史上最全的初中数学知识点总结
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第一章：实数
重要复习的知识点：
一、实数的分类：
正整数
整数
零
有理数
负整数
数
有限小数或无限循环小
实数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理
数
<
/p>
1
、有理数：任何一个有理数总可以写成
的形式，
其中
p
、
q
是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2
、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方
p
q
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根，如
2
、
3
4
；特定结构的不限环无限小数，如
1.101
…
…；特定意义的数，如π、
sin
45
°等。
3
、判断一个实数的数性不能
仅凭表面上的感觉，往
往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1
、
相反数：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数
。
（
1
）实
数
a
的相反数是
-a
；
（<
/p>
2
）
a
和
b
互为相
反数
a+b=0
2
、倒数：
（
1
）实数
a
（
a
≠
0
）的
倒数是
；
（
2
）
a
和
b
互
为
倒数
ab
1
；
（
3<
/p>
）注意
0
没有倒数
3
、绝对值：
< br>（
1
）一个数
a
的绝对值有以下三种情况：
a
,
a
0
,
a
,
a
0
a
0
a
<
/p>
0
1
a
（
2
）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上
看，一
个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原
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点的距离。
（
3
）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号
里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对
值符号。
4
、
n
次方根
（
1
）平方
根，算术平方根：设
a
≥
0
，称
平方根，
a
叫
a
叫
a
的
a
的算术平方根。
<
/p>
（
2
）正数的平方根有两个，它们互为相
反数；
0
的
平方根是
< br>0
；负数没有平方根。
（
3
）立方根：
3
a
叫实数
a
的立方根。
< br>
（
4
）
一个正数有一个正的立方根；
0
的立方根是
< br>0
；
一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴
1
、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称
为数轴。原点、正方向、单
位长度是数轴的三要素。
2
、数轴上
的点和实数的对应关系：数轴上的每一个
点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴
上
的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应
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的关系。
四、实数大小的比较
1
、
在数轴上表示两个数，
右边的数总比左边的数大。
2
、正数大于
0
；负数小于
0
；正数大于一切负数
；
两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算
1
、加法：
（
1
）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝
对值相加；
（
2
）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并
用较大的绝对值减去较
小的绝对值。可使用加法交
换律、结合律。
2
、减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3
、乘法：
（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值
相乘。
（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
< br>0
，积就为
0
；
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若
n
个
非
0
的实数相乘，积的符号由负因数的个数
决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为
奇数个时，积为负。
（
3
）乘法可使用乘法交
换律、乘法结合律、乘法分
配律。
4
、除法：
（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值
相除。
（
2
）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（
3
）
0
除以任何数都
等于
0
，
0
不
能做被除数。
5
、乘方与开方：乘方
与开方互为逆运算。
6
、实数的运算
顺序：乘方、开方为三级运算，乘、
除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，
在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运
算，先算高级
的运算再算低级的运算，有括号的先
算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符<
/p>
号后运算。
六、有效数字和科学记数法
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1
、科学记数法：设
N<
/p>
＞
0
，则
N=
a
×
10
n
（
其中
1
≤
a
＜
10
，
n
为整
数）
。
2
、
有效数字：一个近似数，从左边第一个不是
0
的
数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个
数的有效数字。精确度的形式
有两种：
（
1
）精确到
那一位；
（
2
）保留几个有效
数字。
例题：
例
1
、已知实数
a
、
b
在数轴上的对应点的位置如图
所示，且
a
b
< br>。
化简：
a
< br>
a
b
b
a
分析：从数轴上
a
、
< br>b
两点的位置可以看到：
a
＜<
/p>
0
，
b
＞
0
且
a
b
所以可得：
解：
原式
a
a
b
b
a
a
例
2
、若
a
(
)
3
,
c
的大小
。
4
3
<
/p>
分析：
a
<
/p>
(
)
3
1
；
b
1
且
b
0
；
c
＞
0
；所
3
4
3
3
4
3
b
(
)
3
,
4
< br>3
c
(
)
3
，比较
4
a
、
b
、
以容易得出：
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a
＜
b
＜
c
。
解：略
例
3
、若
a
2<
/p>
与
b
2
互为相反数，求
a+b
的值
< br>
分析：由绝对值非负特性，可知
a
2
0
,
又由题意可知：
a
2
b
2
0
所以只能是：
a
–
2=0
，
b+2=0
，即
a=2<
/p>
，
b=
–
2
，
所以
a+b=0
解：略
例
4
、
已知
a
与<
/p>
b
互为相反数，
c
与
d
互为倒数，
m
< br>的绝对值是
1
，求
a
b
cd
m
2
的值。
m
b
< br>2
0
，
解：原式
=
0
1
1
0
例
1
<
/p>
1
e
e
e
e
8
1994
0
.
