2016年高考全国卷一理科数学试题及答案
-
..
2016
年普通高等学校招生全统一考试
全国卷一理科数学
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求
的。
1.<
/p>
设集合
A
x<
/p>
x
2
4
x
3
0
，
B
x
2
x
3
0
，则
A
B
（
A
）
（
3
，
2.
设
(
1
i
)
x
1
yi
，其中
x
,
< br>y
是实数，则
x
yi
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2
3.
已知等差数列
< br>
a
n
前
9
项的和为
27
< br>，
a
10
8
，则
a
100
< br>
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
4.
某公司的班车在
7:30,8:00,8:30
发车，
小明在
7:50
至
8:30
之
间到达发车站乘坐班车，
且到达发车站
的时刻是随机的，则他等
车时间不超过
10
分钟的概率是
（
A
）
（
B
）
3
3
3
3
）
（
B
< br>）
（
3
，
）
（
C
）
（
1
，
）
（
D
）
（
，
3
）
2
2
2
2
1
< br>3
1
2
3
（
C
）
（
D
）
2
3
4
x
2
y
2
2
1
表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距离为
4
，则
m
的取值范围是
5.
已知
方程
2
m
n
3
m
n
（
A
）
（
1
，
3
）
（
B
）
（
1
，
3
）
（
C
）
（
0
，
3
）
（
D
）
（
0
，
3
）
6.
如图，某几何体的三视图是三个
半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体
积是
28
，则它的表面积是
3
（
A
）
17
π
（
B
）
18
π
（
C
）
20
π
（
D
）
28
π
2
的图象大致为
7.<
/p>
函数
y
2
x
e
在
2
，
2
x
y
1
< br>-2
O
2
x
-2
1
O
y
1
2
x
-2
O
y
1
2
x<
/p>
-2
O
y
2
x
;..
..
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
8.
若
a<
/p>
b
1
，
0
c
1
，则
（
A
）
a
< br>c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
9.
执行右图的程序框图，如果输入的
x
0
,
y
1
,
n
1
，则输出
x
,
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
< br>
5
x
开始
输入
x
,
y
,
n
n
n
1
x
x
n
< br>1
,
y
ny
2
否
x
2
y
2
36
是
输出
x
,
y
结束
10.
以
抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
,
B
两点，交
C
的准线于
D<
/p>
,
E
两点．已知
AB
4
2
，
DE
2
5<
/p>
，则
C
的焦点到准线的距离为
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
6
（
D
）
8
11.
平面
过正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
∥平面
CB
1
D
1
，
∩平面
ABCD
m
，
∩
平面
ABB
< br>1
A
1
n
，则
m
,
n
所成角的正弦值为
（
A
）
12.
已知函数
f
(
x
)
si
n(
x
)
(
0
,
象的对称轴，且
f
(
x
)
在
(
3
2
3
1
（
B
）
（
C
）
（
D
）
2
3
2
3
)
，
x
< br>为
f
(
x
)
的零点，
x
为
y
f
(
x
)
图
2<
/p>
4
4
5
,
)
单调，则
的最大值为
1
8
36
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
;..
..
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分。
13.
设向量
a
(
m
,
1
)
，
b
(
1
,
2
)
，且
a
b
14.
(
2
x
2
a
b
，则
m
．
2
2
x
)
5
的展开式中，
x
3
的系
数是
．
（用数字填写答案）
15.
设等比数列
< br>
a
n
满足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
4
5
，则
a
1
a
2
a
n
的最大值为
．
16.
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料
.
生产一件
A
需要甲材料
1.5kg,
乙材
< br>料
1kg
，用
5
个工时；生产一件
B
需要甲材料
0.5kg,
乙材料
0.3kg
，用
3
个工时
.
生
产一件
A
产品
的利润为
2100
元，生产一件
B
产品
的利润为
900
元
.
< br>该企业现有甲材料
150kg
，乙材料
< br>90kg
，则
在不超过
600<
/p>
工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
<
/p>
17.
