2016年高考理科数学全国1卷Word版
-
绝密
★
启用前
试题类型：
A
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试题卷共
5
页，
24
题
(
含选考题
)
。全卷满分
150
分。考试用时
120
分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1
、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。用
2B
铅笔将答题卡上试卷类型
A
后的方框涂黑。
2
、选择题的作答：每小题选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。
3
、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4
、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用
2B
铅笔涂黑。答案
写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5
、
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分
，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
（
1
）设集
合
A
{
x<
/p>
x
2
4
x
3
0
}
，
B
{
x
2
x
3
0
}
，则
A
B
（
A
）
(
3
,
)
3
2
< br>（
B
）
(
3
,
)
3
2
（
C
）
(
1
,
)
3
2
（
D
）
< br>(
,
3
)
3
2
（
2
）设
(
1
<
/p>
i
)
x
1
yi
，其中
x
,
y
是实数，则
x
yi
<
/p>
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
< br>）
2
（
3
）已知等差数列
{
a
n
}
前
9
< br>项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
A
）
100
（
< br>B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
（
4
）某公司的班车在
7
:
30
，
8
:
00
，
8<
/p>
:
30
发车，小明在
7
:
50
至
8
:
30
之间到达发车
站乘
坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他
等车时间不超过
10
分钟的概率是
1
（
A
）<
/p>
1
3
（
B
）
1
2
（
C
）
2
3
（
D
）
3
4
x
2
y
2
1
< br>表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4
，
（
5
）已知方程
2
m
n
3
m
2
n
则
n
的
取值范围是
（
A
）
(
1
,
3
)
（
B
）
(
1
,
3
)
（
C
）
(
< br>0
,
3
)
（
D
）
(
0
,
3
)
（
6
）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
表面积是
（
A
）
17
（<
/p>
B
）
18
（
C
）
20
（
D
）
28
（
7
）函数
y
2
x
< br>2
e
在
[
2
,
2
]
的图像大致为
（
A
）
2
y
y
x
28
，则它的
3
1
（
B
）
2
x
2
1
O
O
2
x
y
y
1
< br>（
C
）
2
x
2
（
D
）
O
1
2
O
2
x
（
8
）若
a
b
1
，
0
c
1
，则
（
A
）
a
b
c
c
c
c
（
B
）
ab
ba
（
C
）
a
< br>log
b
c
< br>b
log
a
c
< br>
（
D
）
log
a
c
log
b
c
（
9
）执行右面的程序框图，如果输入的
x
0
，
y
1
，
n<
/p>
1
，则输出
x
,
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
< br>
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
5
x
（
10
）以抛物线
C<
/p>
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
,
B
两点，交
C
的准线于
D
,
E
两点，已
知
AB
4
2
,
DE
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
6
（
D
）
8
（
11
）平面
过正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1<
/p>
D
1
的顶点
A<
/p>
，
//
平面<
/p>
CB
1
D
1
，
平面
ABCD
2
<
/p>
m
，
平面
ABB
1
A
1
n
，则
m
,
n
所成角的正弦值为
（
A
）
3
3
2