125
1994
（
2
）
5
、
计算：
（
1
）
2
2
< br>
1
1994
1
2
2
解：<
/p>
（
1
）原式
=<
/p>
(
8
0
.
125
)
1994
1
1
1
1
e
e
e
< br>
e
1
（
2
）原式
=
e
e
e
e
=
e
1
2
< br>2
2
e
2
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第二章：代数式
基础知识点：
一、代数式
1
、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连
结而成的式子，叫代数式。单独一个数或
者一个字
母也是代数式。
2
、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计
算后得到的结果叫做代数式
的值。
3
、代数式的分类：
单项式
整式
< br>有理式
< br>多项式
代数式
分式
无理式
二、整式的有关概
念及运算
1
、概念
（
1
）单项式：像
x
、
7
、
2
x
2
y
，这种数与字母的
积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
单
项式的次数：一个单项式中，所有字母的指
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数叫做这个单项式的次数。
单项式的
系数：单项式中的数字因数叫单项式
的系数。
（
2
）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项
式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式的次数：
多项式里，次数最高的项的次
数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数
项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个
字母
的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫
做把多项
式按这个字母升（降）幂排列。
（
3
）同类项：所含字母相同，并且相同字母的
指数也分别相同的项
叫做同类项。
2
、运算
（
1
）整式的加减：
< br>合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果
作为系数，字母及字母的指数不变。
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去括号
法则：括号前面是“
+
”号，把括号和它
前面的“
+
”号去掉，括号里各项都不变；括号前面
是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号
里的各项都变号。<
/p>
添括号法则：括号前面是“
+
”号，括到括号里
的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的
各项都变号。
整式的
加减实际上就是合并同类项，在运算时，
如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
（
2
）整式
的乘除：
幂的运算法则：其中
m
、
n
都是正整数
同底数幂相乘：
a
< br>m
a
n
a
m
a
n
a
m
n
a
m
n
；同底数幂相除：
(
a
m
)
n<
/p>
a
mn
；
幂
的
乘
方
：
积
的
乘
方
：
(
ab
)
n
a
n
b
n
。
单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的
系数，对于相同的字母
，用它们的指数的和作为这
个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式。
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单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式
的每一项，再把所得的积相加。
多项式
乘以多项式：先用一个多项式的每一项
乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，
作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连
同它的指数作为商的一个因式
。
多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除
以这个单项，再把所得的商相加。
乘法公式：
平方差
公式：
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
b
2
；
完
全
平
方
公
式
：
< br>(
a
b
)
2
a
2
2
ab
<
/p>
b
2
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
< br>b
2
，
三、因式分解
1
、因式分解概念：把一个多项式化
成几个整式
的积的形式，叫因式分解。
2
、常用的因式分解方法：
（
1
）提取公因式法：
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
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（
2
）运用公式法：
a
2
b
2
平方差公式：
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
(
a
b
)(
a
b
)
；
完全平方公式：
（
3
）十字相乘法：
x
2
(
a
b<
/p>
)
x
ab
(
x
a
)(
x
b
)
（
4
）分组分解法：将多项式的项适当分组后能
提公因式
