2016年全国2卷数学答案及解析
-
本试卷分第Ⅰ卷
< br>(
选择题
)
和第Ⅱ卷
(
非选择题
)
两部分
,
共
24
题
,
共
150
分
,
共
4
页。考试结<
/p>
束后
,
将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项
:
1<
/p>
．答题前
,
考生先将自己的姓名、准考证
号码填写清楚
,
将条形码准确粘贴在条形
码区域内。
2
．
< br>选择题必须使用
2B
铅笔填涂；
非选择题必须使用
0.5
毫米黑色字迹的签字笔
书写
,
字体工整、笔迹清楚。
3
．
按照题号顺序在各题目的答题区域
内作答
,
超出答题区域书写的答案无效；
在
草稿纸、试题卷上答题无效。
4
．作图可先使用铅笔画出
,
确定后必须
用黑色字迹的签字笔描黑。
5
．保持
卡面清洁
,
不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正
带、刮纸
刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（
1
）已知
z
(
m
3)
(
m
1)i
在复平面内对应的点在第四象限，则
实数
m
的取值范围是
，
（
A
）
(
31)
【答案】
A
【解析】
试题分析：
3)
（
B
）
(
1
，
（
C
）
(1,
+
)
3)
（<
/p>
D
）
(
-
，
要使复数
z
对应的点在第四象限
,
应满足
【考点】
复数的几何意义
< br>m
3
0
，解得
3
m
1
，
故选
A.
m
1
0
【
名师点睛】
复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满
足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程
(
不等式
)
组即
可．
复数
z
＝
a
＋
b
i
复平面内的点
Z
(
a
，
b
)(
a
，
b
∈
R
)
．
平面向量
OZ
.
复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R
)
3}
，
B
<
/p>
{
x
|
(
x
1)(
x
2)
0,
x
Z
}
，则
A
（
2
）已知集合
A
{
1,
2
,
（
A
）
{
1
}
B
（
D
）
2}
（
B
）
{
1
，
1
，
2
，
3}
< br>（
C
）
{0
，
{
1
，
0
，
1
，<
/p>
2
，
3}
【答案】
C
【解析】
试题分析：集合
B
{
x
|
1
x
2,
x
Z
}
{
0,1
}
，而
A
{
1,
2,3}
< br>，所以
A
B
< br>{0,1,
2,3}
，故选
C.
【考点】
集合的运算
【名师点睛】集合的交、
并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或
韦恩图进行处理
.
（
3
）已知向量
a
(1,
m
)
，
b
=
(3,
2)
，且
(
a
+
b
)
b
，则
m
=
（
A
）
−
8
【答案】
D
【解析】
试题分析：
a
b
(4,
m
2)
，由
(
a
+
b
)
b
得
4
3
(
m
2)
(
2)
0
，解得
（
B
）
−
6
（
C
）
6
（
D
）
8 <
/p>
m
8
，故选<
/p>
D.
【考点】平面向量的坐标运算、数量积
【名师点睛】已知非零向量
a
＝
(<
/p>
x
1
，
y
1
)
，
b
＝
(
x
2
，
y
2
)
：
模
夹角
a
⊥<
/p>
b
的充要条件
几何表示
|
a
|
＝
a
<
/p>
a
cos
θ
＝
a·
b
＝<
/p>
0
a
b
a
b
坐标表示<
/p>
|
a
|
＝
x
1
2
y
1
2
cos
θ
＝
x
1
x
2
< br>
y
1
y
2
x
y
x
2
y
2
2
1
2
1
2
2
x
1
x
2
< br>＋
y
1
y
2
＝
0
（
4
）圆
x
2
y
2
2
x
8
y
13
0
的圆心到直线
ax
y<
/p>
1
0
的距离为
1
，则
a=
（
A
）
4
3
（
B
）
3
4
（
C
）
3
（
D
）
2
【答案】
A
【考点】圆的方程、点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：
(1)
几何法：利用圆心到直线的距离
d
与半径长
r
的大小关系来判断．
< br>
若
d
>
r
，则直线与圆相离；若
d
＝
r
，则直线与圆相切；若
d
< br><
r
，则直线与圆相交．
(2)
代数法：
联立直线与圆的方程，
消元后得到关于
x
(
或
y
)
的一元二次方程，根据一元<
/p>
二次方程的解的个数
(
也就是方程组解的
个数
)
来判断．
如果
Δ
<0
，方程无实数解，从而
方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果
Δ
＝
0
，
方程有唯一实数解，
从而方程组也有唯一一组实数解，
那么
直线与圆相切；
如果
Δ
>0
，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直
线
与圆相交．
提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
（
5
）如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一
起到位于
G
处的老年公寓
参加志愿者活
动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（
A
）
24
（
B
）
18
（
C
）
12
（
D
）
9
【答案】
B
【解析】
试题分析：由题意，小明从街道的
E
处出发到
< br>F
处最短路径的条数为
6
，再从
F
处到
G
处最
短路径的条数为
3
，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数
为
6
3
<
/p>
18
，
故选
B.
