2016年度高考全国1卷理科数学试题及其规范标准答案(解析版)
-
*-
2016
年普通高等学校招生全国统一考
试（全国卷Ⅰ）
理科数学
注意事项：
1
、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴
在答题卡上的指定位置
.
用
2B
铅笔将答题卡上试卷类型
A
后的方框涂黑
.
2
、
选择题的作答：
每小题选出答案后，
用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑
.
写在
试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域内均无效
.
3
、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内
.
写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
.
4
、
选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用
2B
铅笔涂黑
.
答案写在答题
卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
.
5
、
考试结
束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
.
第
Ⅰ
卷
一
.
选择题
：本大题共
12
小题
,
每小题
5
分
,
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项是符合题目要求
的
.
1.<
/p>
设集合
A
x<
/p>
x
4
x
3
0
，
x
2
x
3
0
,
则
A
I
B
<
/p>
2
（
A
）
3,
3
3
< br>
3
3
3,
1,
（
B
）
（
C
）
（
D
）
,3
2
2
2
2
2.
设
(
1
i
)
x
1
yi
，其中
x
,
y
是实数，则
x
<
/p>
yi
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2
3.
已知等差数列
a
n
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
4.
某公司的班车在
7:00
，
8:00
，
8:30
发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，且到达
发车站的
时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
1
1
2
3
（
A
）
< br>
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
3
4
x
2
y
2
1
表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距离为
4,
则
n
的取值范围是
5.
已知方程
2
m
n
3
m
2<
/p>
n
*-
（<
/p>
A
）
1
,3
（
B
）
1,
3
（
C
）
0,3
（
D
）
0,
3
6.
如图
,
某几何体的三视图是三个半径相等的
圆及每个圆中两条相互垂直
的半径
.
若
该几何体的体积是
28
,
则它的表面积是
3
（
A
）
17
（
B
）
18
（
C
）
20
（
D
）
28
2
7.
函数
y
2
x
e
在
< br>
2,2
< br>的图像大致为
x
（
A
）
（
C
）
2
2
y
y
1
（
B
）
2
x
2
1
O
O
2
x
y
y
1
< br>O
1
2
x
（
D
）
2
O
2
x
8.
若
a
b
10
，
c
1
,
则
（
< br>A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
9.
执行右面的程序框图
,
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
,
则输出
x
,
y
的值满足
< br>（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
< br>x
（
D
）
y
5
x
10.
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，
交
C
的准线
开始
输入
x,y,n
于
D
、
E
两点
.
已知
|
AB
|
=
4
2
,|
D
E|=
2
5
,
则
C
的焦点到准线的距
离为
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
11.
平面
过正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
,
//
平面
CB
1
D
1
,
否
n=n
+
1
n-
1
x
=
x+
，
y=ny
2
x
2
+
y
2
≥
36
？<
/p>
是
I
平面
ABCD
=
m<
/p>
,
I
平面
AB B
1
A
1<
/p>
=
n
,
则
m
、
n
所成角的正弦
值为
输出
x
,y
结束
(A)
2
1
3
3
(B)
(C)
(D)
2
3
2
3
*-
1
2.
已知函数
f
(
x
)
sin(
< br>
x+
)(
< br>
0
，
的对称轴，且
f
(
x
)
在
2
),
x
4
为
f
(
x
)
的零点
,
x
4
为
y
f
(
x
)
图像
5
，
单调，则
< br>
的最大值为
18
36
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5 <
/p>
二、填空题：本大题共
3
小题
,
每小题
5
分
13.
设向量
a
=(
m
,1)
，
b
=(1,2)
，且
|
a
+
b
|
2
=|
a
|<
/p>
2
+|
b
|
2
，则
m
=
．
14.
(
2
x
x
)<
/p>
5
的展开式中，
x
3
的系数是
．
（用数字填写答案）
15.
设等比数列
a
n
满足
a
1
+
a
3
=10
，
a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
…a
n
< br>的最大值为
．
16.