或运用公式分解。
（
5
）运用求根公式法：若
ax
2
bx
c
0
(
a
<
/p>
0
)
的
两个根是
x
1
、
x
2
，则有：
ax
2
bx
<
/p>
c
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
3
、因式分解的一般步骤：
（
1
）如果多项式的各项有公因式，那么先提公
因式；
（
2
）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否
运用公式或十字相乘
法；
（
3
）
对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分
解，不行的再用求根公式法。
< br>
（
4
）最后考虑用分组分解法
。
四、分式
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1
、分式定义：形如
A
的式子叫分式，其中
A
、<
/p>
B
B
是整式，且
B
中含有字母。
（
1
）分式无意义：
B=0
< br>时，分式无意义；
B
≠
0
时，分式有意义。
（
2
）分式的值为
0
：
A=0
，
B
≠
0
时，分式的值
< br>等于
0
。
（
3
）分式的约分：把一个分式的分子与分
母的
公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母
因式分解
，再约去公因式。
（
4
）最简分式：一个分式的分子与分母没有公
因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是
分式，一定要化为最简分式。
（
5
）通分：把几个异分母的分式分别化成
与原
来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（
6
）最简公分母：各分式的分母所有因式
的最
高次幂的积。
（
7
）有理式：整式和分式统称有理式。
2
、分式的基本性质：
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（
1
）
A
A
M
(
M
是
0
的整式
)
B
B
M
< br>；
（
2
）
A
A
M
(
M
是
0
的整式
)
B
B
M
（
3
）分式的变号法则：分式的分子，分母与分
式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3
、分式的运算：
（
1
）
加、
减：
同分母的分式相加减，
分母不变，
分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分
成同分母的分式再相
加减。
（
2
）乘：
先对各分式的分子、分母因式分解，
约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（
3
）除：
除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（
4
）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别
乘方。
五、二次根式
1
、二次根式的概念：式子
式。
（
1
）最简
二次根式：被开方数的因数是整数，
因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的<
/p>
a
(
a
0
)
叫做二次根
--
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二次根式叫最简二次根式。
（
2
）同类二次根式：化为最简二次根式之
后，
被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。
（
3
）分母有理化：把分母中的根号化去叫
做分
母有理化。
（
4
）有理化因式：把两个含有二次根式的代数
式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说
这两个代数式互为有理化因式（常用
的有理化因式
有：
a
与
a
；
a
b
c
d
与
a
b
c
d<
/p>
）
2
、二次根式的性质：
（
1
）
（
3
）
ab
a
(
a
)
2
a
(
a
0
)
；
（
2
）
a
2
<
/p>
a
a
a
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
；
（
4
）
(
a
<
/p>
0
)
(
a
0
)
；
a
a
(
a
0
,
b
0
)
b
b
3
、运算：
（
1
）二次根式的加减：将各二次根式化为最简
二次根式后，合并同类二次根式。
（
2
）二次根式的乘法：
≥
< br>0
）
。
a
b
a
b
（
a
≥
0<
/p>
，
b
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（
3
）二次根式的除法：
< br>a
a
(
a
0
,
b
0
)
b
b
二次根式运算的最终结果如果是根
式，要化成
最简二次根式。
例题：
一、因式分解：
1
、提公因式法：
< br>例
1
、
24
a
2
(
x
y
)
6<
/p>
b
2
(
y
x
)
分析：先提公因式，后用平方差公式
解：略
[
规律总结
]
因式分解本着先提取，
后公式等，
但
应把第一个因式都分解到不能
再分解为止，往往需
要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还
< br>能分解，应继续分解。
2
、十字相乘法：
< br>例
2
、
（
1
）
x
4
5
x
2
36
；
（
2
）
(
x
y
)
2
4
(
x
y
)
12
分析：可看成是
x
2
和
(x+y)
的二次三项式，先用
< br>十字相乘法，初步分解。
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解：略
[
规律总结
]
应用十字相乘法时，
