2016年高考文科数学试题全国卷1及解析word完美版
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2016
年普通高等学校招生全国统一考试文
科数学试题卷
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
、设集合
A={1,3,5,7}
，
B={x|2≤x≤5}
，则
A∩B=
(
)
A
．
{1,3}
B
．
{3,5}
C
．
{5,7}
D
．
{1,7}
解析：常规的集合习题，考察交集的运算性质．答案：
B
．
2
、设
(1+2i)(a+i)
的实部与虚部
相等，其中
a
为实数，则
a=(
)
A
．
–
3
B
．
–
2
C
．
2
D
．
3
解析
：本题考察复数实部虚部的基本概念，展开化简可得
(a
–
2)+(2a+1)i
，所以
a
–
2=2a+1
，即
a=
–
3
．答案：
A
．
3
、为
美化环境，从红、黄、白、紫
4
种颜色的花中任选
2
种花种在一个花坛中，余下的
2
< br>种花种在另一个花坛
中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
(
)
1
1
2<
/p>
5
A
．
3
B
．
2
C
．
3
D
．
6
解析：本题考察古典概率．从基本
情况出发只要确定一个花坛的颜色，另一个花坛随之确定，所以有我们只需要
确定一个花
坛就好，因此有以下情况：红黄，红白，红紫，黄白，黄紫，白紫六种情况；其中红紫不在一起的情
2
况有四种，所以答案
3
．
答案：
C
．
2
4
、
△
AB
C
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
< br>a
、
b
、
c
．已知
a=
5
，
c=2
，
cosA=
3
，则
b=(
)
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3
解析
：本题考察余弦定理，根据题目条件画出图形可以列出等式
a
2
=b
2
+c
2
–
2bccosA
，带入已知条件化简
可得
3b
2
–
8b
–
3=0
，解得
< br>b=3
．答案：
D
．
1
5
、直线
l
经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到
l
的距离为其短轴长的
4
，则该椭圆的
离心率为
(
)
1
1<
/p>
2
3
A
．
3
B
．
2
C
．
3
D
．
4
1
1
c
1
解析：如图，利用
△
BOF
的面积可得
2
bc=
2
a|OD|
，带入已知条件化简得
a
=
2
=e
．答案：
B
．
π
1
6
、若将函数
y=2si
n (2x+
6
)
的图像向右平移
4
个周期后，所得图像对应的函数为
(
) <
/p>
π
π
π
π
A
．
y=2sin(2x+
4
)
B
．
y=2
sin(2x+
3
)
C
．
y=2sin(2x
< br>–
4
)
D
．
y=2sin(2x
< br>–
3
)
2π
< br>π
π
π
π
解析：该函数的周期为
T=
ω
=π<
/p>
，所以函数向右平移
4
，得
y=2sin[2(x
–
4
)+
6
]
，化简可得
< br>y=2sin(2x
–
3
)
．答案：
D
．
<
/p>
7
、如下左
1
图
，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
< br>28π
3
，则它的表面积是
(
)
A
．
17π
B
．
18π
C
．
20π
D
．
28π
1
4
1
解析：该图
形的直观图如图，所以此图属于切割体，切去了该球
8
的体积，
根据体积公式
V
球
=
< br>3
πr
3
，有
< br>(1
–
8
)V
< br>球
7
4
3
28
7
2
2
=
8
·
πr
=
π
，解得
r=2
．所以表面积
S=S
球
+S
截面
=
·4·πr
+3
·πr
，即
S=17π
．答案：
A
．
3
3
8
8
、若
a>
b>0
，
c 2 在 <
br>的图像大致为 <
br>f'(
C
． <
br>–∞,+∞
<
br>1
<
br>x=
0
，则
(
)
A
．
lo
g
a
c
b
B
．
log
c
a
c
b
C
．
a
c
c
D
．
c
a
b
解析：本题属
于指对数比较大小问题．答案：
B
．
9
、函数
y=2x
–
e
|x|
[
–
2,2]
(
)
A
．
B
．
C
．
D
．
解析：根据选择图像的步骤和排除法选择．函数在定义域中为偶函数且
f(2)>0
，排除
A
；当
x>0
求导
y'=4x
–
e
x
，即
1
1
f'(0)<0
，
2
)>0
．因此极值点一
定在
(0,
2
)
，因此答案选
D
．
10
、执行下面的程序框图，如果输入的
x=0
，
y=1
，
n=1<
/p>
，则输出
x
，
y
的值满足
(
)
A
．
y=2x
B
．
y=3x
C
．
y=4x
D
．
y=5x
3
解析：根据程序图可得最终输出
x=
2
，
y=6
，代入四个选项可得
C
，即答案为
C
．
11
、平面
α
过正方体
ABCD
—
A
1
B
1
1
D
1
的顶点
A
，
