2016年高考理科数学试题全国卷2及解析
-
2016
年全国高考理科数学试题全国卷
2
第Ⅰ卷
一
.
选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
.
（
1
）已知
z
(
m
< br>3)
(
m
1)i
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m
的取值范围是
（<
/p>
A
）
(
31)
，
（
B
）
(
1
，
3)
（
C
）
(1,
+
)
（
D
）
< br>(
-
，
3)
（
2
）已知集合
A
{
1,
2,3
}
< br>，
B
{
x
|
(
x
1)(
x
2
)
0,
x
Z
}
，则
A<
/p>
B
（
）
（
A
）
{
1
}
（
B
）
{
1
，
2}
（
C
）
{01
，
，
2
，
3}
< br>（
D
）
{
1
，
01
，
，
2
，
3}
a
=
(3,
2)
，且
(
a
+
b
)
b
，则
m
=
（
）
（
3
）已知向量
a
(1,
m
)
，
（
A
）－<
/p>
8
（
B
）－
6
（
C
）
6
（
D
）
8 <
/p>
（
4
）圆
x
y
2
x
8
y
13
0
的圆心到直线
ax
y
1
0
的距离为
1
，则
a=
（
）
（
A
）
2
2
4
3
（
B
）
（
C
）
3
（
D
）
2 <
/p>
3
4
（
5
）
如图，
小明从街道的
E
处出发，
先到
F
< br>处与小红会合，
再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
（
A
）
24
（
B
）
18
（
C
）
12
（
D
）
9 <
/p>
（
6
）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几
何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
（
A
）
20
（
B
）
24
（
C
）
28
（
D
）
32
1
（
7
）若将
函数
y
2sin
2
x
的图像向左平移
k
2
k
（
C
）
x
2
（
A
）
x
个单
位长度，则平移后图象的对称轴为（
）
12
k
(
k
Z
)
（
B
）
x
(
k
Z
)
6
< br>2
6
k
(
k
Z
)
（
D
）
x
(
k
Z
)
12
2
12
（
8
）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图
是实现该算法的程序框图
.
执行该程序框图，若输入的
x
2,
n
2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s
（
）
（
A
）
7
（
B
）
12
（
C
）
17
（
D
）
34
（
9
）若
co
s(
3
)
，则
sin
2
（
）
4
5
7
1
1
7
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
5
5
25
25
（
10
）
从区间
0,1
随机抽取
2
n
个数
x<
/p>
1
,
x
2
，
…
，
x
n
，
y
1
，
y
2
，
…
，
y
n
，
构成
n
个数对
x
1
,
y
1
，
x
2
,
y
2
，
…
，
x
n
< br>,
y
n
，其中两数的平方和小于
1
的数对共有
m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
< br>的近似值为
（
A
）
4
n
2
< br>n
4
m
2
m
（
B
）
（
C
）
（
D
）
m
m
n
n
x
2
y
2
1
sin
MF
2
F
1
,
（
11
）
< br>已知
F
1
,
F
2
是双曲线
E
< br>:
2
2
1
的左，
右焦点，
点
M
在
E
上，
MF
1
与
x
轴垂直，
a
b
< br>3
则
E
的离心率为（
）
（
A
）
2
（
B
）
3
（
C
）
3
（
D
）
2
2
（
12<
/p>
）
已
知
函
数
f
(
x
)(
x
R
)
满
足
f
< br>(
x
)
2
f
(
x
)
，
若
函
数
y
x
1
与
y
f
(
< br>x
)
图
像
的
交
点
为
x
2
m<
/p>
(
x
1
,
y
1
),(
x
2
,
y
2
),
,(
x
m
,
y
m
),
则
(
x
i
y
< br>i
)
（
）
i
1
（
A
）
0
（
B
）
m
（
C
）
2
m
（
D
）
4
m
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分
(13)
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，若
c
os
A
4
5
，
cos
C
，
a
1
，则
b
．
5
13
(14)
,
是两个平面，
m
,
n
是两条直线，有下列
四个命题：
（
1
）如果
m
n
,
m
,
n
/
/
<
/p>
，那么
<
/p>
.
[]
（
2
）如果
m
,
n
/
/
，那么
m
n
.
（
3
）如果
/
/
,
< br>m
，那么
< br>m
/
/
.
（
4
）如果
m
/
/
n
,
/
/
<
/p>
，那么
m
与
<
/p>
所成的角和
n
与
所成的角相等
.
其中正确的命题有
．
.(<
/p>
填写所有正确命题的编号）
（
15
）有三张卡片，分别写有
1
和
2
，
1
和
3
，
2
和
3
．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后
说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是
2<
/p>
”
，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡
片上相同的数字不是
1
”
，丙
说：
“我的卡片上的数字之和不是
5
”
，则甲的卡片上的数字是
．
（
16<
/p>
）若直线
y
k
x
b
是曲线
y
ln
x
2
的切线，也是曲线
y
ln(
x
1)
的切线，则
b
．
三
.
解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
，
S
7
28.
记
b
n
=
lg
a
< br>n
，
其中
x
表示不超
< br>17.
