一元一次方程及其应用
-
一元一次方程及其应用
一元一次方程的概念
1.
一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：
ax+b=0(
其中<
/p>
x
是未知数，
a,b
是已知数，且
a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：
（
1
）只含有一个未知数；
（
2
）未知数的次数是
1
次；
（
3
）整式方程．
【例
题
1
】
（经典题）解方程：
【例题
2
】
（
2019
•
杭州）已知九年级某班
30
位学生种树
72
棵，男生每人种
3
棵树，女生每人种
2
棵树，设
男生有<
/p>
x
人，则（
）
A
．
2
x
+3
（
72
﹣
x
）＝
30
C
．
2
x
+3
（
30
﹣
x
）＝
72
B
．
3
x
+2
（
72
﹣
x
）＝
30
D
．
3
x
+2
（
30
﹣
x
）＝
72
【例题
3
】
（
2019<
/p>
•
张家界）
《田亩比类乘除捷法》
是我国古代数学家杨辉的著作，
其中有一个数学问题：
“直
田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩
形田地的面积为
864
平方步，
只知道
它的长与宽共
60
步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长
比宽多
步．
【例题
4
】
（
2019
▪
湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》
）意思是：
同样时间段内，
走路快的人能走
100
步，
走路慢的人只能走
60
步．
假定两者步长相等，
< br>据此回答以下问题：
（
1
）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之
？即：走
路慢的人先走
100
步，走路
快的人开始追赶，当走路慢的人再走
600
步时，请问谁在前面
，两人相隔多少
步？
（
2
）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人
先走
200
步，请问走路快的人
走多少
步才能追上走路慢的人？
一、选择题
1.
（
2019
▪
贵州毕节）如果
3
ab
2m
﹣
1
与
9
ab
是同类项，那么
m
等于（
）
m+1
A
．
2
B
．
1
C
．﹣
1
D
．
0
2.
（
20
19
•
湖南怀化）一元一次方程
x
﹣
2
＝
0
的解是（
）
A
．
x
＝
2
B
．
x
＝﹣
2
C
．
x
＝
0
D
．
x
＝
1
3.
（
201
8
江苏无锡）林地
108
公顷，旱地<
/p>
54
公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林
地面积的
20%
，设把
x
公顷旱地改为林地，则可列方程
( )
A.
54
x
20%
108
B.
54
x
20%
108
x
C.
54
x
20%
162
D.
108
x
20%
54
< br>
x
4
．
（
2018
湖南长沙）某车间有
26
名工人，每人每天可以生产
800
个螺钉或
1000
个螺母，
1
个螺钉需要配
2
个螺母，
为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．
设安排
x
名工人生产螺钉，
则下面所
列方程正确的是
（
）
A
．2×
1000（
26
﹣
x
< br>）
=800x B
．
1000
（
13
﹣
x<
/p>
）
=800x
C
．
1000
（
26
< br>﹣
x
）=2×800x D．
1000
（
26
﹣
x
）
=800x
5
．
（
2019
•
襄阳）
《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下
：今有人合伙买羊，
每人出
5
钱，会差
45
钱；每人出
7
钱，会差
3
钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为
x
人，所列
方程正确的是（
）
A
．
5
x
﹣
45
＝
7
x
﹣
3
二、填空题
6.
（经典题）方程﹣
（
1
﹣
2x
）
=
（
3x+1
）的解为
___________. <
/p>
7.
（
2019
贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高
40%
后
标价，在某次电商购物节中，为促
销该商品，按标价
8
折销售，售价为
2240
元，则这种商品的进价
是
元．
8.
（
2019
湖南湘西）若关于
x
的方程
3
x
﹣
kx
+2
＝
0
的解为
2
，则
k
的值为
．
9
．
（
2018
福建）一件服装的标价为
300
元，打八折销售后可获利
60
元，则该件服装的成本价是
元．
10.
（
2018
武汉）某商品的进价为每件
100
元，按标价打八折售出后每件可获利
20
元，则该商品的标价为
每件
元．
11
.
（
2019
贵州省毕节市）某品牌旗
舰店平日将某商品按进价提高
40%
后标价，在某次电商购物节
中，为促
销该商品，按标价
8
折销售，
售价为
2240
元，则这种商品的进价是
元．
< br>12.
（
2019
•
湖南株洲）
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下
问题：“今有善行者
行一百步，不善行者行六十步．今不善行
者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速
度快的人走
100
步，速度慢的人只走
60
步，现速度慢的人先走
100
步，
速度快的人去追赶，则速度快的
B
．
5
x
+45
＝
7
x
+3
C
．
＝
D
．
＝
人要走
步才能追到速度慢的人．
[13.<
/p>
（
2019
▪
贵
州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高
40%
后标价，
在某次电商购物节中，为促销
该商品，按标价
8
折销售，售价为
2240
元，则这种商品的进价是
元．
14.
（
2019
•
湖南湘西州）若关于
x
的方程
3
x
﹣
kx
+2
＝
0
的解为
2
，则
k
的值为
．
15.
（
2019
•
湖南岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍
，五日
织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，
5
日共织布
5
尺．问
每日各织多
少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布
< br>
尺．
三、解答题
16.
（经典题）解方程
（
1
）
4
﹣
x=3
（
2
﹣
x
）
；
（
2<
/p>
）
17
．
（经典
题）解方程
（
1
）
4
（
x
﹣
1
）﹣
3
（
20
﹣
x
）<
/p>
=5
（
x
﹣
2
）
；
（
2
）
x
﹣
=2
﹣
．
．
18.
