2016年全国2卷高考理科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅱ卷)
-
2016
年全国统一高考数学试卷（理科）<
/p>
（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1
．
（
5
分）已知
z=
（
m
+
3
）
+
（
m
﹣
1
）
i
在复平面内对应的点在第四象限，则实
数
m
的取值范围是（
）
A
．
（﹣
3
，
1
）
B
．
（﹣
1
，
3
）
C
< br>．
（
1
，
+
∞）
D
．
（﹣∞，﹣
3
）
2
．
（
5
分）已知集合
A=
{
1
，
2
，
3
}
，
B=
{
x
|
（
x
+
1
）
（
x
﹣
2
）＜
0
，
x
∈
Z
}
，则
A
∪
B
等于（
）
A
．
{
1
}
B
．
{
1
，
2
}
< br>
C
．
{
0
，
1
，
2
，
3
}
D
．
{
﹣
1
，
0
，
1
，
< br>2
，
3
}
3
．
（
5
分）已知向量
=
（
1
，
m
）
，
=
（
3
，﹣
2
）
，且（
+
）⊥
，则
m=
（
）
A
．﹣
8
B
．﹣
6
C
．
6
D
．
8
4
．
（
5
分）
圆
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣
8y
+
13=0
的圆心到直线
ax
+
y
﹣
1
=0
的距离为
1
，
则
a=
（
）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
2
5
．
（
5
分）如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路
径条
数为（
）
A
．
24
B
．
18
C
．
12
D
．
9
6
．
（
5
分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体
的表面
积为（
）
1
A
．
20π
B
．
24π
C
．
28π
D
．
32π
7
．
（
5
分）若将函数
y=2sin2x
的图象向左平移
的对称轴为（
）
A
．
x=
C
．
x=
﹣
﹣
（
k
∈
Z
）
（
k
∈
< br>Z
）
B
．
x=
D
．
x=
个单位长度，则平移后的图象
+
+
（
k
∈
Z
）
（
k
∈
Z
）
8
．
（
5
分）中国古代有计算多项式值的秦九韶
算法，如图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的
x=2
，
n=2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输
出的
s=
（
）
A
．
7
9
．
（
5
分）若
cos
（
B
．
12
C
．
17
D
．
34
﹣
α
）
=
，则
sin2α=
（
）
2
A
．
B
．
C
．﹣
D
．﹣
<
/p>
10
．
（
5
分）从区间
[
0
，
1
]
随机抽取
2n
个数
x
1
，
x
2
，
…<
/p>
，
x
n
，
y
1
，
y
2
，
…
，
y
n
构成
n
< br>个数对（
x
1
，
y
1
）
，
（
x
2
，
y
2
）
…
（<
/p>
x
n
，
y
n
）
，其中两数的平方和小于
1
的数对共
有
m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π
的近似值为
（
）
A
．
B
．
C
．
﹣
D
．
11
．
（
5
分）已
知
F
1
，
F<
/p>
2
是双曲线
E
：
=1
的左，右焦点，点
M
在
E
上，
MF
1
与
x
轴垂直，
sin
∠
MF
2
F
1
=
，则
E
的离心率为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
与
12
．<
/p>
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
（
x
∈
R
）满足
f
（﹣
x
）<
/p>
=2
﹣
f
（
x
）
，若函数
y=
y=f
（
x
）
图象的交点为
（
x
1
，
y
1
）
，
（
x
2<
/p>
，
y
2
）
，
…
，
（
x
m
，
y
m
）
，
则
A
．
0
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分．
