二次函数最全的中
考知识点总结
相关概念及定义
b
< br>，
c
是常数，
a
0
）的函数，叫做
二次函数的概念：一般地，形如
y
ax
2
bx
c
（
a
，
c
可以为零．
二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似
，
二次项系数
a
0
，
而
b
，
二
次函数的定义域是全体实数．
二次函数
y
ax
2
bx
c
的结
构特征：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是
2
．
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b
，
c
是常数
，
a
是二次项系数，
b
是一次项系数，
c
是常数项．
⑵
a
，
二次函数各种形式之间的变换
2
二
次
函
数
y
ax
2
bx
c
用
配
方
法
可
< br>化
成
：
y
a
x
h
k
的
形
式
，
其
中
b
4
ac
b
2
h
，
k
.
2
a
4
a
二
次
函
数
由
特
殊
到
一
般
，
可
分
为
以
下
< br>几
种
形
式
：
①
y
a
x
2
；
②
y<
/p>
ax
2
k
；
③
y
a
x
h
；④
y
a
x
h
k
；⑤
y
ax
2
bx
c
.
二次函数解析式的表示方法
一般式：
y
ax
2
bx
c
（<
/p>
a
，
b
，
c
为常数，
a
0
）
；
顶点式：
y
a
(
x<
/p>
h
)
2
k
（
a
，
h
，
k
为常数，
a
0
）
；
两根式：
y
a
(
x<
/p>
x
1
)(
x
x
2
)
（
a
0
，
x
1
< br>，
x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）
.
注意：任何二次函数的解析式都可
以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可
以写成交点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
4
ac
<
/p>
0
时，抛物线的解析式才可以用交
点式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
.
二次函数
y
ax
2
bx
c
图象
的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y
ax
2
bx
c
化为顶点式
y
< br>
a
(
x
h
)
2
k
，确定其
开口方向、对称轴及顶点坐
标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.
一般我们选
c
、以及
0
，
c
关于对称轴对称的点
2
h
，
c
、
与
取的五点为：顶点、与
y
轴的交点<
/p>
0
，
2
2
x
轴的交点
x
1
，
0
，
x
2
，
0
< br>（若与
x
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）<
/p>
.
画草图
时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，
与
y
轴的交点
.
二次函数
y
ax
2
的
性质
二
次函
开口方
顶点坐
对称
a
的符号
性质
数
向
标
轴
2
y
ax
c
y
x
0
时，
随
x
的增大而增大；
x
0
时，
的性质
<
/p>
0
，
0
y
轴
y
随
x
的增大而减小；
x
0
时，
y
有最小
向上
a
0
二次函
值
0
．
开口方
顶点坐
对称
a
的符号
性质
数
向
标
轴
x
0
时，
y
随
x
的增大而减小
；
x
0
时，
2
y
a
x
h
y
y
y
x
0
，
< br>0
向下
轴
<
/p>
随
的增大而增大；
x
0
时，
有最大
< br>a
0
x
0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
0
时，
< br>的
性
值
0
．
质：
0
，
c
<
/p>
y
轴
a
0
向上
y
随<
/p>
x
的增大而减小；
x
0
时，
y
有最小
二
开口方
顶点坐
对称
a
的符号
性质
次
值
c
．
< br>
向
标
轴
函
x
的增大而减小；
时，
x
0
时，
x
y
h
随
x
0
时，
x
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
数
，
c
h
，
0
0
向上
轴<
/p>
a
0
a
0
向下
y
X=h
x
0
时，
x
y
有最大
h
时，
y
有最小
y
随
x
的增大而增大；
y
随
x
的增大而减小；
值
c
．
值
0
．
y
a
x
h
a
的符号
a
0
开口方
向下
向
顶点坐
，
0
h
标
对称
X=h
轴
x
h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
h
时，
的
性
质
性质
<
/p>
y
随
x
的增大而
增大；
x
h
时，
y
有最大
x
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
h
时，
值
< br>0
．
a
0
向上
h<
/p>
，
k
X=h
y
随
x
的增大而减小；
x
h
时，
y
有最小
值
k
．
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x
h
时，
y
随
x
的增大而减小；
< br>x
h
时，
a
0
向下
h<
/p>
，
k
X=h
y
随
x
的增大而增大；
x
h
时，
y
有最大
值
k
．
抛物线
y
ax
2
<
/p>
bx
c
的三要
素：开口方向、对称轴、顶点
.