1
（
B
）
（
C
）
（
D
）
2
3
2
3
（
12
）
已知函数
f
(
x
)
sin(
x
)(
0
,
为
< br>y
f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在
(
（
A
）
11
（
B
）
9
2
)
，
x
4
为
f
(
x
)
< br>的零点，
x
4
5
,
18
36
)
单调，则
的最大值为
（
D
）
5
（
C
）
7
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分。第
(13)
题
~
第
(21)
< br>题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第
(22)
题
~
第
(24)<
/p>
题为选考题，考生根据要求作答。
二、
填空题：本大题共
3
小题，每小题
5<
/p>
分。
2
2
2
（
13
）设向量
a
(
m
,
1
)
，
b
(
1
,
2
)
，且
|
a
b
|
|
a
|
|
b
|<
/p>
，则
m
．
（
14<
/p>
）
(
2
x
x
)
5
的展开式中，
x
3
的系数
是
．
（用数字填写答案）
（
15
）
设等
比
数列
{
a
n
}
满
足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
4
5
，
则
a
1
a
2
a
n
的
< br>最
大
值
为
．
（
16
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料．
生产一件产品
A
需
要甲材料，
乙材料
1kg
，
用
5
个工时；
生产一
件产品
B
需要甲材料，
乙材料，
用
3
个工时．
生
产一件产品
A
的利润为
2100
元，
生产一件产品
B
的利润为
900
元．
该企业现有甲材料
150kg
，
乙材
料
90kg
，
则在不超过
600
个工时的条件下，
生产产品
< br>A
、
产品
B
的利润之和的最大值为
元．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
<
/p>
（
17
）
（本小
题满分
12
分）
ABC
的
内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
2
cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
．
（
Ⅰ）求
C
；
（
Ⅱ）若
c
（
18
）<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
如图，在以
A
,
B
,
C
< br>,
D
,
E
,
F
为顶点的五面体中，面
D
C
7
，
ABC
的面积为
3
3
，求
ABC<
/p>
的周长．
2
E
B
A
3
F<
/p>
ABEF
为正方形，
AF
2
FD
,
< br>
AFD
90
，且二面
角
D
AF
E
与二面角
C
BE
F
都是
60
．
（
Ⅰ）证明：平面
< br>ABEF
平面
EFDC
；
（
Ⅱ）求二面角
E
BC<
/p>
A
的余弦值
.
（
19
）
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机
器有一易损零件，在购
进机器时，
可以额外购买这种零件作为备
件，
每个
200
元．
< br>在机器使用期间，
如果备件不足
再购买，
则每个
500
元．
现需决策在
购买机器时应同时购买几个易损零件，
为此搜集并整理
了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
频数
40
20
0
8
9
10
11
更换的易损零件数
以这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器更换的
易损零件数发生的概率，
记
X
表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零
件数．
（
Ⅰ）求
X
的分布列；
< br>
（
Ⅱ）若要求
P
(
X
< br>n
)
0
.
5
，确定
n
的最小值；
（
< br>Ⅲ）
以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，
在<
/p>
n
19
与
n
20
之中选其
一，
应选用哪个
（
20
）<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
设圆
x
y
2
x
15
0
的圆心为
A
，
直线
l
过点
B
(
1
,
0
)<
/p>
且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
,
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
．
（
Ⅰ）证明
EA
EB
为定值，并写出
点
E
的轨迹方程；
（
Ⅱ）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
< br>，直线