13
．
（
5
分）
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，<
/p>
若
cosA=
，
cosC=
a=1
，则
b=
．
14<
/p>
．
（
5
分）
α
，
β
是两个平面
，
m
，
n
是两
条直线，有下列四个命题：
①如果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，
n
∥
β
，那么
α
⊥
β
．
②如果
m
⊥
α
，
n
∥
α
< br>，那么
m
⊥
n
< br>．
③如果
α
< br>∥
β
，
m
⊂
α
，那么
m
∥
β
．
④
如果
m
∥
n
，
α
∥
β
，那么
m
与
α
所成的
角和
n
与
β
所
成的角相等．
其中正确的命题是
（填序号）
B
．
m
C
．
2m
<
/p>
（
x
i
+
y
i
）
=
（
）
D
．
4m
，
15
．
（<
/p>
5
分）有三张卡片，分别写有
1
和
2
，
1
和
3
，
2
< br>和
3
．甲，乙，丙三人各取
走一
张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“
我与乙的卡片上相同的数字不
是
2”
，乙
看了丙的卡片后说：
“
我与丙的卡片上相同的数字不是
1”
，丙说：
“
我的卡片
上的数字之和不是
5”
，则甲的卡片上的数字是
．
3
16
．
（
5
分）若直线
y=kx
+
b
是曲线
y=lnx
+
2
的切线，也是
曲线
y=ln
（
x
+
1
）的切线，
则
b=
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
<
/p>
17
．
（
12<
/p>
分）
S
n
为等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
=1
，
S
7
=28
，记
b
n
=
[
l
ga
n
]
，其
中
[
x
]
表示
不超过
x
的最大整数，如
[
0.9
]
=0
，
[
lg99
]
=1
．
（Ⅰ）求
b<
/p>
1
，
b
11
，
b
101
；
（Ⅱ）求数列
{
b
n
}
的前
1
000
项和．
18
．
（<
/p>
12
分）某保险的基本保费为
a
（单位：元）
，继续购买该保险的投保人成为
续
保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
保费
0
0.85a
1
a
2
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
≥
5
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
概率
0
0.30
1
0.15
2
0.20
3
0.20
4
0.10
≥
5
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
4
19
．
（
12
分）
如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O<
/p>
，
AB=5
，
A
C=6
，点
E
，
F
分别在
AD
，
CD
上，
AE=CF=
，
EF
交于
BD
于点
H
，
将△
DEF<
/p>
沿
EF
折到△
D
′EF
的位置，
OD′=
．
（Ⅰ）证明：
D′H
⊥
平面
ABCD
；
（Ⅱ）求二面角
B
﹣
D′A
﹣
C
的正弦值．
20
．<
/p>
（
12
分）已知椭圆
E
：
+
=1
的焦点在
x
轴上，
A
是
E
的左顶点，斜率为
k
（
k
＞
0
）的直线交
E
于
A
，
M
两点，点
N<
/p>
在
E
上，
MA<
/p>
⊥
NA
．
（Ⅰ）当
t=4
，
|
AM
|
=
|
AN
|
时，求△
AMN
的面积；
（Ⅱ）当
2
|
AM
|
=
|
AN
|
时，求
k
的取值范围．
5
<
/p>
21
．
（
12<
/p>
分）
（Ⅰ）讨论函数
f
< br>（
x
）
=
e
x
+
x
+
2
＞
0
；
e
x
的单调性，
并证明当
x
＞
0
时，
（
x
﹣
2
）
（Ⅱ）证明：当
a
∈
[
0
，
1
）时，函数
g
（
x
）
=
（
x
）的最小值为
h
（
a
）
，求函数
h
（
a
）的值域．
（
x
＞
0
）有最小值
．设
g
请考生在第
22
～
24
题中任选一个题作答，
如果多做，
则按所做的第一题计分
.
