2016全国三卷理科数学高考真题及答案
-
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一
.
选择题
：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
.
（
1
）设集合
S
=
S
x
P
(x
2)(x
3)
0
,T
x
x
0
< br>
，则
S
I
T
=
(A)
[2
，
3]
(B)
（
-
，
2]
U
[3,+
）
(C)
[3,+
）
(D)
（
0
，
2]
U<
/p>
[3,+
）
（
2
）若
z=
1+2i
，则
4
i
zz
1
(A)1
(B)
-1
(C) i
(D)-i
uu
< br>v
1
2
uu
u
v
3
1
（
3
）已知向量
BA
< br>
(
,
)
,
BC
(
,
),
则
ABC=
2
2
2
2
(
A)30
0
(B)
45
0
(C)
60
0
(D)120
0
（
4
）
某旅游城市为向游客介绍本
地的气温情况，
绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中
A
点表示十月的平均最高气温约为
15
0
C
，
< br>B
点表示四月的平均最低气温约为
5
0
C
。下面叙述不正确的是
(A)
各月的平均最低气温都在<
/p>
0
0
C
以上
(B)
七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)
三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D)
平均气温高于
20
0
C
的月份有
5
个
（
5
）若
tan
<
/p>
3
，则
cos
2
2sin
2
<
/p>
4
64
48
16
(A)
(B)
(C)
1
(D)
2
5
25
25
4
3
3
4
1
3<
/p>
（
6
）已知
a<
/p>
2
，
b
4
，
c
25
，则
（
A
）
b
a
c
（
B
）
a
b
c<
/p>
（
C
）
b
c
a
（
D
）
c
a
b
（
7
）执行下图的程序框图，如
果输入的
a
=4
，
b
=6
，那么输出的
n
=
（
A
）
3
（
B
）
4
（
C
）
5
（
D
）
6
1
（<
/p>
8
）在
△
ABC
中，
B
=
（<
/p>
A
）
π
1
，
BC
边上的高等于
BC
,
则
cos
A
=
4
3
3
10
10
（
B
）
10
10
3
10<
/p>
10
（
D
）
-
10
10
(
9)
如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（
C
）
-
（
A
）
18
36
5
（
B
）
54
18
5
（
C
）
90
（
D
）
81
(10)
在封闭的直三棱柱
ABC<
/p>
-
A
1
B
1
C
1
内有一个体积
为
V
的球，若
AB
BC
，
AB
=6
，
BC
=8
< br>，
AA
1
=3
< br>，则
V
的最大值是
（
A
）
4π
（
B
）
（
D
）
9
2
（
C
）
6π
32
3
x
2
y
2
（
11
）已知
O
为坐标原点，
F
是椭圆
C
：
2
2
1
(
a
b
<
/p>
0)
的左焦点，
A
，
B
分别为
C
的左，右顶点
.
P
为
a
b
C
上一点，且
PF
⊥
x
轴
.
过点
A
的直线
l
与线段
PF
交于点
M
，与
y
轴交于点
E
.
若直线
B
M
经过
OE
的中点，则
C
的离心率为
（
A
）
1
3
（
B
）
1
2
（
C
）
2
3
（
D
）
3
4
（
12
）
定义
“
规范
01
数列<
/p>
”{
a
n
}
如下：
{
a
n
}
共有
2
m
项，
其中
m
项为
0
，
m
项为
1
，
且对任意
k
2
m
，
a
1
,
a
2
,
,
< br>a
k
中
0
的个数不少于
1
的个数
.
若
m
=4
，则不同的“规
范
01
数列”共有
< br>（
A
）
18
个
（
B
）
16<
/p>
个
（
C
）
14
个
（
D
）
12
个
二、填空题：本大题共
3
小题，每小题
5
分
（
13
）若
x
，
y
满足约束条件
错误！未找到引用源。
则
z=x+y
的最大值为
_____________.
< br>（
14
）函数
错误！未找到引用
源。
的图像可由函数
错误！未找到引用源。
的图像至少向右平移
_____________
个单位长
度得到。
（
15
）已知
f(x)
为偶函数，当
错误
！未找到引用源。
时，
错误！未找到引用源。
< br>，则曲线
y=f(x)
，在带你（
1
，
-3
）
处的切线方程是
_______________
。
（
16
）已知直线
错误！未找到引用源。
与圆
错误！未找到引
用源。
交于
A
，
B
两点，过
A
，
B
分别做
l
的垂线
2
与
x
< br>轴交于
C
，
D
< br>两点，若
错误！未找到引用源。
，则
错误！未找到引用源。
__________________.
三
.
解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤
.
