2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅰ卷)
-
绝密
★
启用前
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅰ卷）
本试题
卷共
5
页，
24
题（含选考题），全卷满分
150
分，考试用时
120
分钟
注意事项：
1.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷
和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用
2B
铅笔将答题卡上试卷类型
A
后的
方
框涂黑。
2.
选择题的作答：每小时选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的
非答题区域均无效。
3.
非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上帝非答题区域均无效。
.
4.
选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用
2B
铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题
区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效。
5.
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
.
第Ⅰ卷
一
.
选择题
：本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
.
2
A
{
x
|
x
< br>
4
x
3
0}
，
B
{
x
|<
/p>
2
x
3
0}
，则
A
B
（
1
）设集合
【
D
】
3
3
3
3
(
< br>
3,
)
(
3,
)
(
,3)
(1,
)
< br>2
（
B
）
2
（
C
）
2
（
D
）
2
（
A
）
（
2
）设
(1
i)
x
1
y
i
，其中
x
，
y
是实数，则
x
y
i
=
【
B
】
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）<
/p>
3
（
D
）
2
（
3
）已知等差
数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
=8
，则
a
100
=
【
C
】
（
A
）
100
（
B
）
99<
/p>
（
C
）
98
（
D
）
97
（
4
）某公司的班车在
7:30
，
8:00
，
8:30
发车，小明在
7:50
< br>至
8:30
之间到达发车
站乘坐
班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
【
B
】
< br>
（
A
）
（
B
）
1
3
1
2
3
（
C
）
（
D
）
2
3
4
x
2
y
< br>2
1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4
，
（
5
）已知方程
2
m
n
3
m
2
n
< br>则
n
的取值范围是
【
A
】
（
A
）
(
–
1,3)
（
B
）
(
–
1,
3)
（
C
）
(0,3)
（
D
）
(0,
3)
（
6
）
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径
.
若该几何体的体积是
28
，则它的表面积是
【
A
】
3
（
A
）
17
π（
B
）
18
π（
C
）
20
π（
D
）
28
π
（
7
）函数
y
=2
< br>x
2
–
e
在
[
–
2,2]
的图像大致为
【
D
】
x
（
< br>A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
，
c
1
，则
【
C
】
（
8
）若
a
b
< br>
10
c
c
c
c
（
A
）
a
b
（<
/p>
B
）
ab
ba
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
，
n
1
，则输出
x
，
y
的值满足
【
C
】
（
9
）执行右面的程序
图，如果输入的
x
0
，
y
1
开始
输入
x,y,n
n-
1
x
=
x+
，
y=ny
2
x
2
+
y
2
≥
36
？
输出
x,y
结束
n=n
+1
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
< br>
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
5
x
(10)
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
，
< br>B
两点，交
C
的标准线于
D
，
E
两点
.
已知
|
AB
|=
4
2
，
|
DE|=
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
< br>【
B
】
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)
平面
a
过正方
体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
a
//
平面
CB
1
D
1<
/p>
，
a
平面
ABCD
=
m
，<
/p>
a
平面
ABA
1
B
1
=
n
，则
m
，
n
所成角的正弦值为
【
A
】
3
2
3
1
(
B
)
(C)
(D)
2
2
3
3
(A)
12.
已知函数
f
< br>(
x
)
sin(
x+
< br>)(
0
，
2
),
x
4
为
f
(
x
)
的零点，
x
<
/p>
4
为
5
y
f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在
，
单调，则
的最大值为
【
A<
/p>
】
18
36
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
(
13
)
题
(
21
)
题为必考
题，每个试题考生都必须
作答
.
第
(
22
)
题
(
24
)
题为选考
题，考生根据要求作答
.
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分
(13)
设向量
a<
/p>
=(
m
，
1)<
/p>
，
b
=(1
，<
/p>
2)
，且
|
a<
/p>
+
b
|
2
=|
a
|
2
+|
b
|
2
，则
m
=
-2
.
5
(14)
(2
x
x
)
的展开式中，
x
3
< br>的系数是
10
.
（用数字填写答案）
（
15
）设等比数列
满足
a
1
+
a
3
=10
，
a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
…
a
n
的最大值为
64 .