[
选
修
4-1
：
几何证明选讲
]
22
．
（
10
分）如图，在正方形
ABCD
中，
E
，
G
分别在边
DA
< br>，
DC
上（不与端点重
合）
，且
DE=DG
，过
D
点作
DF
⊥
CE
，垂足为
F
．
< br>
（Ⅰ）证明：
B
，
C
，
G
，
F
四点共圆；
（Ⅱ）若
AB=1
，
E
为<
/p>
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积．
6
[<
/p>
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
23
．在直角坐标
系
xOy
中，圆
C
的方程为（
x
+
6
）
2
+
y
2
=25
．
（Ⅰ）
以坐标原点为极点，
x
轴正
半轴为极轴建立极坐标系，
求
C
的极坐
标方程；
（Ⅱ）
直线
l
的参数方程是
（
t
为参数）
，
l
与
C
交与
A
，
B
两点，
|
AB
|
=
求
l
的斜率．
[
选修
4-5
：不
等式选讲
]
24
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
|+|
x
+
|
，
M
为不等式
< br>f
（
x
）＜
2
的解集．
（Ⅰ）求
M
；
（Ⅱ）证明：当
a
，
< br>b
∈
M
时，
|
a
+
b
|
＜
|
1
+<
/p>
ab
|
．
，
7
<
/p>
2016
年全国统一高考数学试卷（理科）
（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，在
每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1
．
（
5
分）已知
z=
（
m
+
3
）
+
（
m
﹣
1
）
i
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m
的取值范围是（
）
A
．
（﹣
3
，
1
）
B
．
（﹣
1
，
3
）
C
．
（
1
，
+
∞）
D
．
（﹣∞，﹣<
/p>
3
）
【考点】
A
4
：复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】
11
：计算题；
29
：规律型；
35
：转化思想；
5N
：数系的扩充和复数．
【分析】
利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【解答】
解：
z=
（
m
+
3
）
+
（
m
﹣<
/p>
1
）
i
在复平面
内对应的点在第四象限，
可得：
故选
：
A
．
【点
评】
本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
2
．
（
5
分）已知集合
A=
{
1
，
2
，
3
}
，
B=
{
x
|
（
x
+
1
）
（
x
﹣
2
）＜
0
，
< br>x
∈
Z
}
，则
A
∪
B
等于（
）
A
．
{
1
}
3
}
，解得﹣
3
＜
m<
/p>
＜
1
．
B
．
{
1
，
2
}
C
．
{
0
，
1
，
2
，
3
}
D
．
{
< br>﹣
1
，
0
，
1
，
2
，
【考点】
1D
：并集及其运算．
【专题】
11
：计
算题；
35
：转化思想；
4O
：定义法；
5J
：集合．
【分析】
先求出集合
A
，
B
，由此利用并集的定义能求出
A
∪
B
的值．
【解答】
解：∵集合
A=<
/p>
{
1
，
2
，
3
}
，
8
B=
{
x
|
（
x
+
1
）
（
x
﹣
2
）＜
0
，
x
∈
Z
}
=
{
0
，
1
}
，
∴
A
∪
B=
{
0
，
1
，
2
，
3
}
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，
注意并集定义的
合理运用．
3
．
（
5
分）已知向量
=
（
1
，
m
）<
/p>
，
=
（
3
，﹣
2
）
，且（
+
）⊥
，则
m=<
/p>
（
）
A
．﹣
8
B
．﹣
6
C
．
6
D
．
8
【考点】
9H
：平面向量的基本定理．
【专题】
11
：计算题；
35
：转化思想；
4R
：转化法；
5A
：平面向量及应用．
【分析】
求出
向量
+
的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于
m
的方程，
解得答案．
【解答】
解：∵向量
=
（
1
，
m
）
，
=
（
3
，﹣
2
）
，
∴
+
=
（
4
，
m
﹣
2
）
，
又∵（
+
）⊥
，
∴
12
﹣
2
（
m
< br>﹣
2
）
=0
，
解得：
m=8
，
故选：
D
．
【点评】
本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，
属于基础题．
< br>4
．
（
5
分）
圆
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣
8y
+
13
=0
的圆心到直线
ax
+
y
﹣
1=0
的距离为
1
，
则
a=
（
）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
2
【考点】