l
交
C
< br>1
于
M
,
N
两点，过
B
且与
< br>l
垂直的直线与
圆
A
交于
P
,
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围．
4
2
2
（
21
）
（本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)
(
x
2
)
e
<
/p>
a
(
x
1
)
有两个零点．
（
Ⅰ）求
a
的取值范围；
（
Ⅱ）设
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)
的两
个零点，证明：
x
1
x
2
2
．
请考生在第（
22
）
、
（
23
）
、
（
24
）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分．
（
22
）
（本小题满分
10
分）选修
4
－
1
：几何证明选讲
如图，
O
AB
是等腰三角形，
AOB
120
．以
O
为圆心，
x
2
1
OA
为半径作
圆．
2
（
Ⅰ）证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
（
Ⅱ）点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，
证明：
AB
//
CD
．
（
23<
/p>
）
（本小题满分
10
分）选修
4
－
4
< br>：坐标系与参数方程
在直角
坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
A
D
O
C
B
x
a
cos
t
,
(
t
为参数，
a
0
)
．在
y
1
a
sin
t
,
以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
:
4
cos
．
（Ⅰ）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（
Ⅱ）
直线
C
3
的极坐标方程为
0
< br>，
其中
0
满足
tan
0
< br>
2
，
若曲线
< br>C
1
与
C
2
的公
共点都在
C
< br>3
上，求
a
．
< br>
（
24
）
（本小题满分
10
分）选修
4
－
5
：不等式选讲
已知
函数
f
(
x
)
x
1
2
x
3
．
（
Ⅰ）在答题卡第（
24
）
题图中画出
y
f
(
x
)
的图像；
< br>
（
Ⅱ）求不等式
f
(
x
)
1
的解集．
5 <
/p>
y
1
O
1
x
1
．
A
x
x
2
4
x
3
0
< br>
x
1
x
3
，
B
x
2
x
3
0
x
x
< br>
3
．
2
故
A
3
B
x
x
3
< br>．
2
故选
D
．
x
1
x
1
2
．
由
1
i
< br>
x
1
yi
可知：
x
xi
1
yi
，故
，解得：
．
y
1
x
y
所以
，
x
yi
x
2
y
2
2
．
故选
B
．
3
．
由等差
数列性质可知：
S
9
而
a
10
< br>8
，因此公差
d
∴
a
100
a
10
90
d
98
．
故选
C
．
4
．
如图所示，画出时间轴：
9
a
1
a
9
2
< br>
9
2
a
5
9
a
5
27
，故
a
5
3
，
2
a
10
a
5
1
10
5
7:30
7:40
7:50
A
8:00
C
8:10
8:20
D
8:30
B
小明到达的时
间会随机的落在图中线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段<
/p>
AC
或
DB
时，
才能保证他等车的时间不超过
10
分钟
根据几何概型，所求概率
P
故选
B
．
x
2
y
2
5
．
2
2
1
表示双曲线，则
m
2
n
3
m
2
n
0
m
n
3
m
n
10
10
1
．
40
2
∴
m
2
< br>n
3
m
2
6
由双曲线性质知：
c
2
m
2
n
< br>3
m
2
n
4
m
2
，其中
c
是半焦距
∴焦距
2
c
2
2
m
4
，解得
m
1
∴<
/p>
1
n
3
故选
A
．
6
．
原立体图如图所示：
< br>1
是一个球被切掉左上角的
后的三视图
< br>
8
7
表面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
8
< br>7
1
S
=
4
2
2
+3
<
/p>
2
2
=17<
/p>
8
4
故选
A
．
7
．
f
2
8
e
2
8
2.8
2
0
，排除
A
f
< br>2
8
e
2
8
2.7
2
1
，排除
B
1
1
x
0
时，
f
x
2
x
2
e
x
f
x
4
x
e<
/p>
x
，当
x
0,
时，
f
x
4
e
0
< br>0
4
4
1
因此
f
x<
/p>
在
0,
单调递减，排除
C
4
故
选
D
．
8
．
对
A
：
由
于
0
c
1
，
∴
函
数
y
< br>
x
c
在
R
上
单
调
递
增
，
因
此
a
b
1
a
c
b
c
，
< br>A
错误
对
B
：
由于
1
c
1
0
，∴函数
y
x
c
1
在
1,