（本小题满分
12
分）
△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
2
cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
.
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c
18.
（本小题满分
12
分）如图，在以
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
7
，
△
ABC
的面积为
3
3
.
求
△
ABC
的周长<
/p>
.
2
AF
<
/p>
2
FD
，
AFD
90
<
/p>
，且二面角
D
AF
E
与二面角
C
BE
F
都是
60
°
.
（Ⅰ）证明：平面
ABEF
⊥平
面
EFDC
；
（Ⅱ）求二面角
E
BC
A
的余弦值
.
C
D
E
A
F
B
19.
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，
该种机器使用三年后被淘汰
.
机器有一易损零件，
在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个
200
元
.
在机器使用期间，如果备件不足再购<
/p>
买，
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，
为此搜集并整理了
100
台这
种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：
以
这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
< br>1
台机器更换的易损零件数发生的频率，
记
X
表
示
2
< br>台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数
.
（Ⅰ）求
X
的分布列；
（Ⅱ）若要求
P
（
X
n
）
0
.
5
，确定
n
的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在
n
19
与
n
20
之中选其一，应
选用哪个？
;..
..
频数
40
20
O
8
9
10
11
更换的易损零件数
20.
（本小题满分
12
分）
设圆
x
y
2
x
<
/p>
15
0
的圆心
为
A
，直线
l
过点
B
(
1
,
0
)
且与
x<
/p>
轴不重
合，
l
交
圆
A
于
C
,<
/p>
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
< br>于点
E
.
（Ⅰ）证明
EA
EB
为定值，并
写出点
E
的轨迹方程；
（Ⅱ）
设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，
直线<
/p>
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，
过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交
于
P
,
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围<
/p>
.
21.
（
本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)
(
x
< br>
2
)
e
a
(
x
1
)
有两个零点
.
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
2
.
请考生在第（
22
）
、
（
23
）
、
（
2
4
）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图，
△
< br>OAB
是等腰三角形，
AOB
120
.
以
O
为圆心，
（Ⅰ）证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C<
/p>
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
D
O
A
C
x
2
2
2
1
OA
为半
径作圆
.
2
B
23.
（本小题满分
10
< br>分）选修
4-4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，曲线<
/p>
C
1
的参数方程为
x
a
cos
t
,
(
t
为参数，
a
0
).
在以坐
y
1
a
sin
t
,
标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极
坐标系中，曲线
C
2
：
4
cos
.
（Ⅰ）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）
直线
C
3
的极坐标方程为
0
< br>，其中
0
满足
tan
0
2
，若曲线
C
1
与
C
2
的公共
点都在
C
3
上，求
a
.
;..
..
24.
（本小题满分
10
分）选修
4-5
：不
等式选讲
已知函数
f
(
x
)
< br>
x
1
2
x
3
.
（Ⅰ）在答题卡第（
24
）题图中画出
y
f<
/p>
(
x
)
的图像；
（Ⅱ）求不等式
f
< br>(
x
)
1
的解集
.
y
1
o
1
x
;..
..