注意某一项可是
单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还
需要连续用十字相乘法。
3
、分组分解法：
< br>例
3
、
x
3
2
x
2
x
2
分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、
第四项一组，后提取，再公式。
解：略
[
规
律总结
]
对多项式适当分组转化成基本方法
因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相
乘法或公式法解题。
4
、求根公式法：
例
4
、
x
2
5
x
5
解：略
二、式的运算
巧用公式
------
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例
5
、计算：
(<
/p>
1
1
2
1
2
)
(
1
)
a
b
a
b
分析：运用平方差公式因式
分解，使分式运算
简单化。
解：略
[
规
律总结
]
抓住三个乘法公式的特征，灵活运
用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌
握运用公式的技巧，使运算简便准
确。
2
、化简求值：
5
x
2
(
3
x
2
<
/p>
5
x
2
)
(
4
y
2
7
xy
)
，
例
6
< br>、
先化简，
再求值：
其中
x=
–
1 y
=
1
解：略
2
[
规律总
结
]
一定要先化到最简再代入求值，
注
意
去括号的法则。
3
、分式的计算：
< br>例
7
、化简
分析：–
解：略
[
规律总结
]
分式计算过程中：
（
1
）
除法转化为乘
a
5
16
(
a
3
)
2
a
6
a<
/p>
3
a
2
9
a
3
可看成
a
3
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法时，要倒转分子、分母；
（
2<
/p>
）注意负号
4
、根式计算
例
8
、
已知最简二次根式
次根式，求
b
的值。
<
/p>
分
析
：
根
据
同
类
二
次
根
式
定
义
可
得
：
2b+1=7
–
b
。
解：略
[
规律总结
]
二次根式的性质和运算是中考内容，
特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考
的主要考查内容。
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1
、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2
、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知
2
b
1
和
7
b
是同类二
------
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数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也
叫做方程的根。
3
、解方
程：求方程的解或方判断方程无解的过
程叫做解方程。
4
、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合
原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1
、一元一次方程
（
1
）一元一次方程的标准形式：
ax+b=0
（其
中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
< br>0
）
（
2
）
一玩一次方程的最简形式：
ax=b
（其中
x
是未知
数，
a
、
b
是
已知数，
a
≠
0
）
（
3
）解一
元一次方程的一般步骤：去分母、去
括号、移项、合并同类项和系数化为
1
。
（
4
）一元一次方程有唯一的一个解。
2
、一元二次方程
（
1
）一元二次方程的一般形式：
ax
2
bx
c
0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
、
c
是已知数，
a
≠
0
）
------
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（
2
）一元二次方程的解法：
直接开平方法、
配方法、公式法、因式分解法
（
3
）一元
二次方程解法的选择顺序是：先特殊
后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（
4
）一元
二次方程的根的判别式：
b
2
4
ac
当Δ＞
0
时
方程有两个不相等的实数根；
当Δ
=0
时
方程有两个相等的实数根；
当Δ
< 0
时
方程没有实数根，无解；
当Δ≥
0
时
方程有
两个实数根
（
5
）一元二次方程根与系数的关系：
若
x
1
,
x
2
是一元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两个根，
那么：
x
1
x
2
，
x
1
x
2
（
6
）以两个数
x
1
,
x
2
为根的
一元二次方程（二次
项系数为
1
）是：
x
2
(
x
1
x
2
)
x
x
1
x
2
< br>
三、分式方程
（
1
）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式
方程。
（
2
）分式方程的解法：
0
b
a
c
a
------
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一般解法：去分母法，方程两边都
乘以最简公
分母。
特殊方法：换元法。
（
3
）检验方法：一般把求得的未知数的值代入
最简公分母，使最简公分母不为
0
的就是原方程的
根；使得最简公分母为
0
的就是原方程的增根，增
根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方
