2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(二试)(word版)
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2016
年全国高中数学联合竞赛
加试
2
2<
/p>
一、
（本题满分
40
分）
设实数
a
1
< br>,
a
2
,
…
,
a
2016
满足
9
a
i
11
a
i
2
…
。
求
,<
/p>
2015
)
(
a
a
)(
a<
/p>
a
(
i
1
,
2
,
1
2
2
3
)
…
1
2
(
a
2015
a
2016
)(
a
2016
a
1
2
)
的最大值。
2
2
2
解：令
P
(
a
1
a
2
)(
a
< br>2
a
3
)
…
(
a
2
015
a
2016
< br>)(
a
2016
a
1
2
)
< br>，
由已知得，对
i
1
,
2
,
…，
2015
，均有
a
i
a
i
1
2
若
a
2016
a
1
< br>0
，则
P
0
。……………
10
分
2
11
2
a
i
1
< br>
a
i
2
1
0
。
9
2
以下考
虑
a
2016
a
1
0
的
情况。约定
a
2017
a
1
。由平均不等式得
<
/p>
1
2016
2016
1
2016
1
2016
2
(
a
i
a
i
1
)
(
a
i
<
/p>
a
i
2
1
)
2016
i
1
2016
i
1
i
1
P
2016
1
2016<
/p>
1
2016
2
(
a
i
a
i
)
a
i
(
1
a
< br>i
)
………………
20
分
2016
i
1
2016
i
1
i
1
1
2016
a
i
(
1
a
i
)
2
1
1
1
[
]
2016
2016
i
1
2
2016
4
4
所以
P
1
4
2016
。………………
30
分
当
a
1
a
2
…
a
2016
1
)
，
< br>此
时
时
，
上
述
不
等
式
等
号
成
立
，
且
有
9
a
i
11
a
i
2
,
2
,
…
,
2015
1
(
< br>i
1
2
P
1
4
2
016
。
综上所述，所求最大值为
1
4
2016
。………………
40
分
二、
（本题满分
40
分）如图所示，在
ABC
中，
X
，
Y
是直线
BC
上两点（
X
，
B
< br>，
C
，
Y
顺次排列）
，使得
BX
AC
CY
AB
。
设
ACX
，
ABY
的外心分别为
O
1<
/p>
，
O
2
，直线<
/p>
O
1
O
2
与
AB
，
AC
分别交于点
U
，
V<
/p>
。
证明：
<
/p>
AUV
是等腰三角形。
证法一：作
BAC
的内角平分线交
BC
于点
P
，设三角形
A
CX
和
ABY
的外接圆分别为
1
和
2
。由内角平
BP
AB
BX
AB
。由条件可得
。从而
CY
AC
CP
AC
PX
BX
BP
AB
BP
PY
CY
CP
AC
CP
即
CP
PX
BP
PY
。…………
20
分
分线的性质知，
故
P
对圆
1
和
2
的幂相等，所以
P
在
1
和
2
的根轴上。…………
30
分
于是
AP
O
1
O
2
，这表明点
U
，
V
关于直线
AP
对
称，从而三角形
AUV
是等腰三角形。…………
40
分
< br>证法二：设
ABC
的外心为<
/p>
O
，连接
OO
1
，
OO
2
。过
点
O
,
O
1<
/p>
,
O
2
，分别作
直线
BC
的垂线，垂足分别为
D
,
D
1
,
D
2
，作于点
K
。
我们证明。在直角三角形
< br>OKO
1
中，
OO
1
O
< br>1
K
sin
< br>
O
1
OK
由外心性质，
OO
1
AC
。又
OD
BC
，故
O
1
OK
ACB
。
而
D
,
D
1
分别是
BC
，
CX
的中点，所以
DD
1
<
/p>
CD
1
CD<
/p>
因此
1
1
1
CX
BC
BX
。
2
2
2
1
BX
O
1
K
DD
1
BX
2
OO
1
R
AB
sin
< br>O
1
OK
sin
ACB
AB
2
R
CY
这里
R
是
ABC
的外接圆半径。
同理
OO
2
R
。…………
10
分
< br>
AC
BX
CY
由已知条件可得
，故
OO<
/p>
1
OO
2
。…………
20
分
AB
AC
由于
O
1
O<
/p>
2
AC
，所以
AVU
9
0
°
OO
1
O
2
。同理
AUV
9
0
°
OO
2
O
1
。……
……
30
分