（
16
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材
料。生产一件产品
A
需要甲材料
1.5
kg
，乙材料
1kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，乙
材料
0.3kg
，用
3
个工时，生产一件产品
A<
/p>
的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润
为
900
元。该企业现有甲材料
150kg
，乙
材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，
生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
216000
元。
三
.
解答题：解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤
.
（
17
）（本小题满分为
12
分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2cos
C
(
a
cos
B+b
cos
A
)<
/p>
c
.
（
I
）求
C
；
（
II
）若
c
7,
ABC
的面积为
3
3
，求
ABC
的周长．
2
解：（
I
）由已知及正弦定理得，
2cosC
sin
cos
sin
cos
sinC
，
即
2cosCsin
sinC
．
故
2sinCcosC
sinC
．
可得
cosC
1
，所以
C
．
2
3
1
3
3
ab
sin
C
．
2
2
（
II
）由已知，
又
C
3
，所以
ab
6
．
2
2
由已知及余弦定理得，
a
b
2
a
b
cosC
7
．
2
2
故
a
b
13
，从而
a<
/p>
b
25
．
2
所以<
/p>
C
的周长为
5
7
．
（
18
）（本小题满分为
12
分）
如图，在以
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，
面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，
AFD
90
，且二面角
D
-
AF
-<
/p>
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
60
．
D<
/p>
C
F
（
I
）证明：平面
ABEF
EFDC
；
（
II
）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．
解：（
I
）由已知可
得
F
DF
，
F
F
，所以
F
平面
FDC
．
又
F
平面
F
，故平面
F
平面
FDC
．
（
II
）过
D
作
DG
F<
/p>
，垂足为
G
，由（
I
）知
DG
平面
F
．
以
G
为坐标原点，
GF
的方向为
x
轴正方向，
GF
为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系
G
xyz
< br>．
由（
I
）知
DF
为二面角
D
< br>
F
的平面角，故
DF
60
，则
DF
2
，
DG
3
，可得
1
,4,0
，
3,4,0
，
3,0,0
，
D
0,0,
3
．<
/p>
由已知，
//
F
，所以
//
平面
< br>FDC
．
又平面
CD
平面
FDC
DC
，故
//CD
，
CD
//
F
．
由
//
F
，可得
平面
FDC
，所以
C
F
为二面角
C
F
的平面角，
C
F
60
．从而可得
C
2,0,
3
．
所以
C
1,0,
3
，
0,4,0
，
C
3,
4,
3
，
4,0,0<
/p>
．
设
n
x
,
y
,
z
是平面
C
的法向量，则
< br>x
3
z
0
n
C
0
，即
，
4
y
0
n
0
所以可取
n
3,0,
3
．
m
C
< br>
0
m
CD
设
是平面
的法向量，则
，
m
0
同理可取
m
0,
3,
4
．则
cos
n
,
m
n
m
2
< br>19
．
n
m
19
故二面角
C
的余弦值为
2
19
．
19
（
19
）（本小题满分
1
2
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有一易损零件，在购进
机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每
个
200
元，
.
在机器使用期间，如果备件
不足再购买，则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易
损零件，为此搜
集并整理了
100
台这
种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这
10
0
台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器更换的易损零件数发生的概率，
记
X
< br>表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同
时购买的
易损零件数
.
（
I
）求
X
的分布列；
（
II
）若要求
P
(
X
n
)
0.5
，确定
n
的最小值；
（
III
）以购买易损零件所需费
用的期望值为决策依据，在
n
19<
/p>
与
n
20
之中选其一，
应选用哪个？
解：（
Ⅰ
）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机
器在三年内需更换的易损零件数
为
8
，
9
，
10
，<
/p>
11
的概率分别为
0.2
，
0.4
，
0.2
，
0.2
，从而
P
(
X
16
)
0
.
2
0
< br>.
2
0
.
04
；
P
(
X
17
)
2
0
.
2
0
.
4
0
.
16
；
P
(
X
18
)
2
0
.
2
0
.
2
0
.
4
0
.
4
0
.
24
；
P
(
X
19
)
2
0
.
2
0
.
2
2
0
.
4
0
.
2
< br>0
.
24
；
P
(
X
20
)
2
0
.
2
0
.
4
0
.
2
0
.
2
< br>
0
.
2
；
P
(
X
21
)
<
/p>
2
0
.
2
0
.
2
0
.
08
；