2016年全国卷2(理科数学)含答案
-
all~
试题
绝密
★
启用前
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅱ卷）
注意事项：
1.
本试卷分第Ⅰ卷
(
选择题
)
和第Ⅱ卷
(
非选择
题
)
两部分
.
第Ⅰ卷
1
至
3
页，第Ⅱ卷
3
至
5
页
.
2.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置
.
3.
< br>全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效
.
4.
考试结束后，将本试题和答题
卡一并交回
.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分
，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
.
（
1
）已知
z
(
m
3)
(
m
1)i
在复平面内对应的点在第四象限，则
实数
m
的取值范围是
【
A
】
（
A
）
(
31)
，
（
B
）
(
1
，<
/p>
3)
3)<
/p>
（
C
）
(1
,
+
)
（
D
）
(
-
，
A
< br>
{
1,
2,3
}
，
B
{
x
|
(
x
1)(
x
2)
0,
x
Z
}
，则
A
B
【
C
】
（
2
）已知集合
（
A
）
，
，
2
，
3}
（
D
）
{
1
，
01
，
，
< br>2
，
3}
{
1
}
（
B
）
{
1
，<
/p>
2}
（
C
）
{01
a
(1,
m
)
，
b
=
(3,
2)<
/p>
，且
(
a
+
b
)
b
，则
m
=
【
D
】
（
3
）已知向量
（
A
）－
8
（
B
）－
6
（
C
）
6
（
D
）
8 <
/p>
2
2
x
y
2
x
8
y
13
0
的圆心到直线
ax
y
1
0
的距离为
1
，则
a=
【
A
】
（
4
）圆
4
3
（
A
）
< br>3
（
B
）
4
（
C
）
3
（
D
）
2 <
/p>
（
5
）如图，
小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年公寓
参加
志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
【
B
】
历年高考真题
1
all~
试题
（
A
）
24
（
B
）
18
（
C
）
12
（
D
）
9 <
/p>
（
6
）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几
何体的三视图，则该几何体的表面积为
【
C
】
（
A
）
20
π
（
B
）
24<
/p>
π
（
C
）
28
π
（
D
）
32
π
π
（
7
）若将函数
y
=2si
n 2
x
的图像向左平移
个单位长度，
则平移后图像的对称轴为
【
B
】
12
（
A
）
x
=
k
π
π
2
–
< br>6
(
k
∈
Z
)
（
B
）
x
=
k
π
π
2
+
6
(
k
∈
Z
)
（
C
）
x
=
k
π
π
k
π
π
–
(
k
∈
Z
)
（
D
）
x
=
+
(
k
2
12
2
12
∈
Z
)
（
8
）
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，<
/p>
右图是实现该算法的程序框图
.
执行该程
序框图，
若输入的
x
=2
，
n
=2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s
=
【
C
】
（
A
）
7
（
B
）
12
（
C
）
17
（
D
）
34
π
3
（
9
）若
cos(
–α
)=
，则
sin 2
α
=
【
D
】
< br>
4
5
7
1
1
7
（
A
）
（
B
）
（
C
）–
（
D
）–
<
/p>
25
5
5
25<
/p>
（
10
）
从区间
0,1
随机抽取
2
n
个数
x
1
x
2
,
，
…，
n<
/p>
，
x
y
1
，
y
2
，
…，
y
n
，
构成
n
个数对
x
1
,
y
1
，
历年高考真题
2
all~
试题
x
2
,
y
2
，…，
x
n
,
y
n
，其中两数的平方和小于
1
的数对共有
m
个，则用随
机模拟的方法得到
的圆周率
的近似值为
【
C
】<
/p>
4
n
2
n
4
m
2
m
（
A
）
m
（
B
）
m
（<
/p>
C
）
n
（
D
）
n
x
2
y
2
（
11
）已知
F
1
，
F
2
是双曲线
E
：
2
2
< br>
1
的左，右焦点，点
M
在
E
上，
M
F
1
与
x
轴垂直，
a
b
1
sin
MF
2
F
1
,
则
E
的离心率为
【
A
】
3
（
A
）
2
（
B
）
3
（
C
）
3
（
D
）
2 <
/p>
2
x
1
y
f
(
x
)
（
12
）
已知函数
f
(
x
)(
x
R
)
满足
f
(
x
)
2
f
(
x
)
，
若函
数
y
与
图像
的
x
交点为
(
x
1
,
y
1<
/p>
),(
x
2
,<
/p>
y
2
),
,(
x
m
,<
/p>
y
m
),
则
(
x
y
)
【
B
】
< br>i
i
i
1
m
（
A
）
0
（
B
）
m
（
C
）
2
m
（
D
）
4
m
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
(13)
题
~
第<
/p>
(21)
题为必考题，每个试题考生都必须作答
< br>.