（
17
）
（本小题满分
12
分）
已知数列
错误！未找到引用源。
< br>的前
n
项和
错误！未找到引用源
。
，
错误！未找到引用源。
，其中
错误！未找
到引用源。
< br>0
（
I
）证明
错误！未找到引用源。
是等比数列，并求其通项公式
（
II
）若
S
5
31
错误！未找到引用源。
，求
32
<
/p>
（
18
）
（本小
题满分
12
分）
下图是我国
2008
年至
2014
年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（
I
）由折
线图看出，可用线性回归模型拟合
y
与
t
的关系，请用相关系数加以说明
（
II
）建立
y
关于
t
的回归方程（系数精确到
0.0
1
）
，预测
2016
< br>年我国生活垃圾无害化处理量。
（
19
）
（本小题满分
12
分）
如图，
四棱锥
P-ABCD
中，
P
A
⊥地面
ABCD
，
AD
∥
BC
，
AB=AD=AC
=3
，
P
A=BC
=4
，
M
为线段
AD
上一点，
AM=
2
MD
，
N
为
PC
的中点
.
（
I
）证明
MN
∥
平面
P
AB
;
（
II
）求直线
AN
与
平面
PMN
所成角的正弦值
.
（
20
）<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
已知抛物线
C
：
y
2
2
< br>x
的焦点为
F
，平行于
x
轴的两条直
线
l
1
,
l
2
分别交
C
于
A
，
B
两点，交
C
的准线于
P
，
Q
两点
.
（
I
）若
F
在线段<
/p>
AB
上，
R
是<
/p>
PQ
的中点，证明
AR
< br>∥
FQ
；
（
II
）若△
PQF
的面积是△
ABF
的面积的两倍，求
AB
中点的轨迹方程
.
（<
/p>
21
）
（本小题满分
12
分）设函数
f
（
x
）
=
a
< br>cos2
x
+
（
a
-1
）
（
< br>cos
x
+1
）
，其中
a
＞
0
，记
错误！未找到引用源。
的最
大值为
A
.
（Ⅰ）求
f
＇
（
x
< br>）
；
（Ⅱ）求
A
；
（Ⅲ）证明
错误！未找到引用源。
≤<
/p>
2
A
.
3
请考生在
[22]
、
[23]
、
[24]
题中任选一题作答。作答时用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如
果多做，则按所做的第
一题计分。
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
AB
的中点为
P
，弦
PC
，
PD
分别交
AB
于
E
，
F
两点<
/p>
.
如图，⊙
O
中
（
I
）若
∠
PFB
=2
∠
PCD
，求∠
PCD
的大小；
（
II
）若
EC
的垂直平分线与
FD
的垂直平分线交于点
G
，证明
OG
⊥
CD
.
23.
（本小题满分
10
分）选修
4-4
：坐标系与参数方程
x
3
cos
(
为参数
)
在直角坐标系
xOy
中，
曲线
C
1
的参数方程为
，
以坐标原点为极点，
以
x
轴的正半轴为极
<
/p>
y
sin
<
/p>
轴，
，建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为
<
/p>
sin(
)
2
2
.
4
（
I<
/p>
）写出
C
1
的普
通方程和
C
2
的直角坐标方程；
（
II
）设点
P
在
C
1
上，点
Q
在
C
2
上，求
|
PQ
|
的最小值及此时
P
的直角坐标
.
24.
（本小题满分
10
分）选修
4-5
：不等式选讲
已知函数
f
(
x
)
|
2
x
a
|
a
（
I
）当
a
=2
时，求不等式
f
(
x
)
< br>
6
的解集；
（
II
）设函数
g
(
x
)
|
2
x
1|,
当
x
R
时，
f
（
x
）
+
g
（
x
）
≥3
，求
a
的取值范围
.
4
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
（
1
）
D
（
2
）
C
（
3
）
A
（
4
）
D
（
5
）
A
（
6
）
A
（
7
）
B
（
8
）
C
（
9
）
B
（
10
）
B
（
11
）
A
（
12
）
C
【
11
】
<
/p>
【
12
】解：由题意可知，
“规范
01
数列”有偶数项
2m
项，且所含
0
与
< br>1
的个数相等，首项为
0
，末项
为
1
，若
m=4
，说明数列有
8
项，满足条件的数列有：
0
，
0
，
0
，
0
，<
/p>
1
，
1
，
1
，
1
；
0
，
0
，
0
，
1
，
0
，
1
，
1
，
1
；<
/p>
0
，
0
，
0
，
1
，
1
，
0
，
1
，
1
；
0
，
0
，
0
，
1<
/p>
，
1
，
1
，
0
，
1
；
0
，
0
，
1
，
0
，
0
，
1
，
1
，
1<
/p>
；
0
，
0
，
1
，
0
，
1
，
0
，
1
，
1
；
0
，
0
，
1
，<
/p>
0
，
1
，
1
，
0
，
1
；
0
，
0
，
1
，
1
，
0
，
1
，
0
，<
/p>
1
；
0
，
0
，
1
，
1
，
0
，
0
，
1
，
1
；
0
，
1
，
0<
/p>
，
0
，
0
，
1
，
1
，
1
；
0
，
1
，
0
，
0
，
1
，
0
，
1<
/p>
，
1
；
0
，
1
，
0
，
0
，
1
，
1
，
0
，
1
；
0
，
1
，
0
，
1
，
0
，
0
，
1
，
1
；
< br>
0
，
1
，
0
，
1
，
0
，
1
，
0
，
1
．共
14
个．
5