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a
0
时，开口向上；当
a
0
时，开口向下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
对称轴：
平行于
y
轴（或重合）的直线记作
x<
/p>
b
.
特别地，
y
轴记作直线
x
0
.
2
a
b
4
ac
b
2
（
，
）
顶点坐标：
2
a
4
a
顶点决定抛物线的位置
.
几个不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛物线
的
开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同
.
抛物线
y
ax
2
<
/p>
bx
c
中，<
/p>
a
,
b
,
c
与函数图像的关系
二次项系数
a
二次函数
y
ax
< br>2
bx
c
中，
a
作为二次项系数，显然<
/p>
a
0
．
⑴
当
a
0
时，抛物线开口向上，
a
越大，开口越小，反之
a
的值越小，开口越大；
⑵
当
a
0
时，抛物线
开口向下，
a
越小，开口越小，反之
a
的值越大，开口越大．
总结起来，<
/p>
a
决定了抛物线开口的大小和方向，
a<
/p>
的正负决定开口方向，
a
的大小决定开<
/p>
口的大小．
一次项系数
b
在二次
项系数
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线的对称轴．
⑴
在
a
0
的前提下，
b
0
，即抛物线的对称轴在
y
轴左侧；
2
a
b
当
b
< br>0
时，
0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2
a
b
当
b
0
时，
0
，即抛物线对称轴在
y
轴的右侧．
2
a
⑵
在
a
0
的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当
b
0
时，
0
，即抛物线的对称轴在
y
轴右侧；
< br>
2
a
b
当
b
0
时
，
0
，即
抛物线的对称轴就是
y
轴；
2
a
b
当
b
0
时，
0
，即抛物线对称轴在<
/p>
y
轴的左侧．
2
a
总结起来，在
a
< br>确定的前提下，
b
决定了抛物线对称轴的位置．
当
b
0
时，
总结：
常数项
c
⑴
当
c
0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方，即抛物线与<
/p>
y
轴交点的纵坐标为正；
⑵
当
c
0
时，抛物线
与
y
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为
0
；
⑶
当
c
0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方，即抛物线与
y
轴交点的
纵坐标为负．
总结起
来，
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置．
总之，
只要
a
，
b
，
c
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
< br>
求抛物线的顶点、对称轴的方法
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b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
（
，
）
公式法：
y
ax
bx
c
a
x
< br>
，∴顶点是
，对称轴
2
a
4
a
2
a
4
a
b
是直线
x
.
< br>2
a
2
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y
a
x
h
k
的形式，得到顶点
为
(
h
,
k
)
，对称轴是直线
x
h
.
运用
抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线
的垂直平
分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失
.
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：
y
ax
2
bx
c
.<
/p>
已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常选择一般式
.
2
2
顶点式：
y
a<
/p>
x
h
k
.
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
.
交点式：已知图像与
x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用交
点式：
y
a
x
x
1<
/p>
x
x
2
.
直线与抛物线的交点
y
轴与抛
物线
y
ax
2
bx
c
得交点为
(0,
c
).
与
y
轴平行的直线
x
h
与抛物线
< br>y
ax
2
bx
c
有且只有一个交点
(
h
,
ah
2
bh
c
).
抛物线与
x
轴的交点
:
二次函数
y
ax
2
< br>
bx
c
的图像与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2<
/p>
，
是对应一元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两个实数根
.
抛物线与
x
轴的交点
情况可以由
对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点
0
抛物线与
x
轴相交；
②有一个交点（顶点在
x
轴上）
0
抛物线与
x
轴相切；
③没有交点
0
抛物线与
x
轴相离
.
<
/p>
平行于
x
轴的直线与抛物线的交点
可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为<
/p>
k
，则横坐标是
ax
2
bx
c
k
的两个实数根
.
一次函数
y
kx
n
k
0
的图像
l
与二次函数
y
ax
2
bx
c
a
0
的图像
G
的交点，
y
kx
n
由方程组
的解的数目来
确定：
①方程组有两组不同的解时
l
与
G
有
2
y
ax
bx
c
两个交点
;
②方程组只有一组解时
l
与
G
只有一个交点；
③方程组无解时
l
与
G
没
有交点
.