第
(22)
题
~
第
(24)
题为选考题，考
生根据要求作答
.
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分
.
4
5
< br>(13)
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
cos
A
=
，
cos
C
=
，
a
=1
，则
b
=
5
13
21
13
.
(14)
α
、
β<
/p>
是两个平面，
m
、
n
是两条直线，有下列四个命题：
（
1
）如果
m
⊥
n
，
m
⊥<
/p>
α
，
n
∥
β
，那么
α
⊥
β.
（
2
）如果
m
⊥
α
，
n
∥
α
，那么
m
⊥
n
.
（
3
< br>）如果
α
∥
β
< br>，
m
α
，那么
m
∥
β
.
（
4
）如果
m
∥
n
，
α
∥<
/p>
β
，那么
m
与<
/p>
α
所成的角和
n
与
β
所成的角相等
.
< br>
其中正确的命题有
（
2
）
（
3
）
（
4
）
.
(
填写所有正确命题的编号）
（
15
）有三张卡片，分别写有
< br>1
和
2
，
1
和
3
，
2
和
3
。甲，乙，丙三人各取走一张卡片
，甲看
历年高考真题
3
all~
试题
了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是
2
”
，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片<
/p>
上相同的数字不是
1
”
< br>，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是
5
”
，则甲的卡片上的数字是
1
和
3
.
（
16
）若直
线<
/p>
y=kx
+
b
是
曲
线
y
=ln
x
+2
的切
线，也
是曲
线
y
=ln
< br>（
x
+1
）的
< br>切线，
则
b
=
< br>
1
ln2
.
三
.
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17.
（本小题满分
12
分）
S
n
为
等差数列
a
n
的前
n
项和，且
< br>a
1
=1
，
S
7
28.
记
b
n
=
lg
a
n
，其中
x
表示不超过
x
的最
大整数，如
0.9
=0
，
lg99
=1
.
（
I
）求
b
1
，
b
11
，
b
101
；
（
II
）求数列
b
n
的前
1
000
项和
.
解：
（Ⅰ）设
{
a
< br>n
}
的公差为
d
，据已知有
7
21
d
28
，解得
d
1.
所以
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
.
b
1
[lg1]
0,
b
11
[lg11]
1,
b
101
[lg101]
2.
0,
1,
（Ⅱ）因为
b
n
2,
3,
1
n
10,
10
n
100,
100
n
1000,
n<
/p>
1000.
所以数列
< br>{
b
n
}
的前
1000
项和为
1
90
2
900
3
1
1893.
18.
（本小题满分
1
2
分）
某险种的基本保费为
a
（单位：元）
，继续购买该险种的投保人称为
续保人，续保人的本年度的
保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次
数
保费
一
年<
/p>
内
出
险次数
概率
0
0.30
0
0.85
a
1
a
1
0.15
2
1.25
a
2
0.20
3
1.5
a
3
0.20
4
1.75
a
4
0.10
5
2
a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
5
0.
05
历年高考真题
4
all~
试题
（
I
）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（
II
）若一续保
人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%
的概率；
（
III
< br>）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值
.
解：
（Ⅰ）设
A
表
示事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费”
，则事件
A
发生当且仅当一
年内出险次数大于
1
，故
P
(
A
)
0.2
0.2
0.1
0.05
0.
55.
（Ⅱ）
设
B
表示事件：
“一续保人本年度的保费比基本保费高出
60%
”
，
则事件
B
发生当且仅当
一年内出险次数大于<
/p>
3
，故
P
(
B
)
0.1
0.05
0.
15.
又
P
(
AB
)
P
(
B
)
，故<
/p>
P
(
B
|
A
)
P
(
AB
)
P
(
B
)
0.15
3
.
P
(
A
)
P
(
A
)
0.55
11
因此所求概率为
3
.
11
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为
X
，则
X
的分
布列为
X
0.85
a
P
0.30
a
1.25
a
1.5
a
1.75
a
0.20
0.20
0.10
2
a
0.05
0.15
EX
0.85
a
0.30
a
< br>0.15
1.25
a
0.20
1.5<
/p>
a
0.20
1.75
a
0.10
2
a
0.05
1.23
a
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值
为
1.23
19.
< br>（本小题满分
12
分）
如图，
菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
< br>交于点
O
，
AB
=5
，
AC
=6
，
点
E
,
< br>F
分别在
AD
,
CD
上，
AE
=
CF
=
5
，
EF
交
BD
于点
H
.
将△
DEF
沿
EF
折到△
D
EF
的位置，
OD<
/p>
10
.
4
（
I
）证明：
D
H
平面
A
BCD
；
（
II
）求二面角
B
< br>D
A
C
的正弦值
.
历年高考真题
5