（本题满分
12
分）
S
n
为等差数列
a
n
的前<
/p>
n
项和，
且
a<
/p>
1
=1
过
x
的最大整数，如
0.9
< br>
=0
，
lg99
=1
．
（Ⅰ）求
b
1
，
b
11
，
b
101
；
（Ⅱ）求数列
b
n
的前
1
000
项和．
18.
（本题满分
12
分）
某险种的基本保费为
a
（单位：元）
，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上
年
度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
3
保费
0.85
a
a
1.25
a
[]
1.5
a
1.75
a
2
a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
概率
0
0.30
1
0.15
2
[]
3
0.20
4
0.10
5
0. 05
0.20
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19.
（本小题满分
12
< br>分）如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
< br>O
，
AB
5,
AC
6
，点
E
,
F
分别
在
AD
,
CD
上，
AE
CF
（Ⅰ）证明：
D
H
5
，
EF
交
BD
于点
H
．将
DEF
沿
EF
折到
D
'
EF
位置，
OD
10
．
4
平面
ABCD
；
（Ⅱ）求二面角
B
D
A
C
的正弦值．
20.
（
本小题满分
12
分）
x
2
y
2
1
的焦点在
< br>x
轴上，
A
是
< br>E
的左顶点，斜率为
k
(
k
0)
的直线交<
/p>
E
于
A
,
M
两点，
已知椭圆
E
:
t
3
点
N
在
E
上，
MA
NA
．
（Ⅰ）当
t
4,|
AM
|
<
/p>
|
AN
|
时，求
AMN
的面积；
4
（Ⅱ）当
2
AM
< br>AN
时，求
k
的取值范围．
（
21<
/p>
）
（本小题满分
12
分）
(
Ⅰ
)
讨论函数
f
(x)
x
2
x
e
的单调性，并证明当
x
0
时，
(
x
2)
e
x
x
2
0
；
x
2
e
x
ax
a
g
x
）
=
(
x
0)
有最小值
.
设
g
(
x
)
的最小值为
h
(
a
)
，求函数
(<
/p>
Ⅱ
)
证明：当
a
[0,1)
时，函数
（
2
x
h
(
a
)
的值域．
< br>
请考生在
22
、
2
3
、
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的
第一题计分
,
做答时请写清题号
（
22
）
（本小题
满分
10
分）
选修
4-1
：几何证明选讲
E
,
G
分别在边
DA<
/p>
,
DC
上
如图，
在正方形
ABCD
中，
（不与端点重合）
，
且
DE<
/p>
DG
，
过
D
点作
DF
CE
，
垂足为
F<
/p>
．
(
Ⅰ
)
证明
：
B
,
C
,<
/p>
G
,
F
四点共圆
；
(
Ⅱ
)<
/p>
若
AB
1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的
5
面积．
（
2
3
）
（本小题满分
10
分）
选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
在直
角坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
(
x
6)
y
25
．
（Ⅰ）以坐标原点
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
< br>C
的极坐标方程；
（Ⅱ）直线
l
的参数方程是
2
2
x
t
cos
（
t
为参数）
,
l
与
C
交于
A
,
B
两点，
|
AB
|
10
，求
l
的斜率．
< br>
y
t
sin
（
24
）
（本小题满分
10
分）
选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函
数
f
(
x
)<
/p>
|
x
（Ⅰ）求
M
；
（Ⅱ）证明：当
a
,
b
M
时，
|
a
b
|<
/p>
|1
ab<
/p>
|
．
1
1
|
|
x
|
，
M
为不等式
f
(
x
)
2
< br>的解集．
2
2
6
2016
年全国高考理科数学试题全国卷
2
参考答案
（
1
）
【解析】
A
∴
m
3
0
，
m
<
/p>
1
0
，
∴
3
m
1
，故选
A
．
（
2
）
【解析】
C
B
x
x
1
< br>x
2
0
，
x
Z
x
1
x
2
，
x
Z
，
< br>
1
，
∴
A
∴
B
0
，
故选
C
．
（
3
）
【解析】
D
B
0
，
1
，
2
，
3
，
a
b
4
，
m
<
/p>
2
，
∵
(
a
b
)
b
，∴
(
a
< br>b
)
b
12
2(
m
2)
0
解得
m
8
，
故选
D
．
<
/p>
（
4
）
【解析】
A
圆
x
2
y
2
2
x
8
y
13
0
化为标准方程为：
x
1
y
4
4
< br>，
故圆心为
1
，
4
，
d
故选
A
．
（
5
）
【解析】
B
a
4
1
2
2
4
1
，解得
a
，
3
a
2
1
E
F
有
< br>6
种走法，
F
G
有
3
种走法，由乘法原理知
，共
6
3
18
种走法
故选
B
．
<
/p>
【解析二】
：
由题意，小明从街道的
E
处出发到
F
处最
短有
C
4
条路，
再从
F
处到
G
处最短共有
C
3
条路，
则
2
1
小明到老年公寓可以
选择的最短路径条数为
C
4
C
3
18
条，故选
B.
2
1
（
6
）
【解析】
C
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆
柱底面圆半径为
r
，周长为
c
，圆锥母线长为
l
，圆柱高为
< br>h
．
7