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料．
生产一件产品
A
需要甲材料
1
.5kg
，
乙材料
1kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，乙材料<
/p>
0.3kg
，用
3
个工时．生产
一件产品
A
的利润为<
/p>
2100
元，
生产一件产品
B
的利润为
900
元．
该企业现有甲材料
150kg
，
乙材
料
90kg
，
则在不超过
600
个工时的条件下，
生产产品
A
、
产品
B
的利润之和的最大值为
元．
三
.<
/p>
解答题：解答应写出文字说明
,
证明过程
或演算步骤
.
17.
（本小题满分为
12
分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的
对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2cos
C
(
a
cos
B+b
cos
A
)
c
.
（
I
）求<
/p>
C
；
（
II
）若
c
18.
（本小题满分为
12
分）如图，在以
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
< br>F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方
形，
AF
=2
FD
，
AFD
90
，且二面角
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
60
．
（
I
）证明：平面
ABEF
平面
EFDC
；
< br>（
II
）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．
o
o
7
，
ABC
的面积为
3
3
，求
ABC
的周长．
2
D<
/p>
C
F
*-
19.
（本
小题满分
12
分）某公司计划购买
2<
/p>
台机器
,
该种机器使用三年后即被淘汰<
/p>
.
机器有一易损零
件
,
在购进机器时
,
可以额外购买这
种零件作为备件
,
每个
200
元
.
在机器使用期间
,
如果备件不足再购
买
,
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件
,
为此搜集并整理了
100
台这种
机器在
三年使用期内更换的易损零件数
,
得下面柱状图：
0
8
9
10
20
频数
40
11
更换
的易损零件数
以这
100
台机器更换的
易损零件数的频率代替
1
台机器更换的易损零件数发生的概率<
/p>
,
记
X
表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数
,<
/p>
n
表示购买
2
台
机器的同时购买的易损零件数
.
（
I
）求
X
的分布列；
（
II
）若要求
P
(
X
n
)
0.5
,
确定
n
的最小值；
（
III
）以购买易损零
件所需费用的期望值为决策依据
,
在
n
19
与
n<
/p>
20
之中选其一
,
应选用哪
个？
20.
（本小题满分
12
分）设圆
x
y
2
x
15
0
< br>的圆心为
A
,
直线
l
过点
B
（
1,0
）且与
x
轴不重
合，
l
交圆
A
于
C
,
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
（
I
）
证明
EA
EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（
II
）
设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，
直线
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，
过
B
且与
l
垂直
的直线与圆
A
交于
P
< br>,
Q
两点，求四边形
MPNQ<
/p>
面积的取值范围
.
< br>21.
（本小题满分
12
分）已
知函数
f
x
x
<
/p>
2
e
a
x
1
有两个零点
.
x
2
2
2
(I)
求
a
的取值范围
；
(II)
设
x
1
,
x
2
是
f
x
的两个零点
,
证
明：
x
1
x
2
2
.
*-
请考生在
22
< br>、
23
、
24
< br>题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
.
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图
，△
OAB
是等腰三角形，∠
AOB<
/p>
=120°
.
以
O
为圆心，
(I)
证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
(II)
点
C<
/p>
，
D
在⊙
O
上，且
A
，
B
，
C
，
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
D
O
C
1
OA
为半径作圆
.
2
A
B
23.
（本小题满分
10
分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
x
y
< br>中，曲线
C
1
的参数方程为
x
a
cos
t
（
t
为参数，
a
＞
0
）
．
y
1
a
sin
t
在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中
，曲线
C
2
：
ρ
=
4
cos
.
（
I
）
说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
< br>
（
II
）直线
C
3
的极坐标方程为
0
，其中
0
满足
tan
0
=2
，若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
．
24.
（本小题满分
10
分）选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函
数
f
x
<
/p>
x
1
2
x
3
.
（
I
）画出
y
f
x
的图像；
（
II
）求不等式
f
x
1
的解集．
*-
2016
年高考全国
1
卷理科数学参考答案
题号
答案
1
D
2
B
3
C
4
B
5
A
6
A
7
D
8
C
9
C
3
<
/p>
．
2
10
B
11
A
12
B
1.
A
x
x
2
4
x
3
0
x
1
< br>x
3
，
B
x
2
x
3
0
x
x
< br>3
故
A
I
B
x
x
3
．
2
故选
D
．
x
1
x
1
2.