（
2019
•
湖南岳
阳）
岳阳市整治农村“空心房”新模式，
获评全国改革开放
40
年地方改革创新
40
< br>案例．
据
了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治
，腾退土地
1200
亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比<
/p>
改造土地面积多
600
亩．
（
1
）求复耕土地和改造
土地面积各为多少亩？
（
2
）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场
总面
积不超过花卉园总面积的
，求休闲小广场总面积最多为多少
亩？
19.
（
2019
•
甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许
多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有
个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人
共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，
每
3
人共乘一车，最终剩余
2
辆车，若每
2
人共乘一车，最终剩余
9
个人无车可乘，问共有多少人，多少
辆车？
20
．
（
2
019
•
张家界）
某社区购买甲、
乙两种树苗进行绿化，
已知甲种树苗每棵
3
0
元，
乙种树苗每棵
20
元，
且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的
2
倍少
40
棵，购买两种树苗的总金额为
9000
元．
（
1
）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（
2
）为保证绿化效果，社区决定再购买甲
、乙两种树苗共
10
棵，总费用不超过
230
元，求可能的购买方
案？
21.(2019
安徽
)
< br>为实施乡村振兴战略，
解决某山区老百姓出行难的问题，
当地政府决定修建一条高速公路．
其
中一段长为
146
< br>米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作
2
天后，乙工程队
加入，两工程队又联合工作了
1
天，这
3
天共掘进
26
米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进
2
米，按此
速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天
？
【例题
1
】
（经典题）解方程：
【答案】
x=
【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为
1
，从而得到方程的解
左右同乘
12
可得：
3[2x
﹣（
x
﹣
1
）
]=8
（
x
﹣
1
）
，
化简可得：
3x+3=8x
﹣
8
，
移项可得：
5x=11
，
解可得
x=
．
故原方程的解为
x=
【例题
2
】
（
2019
•
杭州）已知九年级某班
30
位学生种树
72
棵，男生每人
种
3
棵树，女生每人种
2
棵树，设
男生有
x
人，则（
）
A
．
2
x
+3
（
72
﹣
x
）＝
30
C
．
2
x
+3
（
30
﹣
x
）＝
72
【答案】
D
．
【解析】设男生有
x
人，则女生（
30
﹣
x
）人，根
据题意可得：
3
x
< br>+2
（
30
﹣
< br>x
）＝
72
．
< br>
【例题
3
】
< br>（
2019
•
张家界）
《田亩比类乘除捷法》
是我国古代数学家杨辉的著作，
< br>其中有一个数学问题：
“直
田积八百六十四步，只云长阔
共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为
864
平方步，
只知道它的长与宽共
60
步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多
步．
【答案】
12
【解析】设长为
x
步，宽为（
60
﹣
x
）步，
B
．
3
x
+2
（
72
﹣
x<
/p>
）＝
30
D
．
3
x
+2<
/p>
（
30
﹣
x
）＝
72
x
（<
/p>
60
﹣
x
）＝<
/p>
864
，
解得
，
x
1
＝
36
，
x
2
＝
24
（舍去）
，
∴当
x
＝
36
时，
60
﹣
x
＝
24
，
<
/p>
∴长比宽多：
36
﹣
24
＝
12
（步）
【例题
4
】
（
2019
▪
湖北黄石）“今
有善行者行一百步，不善行者行六十步．
”（出自
《九章算术》
）
意思是：
同样时间段内，
走路快的人能走
100
步，
走路慢的人只能走
60
步．
假定两者
步长相等，
据此回答以下问题：
（
1
）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之
？即：走
路慢的人先走
100
步，走路
快的人开始追赶，当走路慢的人再走
600
步时，请问谁在前面
，两人相隔多少
步？
（
2
）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人
先走
200
步，请问走路快的人
走多少
步才能追上走路慢的人？
【答案】
（
1
）当走路慢的人再走
600
步时，走路快的人在前面，两人相隔
300
步．
（
2
）走路
快的人走
500
步才能追上走路慢的人．
【解析】
（
1
）设当走路慢的人再走
600
步时，走路快的人的走
x
步，根据同样时间段内，走路快的人能走
1
00
步，走路慢的人只能走
60
步．列
方程求解即可。
由题意得
x
：
600
＝
100
：
60
∴
x
＝
1000
∴
1000
﹣
600
﹣
100
＝
300
所以当走路慢的人再走
600
步时，走路快的人
在前面，两人相隔
300
步．
（
2
）设走路快的人走
y
步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走
100
步，走路慢的人
只能走
60<
/p>
步，及追及问题可列方程求解．
由题意得
y
＝
200+
∴
y
＝
500
y
所以走路快的人走
500
步才能追上走路慢的人．
一、选择题
<
/p>
1.
（
2019
▪
贵州毕节）如果
3
ab
2m
﹣
1
与
9
ab
是同类项，那么
m
等于（
）
m+1
A
．
2
B
．
1
C
．﹣
1
D
．
0
【答案】
A
【解析】根据同类项的
定义得出
m
的方程解答即可．
根据题意可得：
2
m
﹣
1
＝
m
+1
，
解得：
m
＝
2
2.
（
2019
•
湖南怀化）一元一次方程
x
﹣
2
＝
0
的解是（<
/p>
）
A
．
x
＝
2 B
．
x
＝﹣
2
C
．
x
＝
0
D
．
x
＝
1