α
∥
平面
CB
1
D
1
，
α∩
平
面
ABCD=m
，
α∩
平面
ABB
1
A
1
=n
，则
m
，
n
所成角的正弦值为
(
) <
/p>
3
2
3
1
A
．
2
B
．
2
C
．
3
D
．
3
解析：画出大概图形，在前面和下面各接一个正方体可以得到
m
、
n
两边，根据异面直线所求角的方法将两
个移
3
到一个三角形中即
△
A
1
BD
，易得
m
、
n
所成角的正弦值
为
2
，即答案为
A
1
12
、若函数
f(x)=x
–
3
sin2x+asinx
在
(
)
单调递增，则
a<
/p>
的取值范围是
(
)
1<
/p>
1
1
1
A
．
[
–
1,1]
B
．
[
–
1,
3
]
C
．
[
–
3
,
3
]
D
．
[
–
1,
–
3
]
2
4
5
解析：此题考察恒成立问题，对原函数求导可得
f'(x)=1
–
3
cos2x+a
cosx=
–
3
cos
2
x+acosx+
3
，若原
函数在
R
上单调递
4
1
增，则
f'(x)>0
恒成立，设
cosx=t(t
∈
[
–
1,1])
，
y'=
–
3
t
2
+3at+5>0
，分别带入
t=1
和
t=
–
1
，解得
[
–
3
,
3
]
．答案：
C
．
二、填空题：本大题共
3
小题，每小题
5
分
13
、设向量
a
=(x,x+1)
，
b
=(1,2)
，且
a
⊥
b
，则
．
2
解析：本题考察向量垂直的坐标运算，由题意知：向量
a
·
b
=0
，所以
3x+2=0
，即
x
=
–
3
．
<
/p>
π
3
π
14
、已知
θ
是第四象限角，且
sin(θ+
4
)=
5
，则
tan(
θ–
4
)=
．
π
π
π
π
3
解析：
本题考察同角的三角函数关系，
三角函数
的符号判断以及诱导公式的运用：
cos(θ–
4
)=cos(θ+
4
–
2<
/p>
)=sin(θ+
4
)=
5
，
π
sin(
θ–
4
)
π
3
π
π
4
π
4
因为
θ
是第四象限角，且
cos(θ–
4
)=
5
，所以
θ–
4
也在第四象限，即
sin(θ–
4
)=
–
5<
/p>
，所以
tan(θ–
4
< br>)=
=
–
π
3
．
cos(
< br>θ–
4
)
15
< br>、设直线
y=x+2a
与圆
C<
/p>
：
x
2
+y
2
–
2ay
–
a=0
相交于
A
，
B
两点，若
|AB|=2
3
，则圆
C
的面积为
．
解析：此题考察直线与圆的位置关
系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：
x
–
y+2a=0
，圆的标
|Ax
0
+By
0
+C|
|a|
a
2
AB<
/p>
2
2
准方程为：
x
2
+(y
–
a)
2
=2+a
2
，则圆心到直线的距离为：
d=
=
，利用勾股定理有：
(
)
+(
2
)
=r
，解得
A
2
+B
2
2
2
a=
2
，所以半径为
r=2
，所以面积为
4π
．
16
、
某高科技企业生产产品
A
和
产品
B
需要甲、
乙两种新型材料．
生产一件产品
A
需要甲材料
1.5kg
，
乙材料
1kg<
/p>
，
用
5
个工时；
生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，
乙材料
0.
3kg
，用
3
个工时，
生产一件产品
A
的利润为
21
00
元，
生产一件产品
B
的利润为
900
元．该企业现有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，生
产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
元．
3x+y≤300
x+0.3y≤90
解析：根据题目可得目标函数为
z=2100x+900y
，可行域满足的不等式组为
5x+3
y≤600
，根据线性规划可得目标
x≥0
y≥0
函数的最大值为
216000
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
<
/p>
1
17
、
(
本题满分
12
分
)
已知
{a
n
}
是公差为
3
的等差数列，数列
{b
n
}
满足
b
1
=1
，
b
2
=
3
，
a
n
b
n+1
+b
n+1
=nb
n
．
(1)
求
{a
n
}
的通项公式；
(2)
求
{b
n
}
的前
n
项和．
解
析：
(1)
由
a
n
b
n+1
+b
n+1
=nb
n
知
a
1
b
2
+b
2
=b
1
带入已知条件得：
a
1
=2
，
∴
由
a
n
=a
1
+(n
–
1)d
得
a
n
=3n
–
1
．
b
n+1
1
1
(2)
由
(1)
知
a
n
b
n+1
+b
n+1<
/p>
=nb
n
，即
(
3n
–
1)b
n+1
< br>+b
n
=nb
n
，所以
b
=
3
，所以
{b
n
}
是一个以
1
为首项，
3
为公比的等比数列．
n
< br>1
1[1
–
(
< br>3
)
n
]
b
1
(1
–
q
n
)
3
3<
/p>
1
n
其前
n
项和为：
1
–
q<
/p>
=
=
(
3
)
．
1
2
–
2
·
1
–
3