由
1
i
x
1
yi
可知：
x
<
/p>
xi
1
yi
，故
，解得
：
．
y<
/p>
1
x
y
所以，
x
yi
x
2
y
2
2
．
< br>
故选
B
．
<
/p>
3.
由等差数列性质可知：
S
9
9
a
1
a
9
2
a
a
5
而
a<
/p>
10
8
，因此
公差
d
10
1
10
5
9
2
a
5
9
a
5
27
，故
a
5
3
，
< br>2
∴
a
100
< br>
a
10
90
d
98
．
故选
C
．
4.
如图所示，画出时间轴：
7:30
7:40
7:50
< br>A
8:00
C
8:10
8:20
D
8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才
能保证他等车的时间
不超过
10
分钟
根据几何概型，所求概率
P
故选
B
．
x
2
y
2
5.
2
2
1
表示双曲线，则
m
2<
/p>
n
3
m
2
n
0
m
n
3
m
n
10
10
1
．
40
2
∴
m
2<
/p>
n
3
m
2
*-
由双曲线性质知：
c
2
m
2
n
3
m
2
n
4
m
2
，其中
c
是半焦距
∴焦距
2<
/p>
c
2
2
m
4
，解得
m
1
∴
1
n
3
故选
A
．
6.
原立体图如图所示：
1
是一个球被切掉左上角的
后的三视图
8
7
表面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
8
7
1
S
=
4
2
2
+3
2
2
=17
8
4
故选
A
．
7.
f
2
8
e
2
< br>8
2.8
2
< br>
0
，排除
A
f
2
8
e
2
8
2.
7
2
1
，排
除
B
1
1
x
0
时，
f
x
2
x
2
e
x
f
x
4
x
e
x
，当
x
0,
<
/p>
时，
f
x
4
e
0
0
4
< br>
4
1
因此
f
x
在
<
/p>
0,
单调递减，排除
< br>C
4
故选
D
．
8.
对
A
：由于
0
c
1
，∴函数
y
x
c
在
R
上
单调递增，因此
a
b
1
a
c
b
c
，
A
错误
对
B
：由于
1
c
1
0
，∴函数
y<
/p>
x
c
1
在
1,
上单调递减，
∴
a
b
1
a
c
1
b
c
1
< br>
ba
c
ab
c
，
B
错误
对
C
：要比较
a
log
b
< br>c
和
b
log
< br>a
c
，只需比较
和
a
ln
a
a
ln
c
b
< br>ln
c
ln
c
< br>ln
c
和
，只需比较
和
，只需
b
ln
b
ln
a
b
ln
b
a
ln
a
ln
b
*-
构造函数
f
x
x
ln
x
x
1
，则
f
'
x
ln
x
1
1
0
，
f
x
在
1,
上单调递增，
因此
f
a
f
b
0
a
ln
a
b
ln
b
0
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
1
1
a
ln
a<
/p>
b
ln
b
ln<
/p>
c
ln
c
b
log
a
c
a
log
b
c
，
C
正确
a
ln
a
b
ln
b
对
D
：
要比较
log
a
c
和
log
b
c
，只需比较
ln
c
ln<
/p>
c
和
ln
a
ln
b
1
1
ln
a
ln
b
而函数
y
ln
x
在
1,
上单调递增，故
a
b
1
ln
a
ln
b
0
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
故选
C
．
9.
如下表：
循环节运
行次数
运行前
第一次
第二次
第三次
输出
x
ln
c
l
n
c
lo
g
a
c
lo
g
b
c
，
D<
/p>
错误
ln
a<
/p>
ln
b
n
1
x
x
x
2
0
判断
y
<
/p>
y
ny
是否
输出
/
否
否
是
x
y
36
1
/
否
否
是
2
2
n
n
n
1
1
0
1
2
1
2
2
3
3
2
6
3
，
y
6
，满足
y
4
x
2
故选
C
．
10.
以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为
y
2
2
px
p
0
，设圆的方程为<
/p>
x
2
y
2
r
2
，
题目条件翻译如图：
p
设
A
x
0
,2
2
，
D
,
5
，
2
点
A
x
0<
/p>
,2
2
在抛物线
y
2
2
px
上，∴
8
2
px
0
……
①
p
p
点
D
,
5
在圆
x
2
y
2
r
2
上，∴
5
r
2
……
②
2
2
2