抛
物
线
与
x
轴
两
交
点
之
间
的
距
离
：
若
抛
物
线
y
< br>ax
2
bx
< br>
c
与
x
轴
两
交
点
为
A
x
1
，
0
，
B
x
2
，
0
，由于
x
1
、
x
< br>2
是方程
ax
2
bx
c
< br>
0
的两个根，故
b
c
x
1
x
2
,
x
1
x
2
a<
/p>
a
2
4
c
b
2
4
ac
b
AB
x
1
x
2
x
1
x
2
<
/p>
x
1
x
2
4
x
1
x
2
a
a
a
a
二次函数图象的对称
:
二次函数图象的对称一般
有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于
x
轴对称
关于
c
x<
/p>
轴对称后，得到的解析式是
y
ax
2
bx
c
；
y
a
2
x
b
x
2
2
y
a
< br>x
h
k
关于
x
轴对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
k
；
关于
y
轴对称
y
ax
2
bx
c
关于
y
轴对称后，得到的解析式是
y
ax
2
bx
c
< br>；
2
2
y
a
x
h
k
关于
y
轴对称后，得到的解析式是
y
a
x
< br>h
k
；
关于原点对称
2
2
2
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y
a
2
x
b
x
关于原点对称后
，得到的解析式是
c
y
ax
2
bx
c
；
< br>
k
y
a
x
h
k
；
y
a
x
h
关于原点对称后
，得到的解析式是
关于顶点对称
2
2
b
2
关于顶点对称后，得到的解析式是
c
y
a
x
b
x
；
y
ax
bx
c
< br>2
a
2
2
y
a
x
h
k
关于顶点对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
k
．
< br>2
2
n
对称
关于点
m
，
y
a
x
h
k
关于点
m
，
n
对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
2
m
2
n
k
2
2
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，
因此
a
永远不变．
求
抛物线的对称抛物线的表达式时，
可以依据题意或方便运算的原则，
选择合适的形式，
习惯上是先确定原抛物线
（或表达式已知
的抛物线）
的顶点坐标及开
口方向，
再
确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，
然后再写出其对称抛物线的表达
式．
二次函数图象的平移
平移步骤：
2
⑴
将抛物
线解析式转化成顶点式
y
a
x
h
k
，确定其顶点坐标<
/p>
h
，
k
；
⑵
保持抛物线
y
ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
h
，<
/p>
k
处，具体平移方法如下：
y=ax
2
向上
(
k
>
0
)
【或向下
(
k
<0)
】平移
|k
|<
/p>
个单位
y=ax
2
+
k
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
< br>|
k|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位<
/p>
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<
0)
】
平移
|k
|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<0)
】平移
|
k
|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
+k
平移规
律
在原有函数的基础上
“
h
值正右移，负左移；
k
值
正上移，负下移
”
．
概括成八个字“左加右减，上加下减”
．
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
三点式。
1
，已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
经过
A
（
3
，
0
）
，
B
（
2
3
，
0
< br>）
，
C
（
0
，
-3
）三点，求抛物线的解
析式。
2
，已知
抛物线
y=a(x-1)
２
+4
，
经过点
A
（
2
，
3
）
，求抛物线的解析式。
顶点式。
1
，已知抛物线
y=x
2
-2ax+a
2
+b
顶点为
A
（
2
，
1
）
，求抛物线
的解析式。
2
2
，已知抛物线
y=4(x+a)
-2a
的顶点为（
3
，
1
）
，求抛物线的解析式。
交点式。
1
，已知抛物线与
x
轴两个交点分别为（
3
，
0
）
,(5,0),
求抛物线
y=(x-a)(x-b)
的解析式。
1
2
，已知抛物线线与
x
轴两个交点（
4
，
0
）
，
（
1
，
0
）求抛物线
y=
a(x-2a)(x-b)
的解析式。
2
定点式。
1
5
a
x
<
/p>
2
a
2
经过
x
轴上一定点
Q
，
1
，在直角坐标系中，不论
a
取何值，抛物线
y
x
2
2
2
直线
y<
/p>
(
a
2
)
x
2
经过点
Q,
求抛物线的
解析式。
2
，抛物线
y=
x
2
+(2m-1)x-2m
与
x
轴的一定交点经过直线
y=mx+m+4
，求抛物线的解析式。