IT
：点到直线的距离公式；
J9
：直线与圆的位置关系．
【专题】
35
：转
化思想；
4R
：转化法；
5B
：直线与圆．
【分析】
求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
9
【解答】
解：圆
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣
8y
+
13=0
的圆心坐标为：
（
1
，
4
）
，
故圆心到直线
ax
+
y
﹣
1=0
的距离
d=
解得：
a=
故选：
A
．
【点评】
< br>本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
5
．
（
5
分）如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红
会合，再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到
老年公寓可以选择的最短路径条
数为（
）
，
=1
，
A
．
24
B
．
18
C
．
12
D
．
9
【考点】
D2
：分步乘法计数原理；
D9
：排列、组合及简单计数问题．<
/p>
【专题】
12
：应用题；
34
：方程思想；
49
：综合法；
5O
：排列组合．
【分析】
从
E
到
F
最短的走法，
无论怎
样走，
一定包括
4
段，
其中
2
段方向相同，
另
2
段方向相同，每种最短走法，即是从
4
段中选出
2
段走东向的，选出
2
段走北向的，
由组合数可得最短的走法，
同理从
F
到
G
，
最短的走法，
有
C<
/p>
3
1
=3
种走法
，利用乘法原理可得结论．
【解答】
解：从
E
到
F
，每条东西向的街道被分成
2
段，每条南北向的街道被分
成
2
段，
从
E
到
F
最短的走法，无论怎样走，一定包括
4
段，其中
2
段方向相同，另
2
段
方向相同，
每种最短走法，即是
从
4
段中选出
2
段走东向的，选出
2
段走北向的，故共有
C
4
2
C
2
2
=6
种走法．
同理从
F
到
G
，最短的走法，有
C
3
1
C
2
2
=3
种走法．
10
∴小明到老年公寓可以选择的最短
路径条数为
6
×
3=18
种走法．
故选：
B
．
【点评】
本题考查排列组合的简单应用，
得出组成矩形的条件和最短走法是解决
问题的关键，属基础题
6
．
（
5
分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几
何体的三视图，则该几何体的表面
积为（
）
A
．
20π
B
．
24π
C
．
28π
D
．
32π
【考点】
L!
：由三视图求面积、体积．
【专题】
15
：综合题；
35
：转化思想；<
/p>
49
：综合法；
5F
：空间位置关系与距离．
【分析】
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是
4
，圆
锥的高是
2
，在轴截面中圆锥
的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是
4
，圆柱的高是
4
，
做出圆柱的表面积，
注意不包括重合的平面．
【解答】
解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是
4
，圆锥的高是
2
∴在轴截面中圆锥的母线长是
< br>∴圆锥的侧面积是
π
×
2
×
4=8π
，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是
4
，圆
柱的高是
4
，
∴圆柱表现出来的表面积是
π
×
2<
/p>
2
+
2π
×
2
×
4=20π
∴空间组合体的表面积是
28π
，
故选：
C
．
=4
，
，
11
【点评】
本题考查由三视图求表面积
，
本题的图形结构比较简单，
易错点可能是
两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
7
．
（
5
分）若将函数
y=2sin2x
的图象向左平移
的对称轴为（
）
A
．
x=
C
．
x=
个单位长度，则平移后的图
象
﹣
﹣
（
k<
/p>
∈
Z
）
（
k
∈
Z
）
B
．
x=
D
．
x=
+
+
（
k
∈
Z
）
（
k
∈
Z
）<
/p>
【考点】
H6
：正弦函数的奇偶性和对称性；
H
J
：函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的图象变
换．
【专题】
35
：转化思想；
49
：综合法；
57
：三角函数的图像与性质．
【分析】
利用函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象的变换及正弦函数的对
称性可得答案．
【解答】
解：
将函数
y=2sin2x
的图象向左平移
=2sin
（
2x
+
由
2x
+
=kπ
+
）
，
（
k
∈
Z
）得：
x=
+
+
（
k
∈
Z
）
，
（
k
∈
Z
）
，
个单位长度，
得到
y=2sin2
（
x
+
）
即平移后的图象的对称轴方程为
x=
故选：
B
．
【点评】<
/p>
本题考查函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）