上单调递减，
∴
a
b
1
a
c
1
b
c
1
ba
c
ab
c
，
B
错误
对
C
：
要比较
a
log
b
c
和
b
log
a
c
，只需比较
a
ln
c
b
ln
c
ln
c
和
，只需比较
和
ln
< br>b
ln
a
b
ln
b
ln
c
，只需
b
ln
b
< br>和
a
ln
a
a
ln
a
7
构造函数
f
x
x
ln
x
x
1
，则
f
'
x
ln
x
1
1
< br>0
，
f
x
在
1
,
上
单
调递增，因此
f
a
< br>
f
b
0
a
ln
a
<
/p>
b
ln
b
0
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
1
1
a
ln
< br>a
b
ln
b
ln
c
ln
c
b
log
a
c
a
log
b
c
，
C
正确
a
l
n
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
对
D
：
要比较
log
a
c
和
log
b
c
，只需比较
和
ln
a
ln
b
而函数
y
ln
x
在
1,
上单调递增，故
a
b
1
ln
a
< br>ln
b
0
1
1
ln
a
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
1
得
ln<
/p>
c
0
，∴
log
a
c
log
b
c
，
D
错误
ln
a
ln
b
故选
C
．
9
．
如下表：
循环
节运行次
数
运行
0
前
第一
1
/
/
1
判断
是
否输
出
<
/p>
n
1
x
x
x
2
y
y
ny
x
y
36
<
/p>
2
2
n
n
n
1
0
次
第二
次
第三
次
输出
x
1
否
否
2
1
2
3
2
2
否
否
3
6
是
是
3
，
y
6
，满足
y
4
x
2
故选
C
．
10
．
以<
/p>
开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
< br>设抛物线为
y
2
2
px
p
0
，设圆的方程为
x
2
y
2
r
2
，
题目条件翻译如图：
8
F
<
/p>
p
设
A
x
0
,2
2
，
D
,
5
< br>，
2
点
A
x
0
,2
2
在抛物线
y
2
2
px<
/p>
上，∴
8
2<
/p>
px
0
……①
p
p
点
D
,
5
在圆
x
2
y
2
r
2
上，∴
5
r
2
……②
2
2<
/p>
2
8
r
2
……③
点
A
x
0
,2
2
在圆
x
2
y
2
r
2
上，∴
x
0
2
联立①②③解得：
p
4
，焦点到准线的距离为
p
4
．
故选
B
．
11
．
如
图所示：
D
α
A
B
C<
/p>
D
1
A
1
B
1
C
1
∵
∥平面
CB
1
D
1
，∴若设平面
CB
1
D
1
平面
ABCD
m
1
，则
m<
/p>
1
∥
m
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
B
1
< br>D
1
又∵平面
ABCD
∥平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，结合平面
B
1
D
1
C
∴
B
1
D
< br>1
∥
m
1
，故
B
1
D
1
∥
m
同理
可得：
CD
1
∥
n
故
m
、
n
的所成角的大小与
B
1
D
1
、
CD
1
所成角的大小相等，即
<
/p>
CD
1
B
1
的大小．
9
而
B
1
C
B
1
D
1
CD
1
（均为面对交
线）
，因此
CD
1
B
1
故选
A
．
12
．
由
题意知：
π
+<
/p>
k
1
π
4
π
π
+
k
π
+
< br>2
4
2
3
，即
sin
CD
1
B
1
3
．
2
则
2
k
1
，其中
k
Z
5
π
T
< br>π
5
π
f
(
x
)
在
,
单调，
,
12
36
18
12
2
18
36
接下来用排除法
π
π
π
3
π
3
π
5
π
若
11,
，
此时
f
(
x
)
sin
11
x
< br>
，
f
(
x
)
在
,
递增，
在
,
递
4
4
18
44
44
36
π
5
π
减，不满足
f
(
x
)
在
,
单调
18
36
若
9,
< br>
故选
B
．
13
．
由<
/p>
已知得：
a
b
m
1,3
∴
a
b
a
b
m
1
< br>
3
2
m
2
1
2
1
2
2
2
，解得
m
2
．
14
．
设<
/p>
展开式的第
k
1
项为
T
k
1
，
k
0,1,2,3,4,5
∴
T
k
< br>
1
C
2
x
k
5
5
k
π
π
π
5
π
，此时
f
(
x
)
sin
9
x
< br>
，满足
f
(
< br>x
)
在
,
单调递减
4
4
18
36
2
2
2
2
<
/p>
x
k
C
2
k
5
5
k
x
5
k
2
．
4
5
k
4
5
<
/p>
4
当
5
3
时，
k
4
，即
T
5
C
5
2
x
2
10
x
3
2
故答案为
10
．
< br>
15
．由于
a
n
是等比数列，设
a
n
a
1
q
n
1
，其中
a
1
是首项，
q
是公比．
10