【考点】计数原理、组合
【名师点睛
】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事
情，类与类之间是
相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法
只是完成这件事的一部
分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
（
6
）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积
为
（
A<
/p>
）
20
【答案】
C
【解析】
试题分析：由题意可知，圆
柱的侧面积为
S
1
< br>2
π
2
4
16
π
，圆锥的侧面积为
（
B
）
24
（
C
）
28
（
D
）
32
S
2
π
2
4
8
π
，圆柱的底面面积为
S
π
2
2
4
π
，故该几何体的表面积为
3
S
S
1
S
2
<
/p>
S
3
28
π
，故选
C.
【考点】三视图，空间几何体的表面积
【名师点睛】由三视图还原几何体的方法
:
< br>（
7
）若将函数
y
=2sin 2
x
的图像向左平移
< br>k
(
k
∈
Z
)
2
6
k
（
C
）
x
=
(
k
< br>∈
Z
)
2
12<
/p>
（
A
）
x
=
个单位长度，则平移后图像的对称轴为
12
k
（
B
）
x
=
(
k
∈
Z
)
2
6
k
（
D
）
x
=
(
k
∈
Z
)
2
12
【答案】
B
【考点】三角函数图像的变换与对称性
【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对
x
而言，即
x
本身加或减多少值，而不是
依赖于
ωx
加或减多少值．
（
8
）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算
法的程序框图
.
执行该程序框
图，若输
入的
x
=2
，
n
=2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s
=
（
A
）
7
（
B
）
12
（
C
）
17
（
D
）
34
【答案】
C
【解析】
试
题
分
析
：
由<
/p>
题
意
，
当
x
2,
n
2,
k
0,
s
0
时
，
输
入
< br>a
2
，
则
循环；
输入
a
2
，
则
s
2
2<
/p>
2
6,
k
2
，
循环；
输入
a
5
，
s
0
2
2
2,
k
< br>
1
，
则
s
6
2
5
17,
k
3
2
，结束
.
故输出
的
s
17
，
选
C.
【考点】程序框图，直到型循环结构
【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件
不满
足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行
循环体前
，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．
（
9
）若
cos(
（
A
）
−
α
)=
，则
sin 2
α
=
4
5
1
（
B
）
5
7
25
1
（
C
）
−
5
（
D
）
−
7
25
【答案】
D
【解析】
7
<
/p>
3
2
试题分析：<
/p>
cos
2
<
/p>
2cos
1
2
1
< br>
，
4
4
5
25
<
/p>
且
cos
2
2
cos
2
sin
2
，故选
D.
2
4
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
(1)
已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或
差．
(2)
已知角为一个时，待求角
一般与已知角成
“
倍的关系
”
或
“
互余、互补
”
关系．
…
，
x
，
y
，
y
，
…
，
y
，
（
10
）
从区间
0,1
随机抽取
2
n
个数
x
1
,
x
2
，
n
1
2
n
构成
< br>n
个数对
x
< br>1
,
y
1
，
x
2
,
y
2
，
…
，
x
n
,
y
n
，其中两数的平方和小于
1
的数对共有
m
个，则用随机模拟的
方法得到的圆周率
的近似值为
（
A
）
4
n
2
n
（
B
）
m
m
（
C
）
4
m
n
（
D
）
2
m
n
【答案】
C
【解析】
试题分析：利用几何概型，
圆形的面积和正方形的面积比为
S
圆
S
正方形
π
R
2
m
，所<
/p>
4
R
2
n
以
π
4
m
.
选
C.
n
【考点】几何概型
【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时
可根据题意构造两个变量，
把变量看成点的坐标，
找到全部
试验结果构成的平面图形，
以便求解．
x
2
y
2
（
1
1
）已知
F
1
，
F
2
是双曲线
E
：
2
2
1
的左，右焦点，点
M
在
E
上，
< br>M
F
1
与
x
轴垂
a
b
1
,
则
E
的离心率为
3
3
（
B
）
<
/p>
（
A
）
2
2
直，
sin
MF
2
F
1
【答案】
A
（
C
）
3
（
D
）
2
【考点】双曲线的几何性质、离心率
【名师点睛】区分双曲线中
a
，
b
，
c
的关系与椭圆
中
a
，
b
，<
/p>
c
的关系，在椭圆中
a
< br>2
＝
b
2
＋
c
2
，而在双曲线中
c
2
＝
a
< br>2
＋
b
2
.