（
A
＞
0
< br>，
ω
＞
0
）的图象的变换规律的应用
及正弦函数的对称性质，属于中档题．
8
．
（
5
分）中国古代有计算多项式值的
秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的
x=2
，
n=2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输
出的
s=
（
）
12
A
．
7
B
．
12
C
．
17
D
．
34
【考点】
EF
：程序框图．
【专题】
11
：计算题；
28
：操作型；
< br>5K
：算法和程序框图．
【分
析】
根据已知的程序框图可得，
该程序的功能是利用循环结构计
算并输出变
量
S
的值，模拟程序的运行
过程，可得答案．
【解答】
解：∵输
入的
x=2
，
n=2
< br>，
当输入的
a
为
2
时，
S=2
，
k=1
，不满足退出循环的条件；
当再次输入的
a
为
2
时，
S=6
，
k=2
，不满足退出循环的条件；
当输入的
a
为
5
时，
S=17
，
k=
3
，满足退出循环的条件；
故输出的
S
值为
17
，
故选：
C
．
【点评】
本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有
规律可循时，可
采用模拟程序法进行解答．
9
．
（
5
分）若
cos
（
A
．
13
﹣
α
）
=
，则
si
n2α=
（
）
B
．
C
．﹣
D
．﹣
【考点】
GF
：三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】
36
：整体思想；
4R<
/p>
：转化法；
56
：三角函数的求值．
【分析】
法
1°
：利用诱导公式化
sin2α=cos
（
得答案．
法
°
：
利用余弦二倍角公式将左边展开，
可以得
sinα
+
cosα
的值，
再平方，
即得
s
in2α
的值
【解答】
解：法
1°
：∵
cos
（
∴
sin2α=cos
< br>（
法
2°
：∵
< br>cos
（
∴
（
< br>1
+
sin2α
）
=
∴
sin2α=2
×
故选：
D
．
【点评】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，
熟练掌握诱导公式化与二倍
角的余弦是关键，属于中档题．
10
．
（
5
分）从区间
< br>[
0
，
1
]
随机抽取
2n
个数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，
y
1<
/p>
，
y
2
，
…
，
y
n
构成
n
个数对（
x
1
，
y
1
）
，
（
x
2
，
y
2
）
…
（
x
n
，
y
n
）<
/p>
，其中两数的平方和小于
1
的数对共
有
m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π
的近似值为（
）
A
．
﹣
2α
）
，再利用
二倍角的余弦可
﹣
α
）
=
，
﹣
α
）
=2cos
2
（
﹣
α
）﹣
< br>1=2
×
﹣
1=
﹣
，
﹣
2α
）
=cos2
（
﹣
α
）
=
< br>，
，
（
sinα
+
cosα
）
=
，
< br>﹣
1=
﹣
B
．
C
．
D
．
【考
点】
CF
：几何概型．
【专题】
11
：计算题；
3
4
：方程思想；
49
：综合法；
5I
：概率与统计．
【分析】
以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率
π
的近似值．
【解答】
解：由题意，两数的平方和小于
1
，对应的区域的面积为
π•1
2
，从区
间
[
0
，
1
】随机抽取
2n
个数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，
y
1
，
y
2
，
…
，
y
n
< br>，
构成
n
个数对（
x
1
，
y
< br>1
）
，
（
x
2
，
y
2
）
，
…
，
（
x
n
，
y
n
）
，对应的区域的
面积为
1
2
．
14
∴
=
∴
π=
．<
/p>
故选：
C
．
【点评】
古典概型和几何概型是我们
学习的两大概型，
古典概型要求能够列举出
所有事件和发生事件
的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率
的值是通过长度、面积和体积的比
值得到．
11
．
（
5
分）已知
F
1
，
F
2
是双曲线
E
：
﹣
=1
的左，右焦点，点
M
在
E
上，
MF
1
与
x
轴垂直，
sin
∠
MF<
/p>
2
F
1
=
，则
E
的离心率为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
【考点】
KC
：双曲线的性质．
【专题】
31<
/p>
：数形结合；
44
：数形结合法；
5D
：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】
由条件
MF
1
⊥
MF
2
，
sin
∠
MF
2
F
1
=
，
列出关系式，从而可求离心率．
【解答】
解：由题意，
M
为双曲线左支上的点，
15