2016
年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析
一、选择题
【答案】
（
1
）
D
（
2
）
B
（
3
）
C
（
4
）
B
（
5
）
A
（
6
）
A
（
7
）
D
（
8
）
C
（
9
）
C
（
10
）
B
（
11
）
A
（
12
）
B
【解析】
（
1
）
A
x<
/p>
x
2
4
x
3
0
x
1
x
3
，
B
x
2
x
3
<
/p>
0
x
x
3
，∴
2
3
A
B
x
x
3
．
2
< br>x
1
x
1
（
2
）∵
(
1
<
/p>
i
)
x
1
yi
即
x
xi
1
yi
∴
，解得：
，∴
x
y
y
1
< br>x
yi
x
2
y
2
2
．
<
/p>
（
3
）∵
S
9
∴
a
100
9
(
a
1
a
9
)
9
2
< br>a
5
a
a
5
9
a
5
27<
/p>
∴
a
5
3
，∵
a
10
8
∴
d
10
1
，
2
2
10
5
a
10
90
d
98
．
（
4
）如图所示，画出时间轴：
7:
30
7:40
7:50
A
8:00
C
8:10
8:2
0
D
8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才能保证他等车的时间不超过
10
分钟，
根据几何概型，所求概率
p
10
< br>10
1
．
40
2
x
2
y
2
2
1
表示双曲线，则
< br>(
m
2
n
)(
3
m
2
n
)
<
/p>
0
，∴
m
2
n
3
m
2
，
（
5
）
2
< br>
m
n
3
m
n
2
c
4
∵
2
2
2
2
c
(
m
< br>n
)
(
3
m
n
)
4
m
解得
m
2
1
，∴
1
n
3
．
（
6
< br>）原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
1/8
后的三视图，
表面积是
7/8
的球面面积和三个扇形面积之和，
7
1
4
2
2
3
2
2
17
8
4
2
2
（
7
）
f
(
2
)
8
< br>e
8
2
.
8
0
，排除
A
；
f
(
2
)
8
e
2
8
2
< br>.
7
2
1
，排除
B
；
∴
S
1
1
当
x
(
0
,
)
时，
f
(
x
)
4
e
0
0
x
0
时，
f
(
x
)
2
x
2
e
x
，
f
(
x
)
< br>4
x
e
x
，
4
4
1
∴
f
(
x
)
在
(
0
,
)
单调递减，排除
C
；
4
;..
..
故选
D
c
c
（
8
）对
A
：由于
0<
/p>
c
1
，
∴函数
y
x
c
在
R
上单调递增，
因此
a
<
/p>
b
1
a
b
，
A
错误；
对
B
：由于
1
c
1
0
，∴函数
y
x
c
< br>1
在
1,
上单调递减，
c
1
c
1
c
c
∴
a
b
1
a
<
/p>
b
ba
ab
，
B
错误
a
ln
c
b
ln
c
ln
c
ln
c
对
C
：要比较
a
log<
/p>
b
c
和
b
log
a
c
，只需比
较
和
，只需比较
和
，只
ln
a
b
ln
b
a
ln
a
ln
b
需
b
ln
b
和
a
ln
a
f
x
x
ln
x
x
1
f
'
x
ln
x
< br>
1
1
0
f
x
1,
构造函数
，则
，
在
上单调递增，因
1
1
此
f
< br>a
f
b
0
a
ln
a<
/p>
b
ln
b
0
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
1
得
ln
c
< br>
0
，∴
b
log
a
c
a
log
b
c
，
C
正确
a
ln
a
b
ln
b
l
n
c
ln
c
对
D
：要比较
log
a
c
和
log
b
c
，只需比较
和
ln
a
ln
b
1
1
而函数
y
ln
x
< br>在
1,
< br>
上单调递增，故
a
b
1
ln
a
ln
b
0
< br>
ln
a
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
lo
g
a
c
lo
g
b
c
，
D<
/p>
错误
ln
a<
/p>
ln
b
故选
C<
/p>
．
1
【
2
°用特殊值法，令
a
3
,
b
2
,
c
得
3
2
2
2
，排除
A
；
3
2
2
2
< br>3
2
，排除
2
< br>1
1
1
B
；
3
log
2
2
log
3
2
，
C
正确；
log
3
log
< br>2
，排除
D
；∴选
C
】
2
< br>2
2
（
9
）如
下
表：
输出
x
循环节运
行次数
运行前
第一次
第二次
第三次
1
1
1
1
n
1
x
x
x
2
0 <
/p>
y
y
ny
1
判断
x
2<
/p>
y
2
36
/
否
否
是
是否
输出
/
否
否
是
n
n
n
1
1
0
1
2
3
2
1
2
2
3
6
3
，
y
6
，满足
y
4
x
，
故选
C
．
2
（
10
）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
2
2
2
2
y<
/p>
2
px
x
y
r
p
0
，设圆的方程为
设抛物线为
，题目条件翻译如图：
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