双曲线的离心率
e
∈
(1
，＋
∞)
，而椭圆的离
心率
e
∈
(0
，
1)
．
（
12
）已知函数
f
(
x
)(
x
R
)
满足
f
(
x
)<
/p>
2
f
(
x
)
，若函数
y
m
x
1
y
f
(
x
)
< br>与
图像的
x
交点为
(
x
1
,
< br>y
1
),(
x
< br>2
,
y
2
),
,(
x
< br>m
,
y
m
),
则
（
A
）
0
【答案】
B
【解析】
（
B
）
m
(
x
y
)
i
i
i
1
（
C
）
2
m
（
D
）
4
m
试
题
分
析
：
由
< br>于
f
x
f
x
2
，
不
妨
设
f
x
x
1
< br>，
其
图
像
与
函
数
y
x
1
1
1
的图像的交
点为
1,
2
,
1,
0
，故
x
1
x
2
y
1
y
2
2
，故选
B.
x
x
【考点】函
数的图像与性质
【名师点睛】如果函数
f
(
x
)
，
x
D
，满足
x
D
，恒有
f
(
a
x
)
f
(
b
x
)
，
< br>
那么函数的图像有对称轴
x
a
b
；如果
函数
f
(
x
)
，
x
D
，满足
x
D
，恒有
2
f
(
a
x
)
f
(
b
< br>x
)
，那么函数的图像有对称中心
.
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分。第
13~21
< br>题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第
22~24<
/p>
题为选考题，考生根据要求作答。
二、
填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分。
（
13
）
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
cos
A
=
b
=
.
【答
案】
4
5
，
c
os
C
=
，
a
=1
，则
5
13
21
13
【考点】三角函数的和差角公式，正弦定理
【名师点睛】在
解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两
个定理都要用，要抓
住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦
或边的二次式时，要考虑
用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则
考虑用正弦定理；以上特征都
不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
（
14
）
α
，
β
是两个平面，
m
，
n
是两条直线，有下列四个命题：
①如果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，
n
∥
β
，那么
α
⊥
β.
< br>
②如果
m
⊥
< br>α
，
n
∥
α
，那么
m
⊥
n
.
③如果
α
∥
β
，
m
α
，那么
m
∥
β
.
④如果
m
∥
n
，
α
∥
β
，那么
m
与
α
所成的角和
n
与
β
所成的角相等
.
其中正确的命题有
.(
填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
【解析】
试题分析：对于①，
m
n
,
m
,
n
//
< br>，则
,
的位置关系无法确定，故错误；
对于②
,
< br>因为
n
//
< br>，所以过直线
n
作平面
与平面
相交于直线
c
，则
n
//
c
，因为
m
,
所以
m
c
,
所以
m<
/p>
n
，故②正确；对于③，由两个平面平
行的性质可知正
确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题
有②③④
.
【考点】空间中的线面关系
【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系
.
（
15
）有三张卡片，分别写有
1
和
2
，
1
和
3
，
2
和
3.
甲，乙，丙三人各取
走一张卡片，甲看
了乙的卡片后说：
“
我与乙的卡片上相同的数字不是
2”
，乙看了丙的卡片后说：<
/p>
“
我与
丙的卡片上相同的数字不是
1”
，丙说：
“
我的
卡片上的数字之和不是
5”
，则甲的卡片
上的数字是
.
【答案】
1
和
3
【解析】
试题分析：由题意分析可知
甲的卡片上的数字为
1
和
3
，乙的卡片上的数字为
2
和
3
，
丙的卡片上的数字为
1
和
2.
【考点】推理
【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即
“
演绎
”
，
得出具体陈述或个别结论的过程
.
（
16
）若直线
y=kx
+
b
是曲线
y
=ln
x
+2
的切线，也是曲线
y
=ln(
x
+1)
的切线，则
b
=
.
【答
案】
1
ln
2
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数
f
(
x
)
在点
x
0
处的导数
f
′
(
x
0
)
的几何意义是曲线
y
＝
f <
/p>
(
x
)
在点
P
(
x
0
，
y
0
)
处的切线的斜率．相应地，切线方程为
y
−
y
0
＝
f
′
(
x
0
)(
x
−
x
< br>0
)
．
注意：求曲线切线时，要分清在点
P
处的切线与过点
P
的切线的不同．
三
、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
。
（
17
）
（本小题
满分
12
分）
S
n
为等差数列
< br>a
n
的前
n
项和，且
a
1
< br>=1
，
S
7
28.
记
b
n
=
lg
a
n
，其中
x
表示不超
过
x
的最大整数，如
0.9
=0
，
lg
99
=1
.
（Ⅰ）求
b
1
，
b
11
<
/p>
，
b
101
；<
/p>
（Ⅱ）求数列
b
n
的前
1 000
项和
.
【答案】
（Ⅰ）
b
1
0
，
b
11
1
，
b
101
2
；
（Ⅱ）
1 893.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求公差、通项
a
n
，
再根据已知条件求
b
1
，
b
11
，
b
101
；
（Ⅱ）用分段
函数表
示
b
n
，再由等差数列的前
n
项和公式求数列
b<
/p>
n
的前
1
000
项和．
试题解析：
（Ⅰ）设
{
a
n
}
的公差为
d
，据已知
有
7
21
d
28
，解得
d
1.
所
以
{
a
n
}<
/p>
的通项公式为
a
n
n
.