程检验。
四、方程组
1
、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做
方程组的解。
2
、解方
程组：求方程组的解或判断方程组无解
的过程叫做解方程组
3
、一次方程组：
（
1
）二元一次方程组：
< br>
一般形式：
a
1
x
b
1
y
c
1
（
a
1
,
a
2
,
b
1
,
< br>b
2
,
c
1
,
c
2
不
全为
a
x
b
y
c
2
2
2
0
）
解法：代入消远法和加减消元法
解的个
数：有唯一的解，或无解，当两个方程
------
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相同时有无数的解。
（
2
）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法
4
、二元二次方程组：
（
1
）定义：由一个二元一次方程和一个二
元二
次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成
的方程组
叫做二元二次方程组。
（
2
）解法：消元，转化为解一元二次方程，或
者降次，转化为二元一次
方程组。
考点与命题趋向分析
例题：
一、一元二次方程的解法
例
1
、解下列方程：
（
1
）
(
x
3
)
2
2
；
< br>（
2
）
4
(
x
3
)
2
25
(<
/p>
x
2
)
2
1
2
2
x
2
3
x
1
；
（
3
）
分析：
（
1
）用直接开方法解；
（
2
）用公式法；
（
3
）
用因式分解法
解：略
------
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[
规律总结
]
如果一元二次方程形如
(
x
m
)
2
n
(
n
< br>0
)
，
就可以用直接开方法来解
；利用公式法可以解任何
一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次
方程时，一定要把方程化成一般形式。
例
2
、解下列方程：
x
2
a
(
3
x
2
a
b
)
0
(
x
< br>为未知数
)
；
x
2
2
ax
< br>
8
a
2
（
1
）
（
2
）
0
分析：
（
1
）先化
为一般形式，再用公式法解；
（
2
）<
/p>
直接可以十字相乘法因式分解后可求解。
解：略
[
规
律总结
]
对于带字母系数的方程解法和一般的方
程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正
负。
二、分式方程的解法：
例
3
、解下列方程：
x<
/p>
2
2
6
x
2
1
5
1
（
2
）
；
（
2
）
x
x
2
<
/p>
2
1
x
2
x
1
分析：
（
1
）用去分母的
方法；
（
2
）用换元法
解：略
[
规律总结
]
一般的分式方程用去分母法来解，
一些具
------
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-----
有特殊关系如：有
平方关系，倒数关系等的分式方
程，可采用换元法来解。
三、根的判别式及根与系数的关系
例
4
、
已知关于
x
的方程：
(
p
1
)
x
2
2
px
<
/p>
p
3
0
有两
个相等的实数根，求
< br>p
的值。
分析：由题意可得<
/p>
=0
，把各系数代入
< br>
=0
中就可
求出
p
，但要先化为一般形式。
解：略
[
规
律总结
]
对于根的判别式的三种情况要很熟练，
还
有要特别留意二次项系数不能为
0
例
5
、已知
a
、
b
是方程
x
2
下列各式的值：
（
1
）
a
2
b
2
；
（
2
）
分析：先算出
a+b
和
ab
的值，再代入把（
1
）
（
2
）
变形后的式子就可求出解。
[
规律总结
]
此类题目都是先算出两根之和和两
根之
积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之
积的形式
，再代入计算。但要注意检验一下方程是
1
a
< br>1
b
2
x
1
0
的
两个根，求
------
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-----
否有解。
例
6
、
求作一个一元二次方程，
使它的两
个根分别比
方程
x
2
< br>
x
5
0
的两个根小
3
分析：
先出求原方程的两根之和
x
1
x
2
和两根之积
x
1
x
2
再代入求出
(
x
1
3
)
(
x
2
2
)
和
(<
/p>
x
1
3
)(
x
2
3
)
的值，
所求的
方程也就容易写出来。
解：略
[
规
律总结
]
此类题目可以先解出第一方程的两个解，
但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简
单。
三、方程组
例
< br>7
、解下列方程组：
x
y
2
z
1
2
x
3
y
3
（
1
）
；
（
2
）
2
x
y
z
5
x
< br>
2
y
5
x
y
3
z
4
分析：
（
1
）用加减消元法消
x
较简单；
（
2
< br>）应该先
用加减消元法消去
y
，
变成二元一次方程组，
较易求
解。
解：略
---
---
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[
规律总结
]
加减消元法是最常用的消元方法，
消元时
那个未
知数的系数最简单就先消那个未知数。
例
8
、解下列方程组：
2
2
x
y
7
< br>
3
x
xy
4
y
3
x
4<
/p>
y
0
（
1
）
；
（
2
）
2
2
xy
12
x
y
25
分析：
（
1
）可用代入消远法，也可用根与系数的关
系来求解；
（
2
）
要先把第一个方程因式分解化成两
个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方
程组来解。
解：略
[
规
律总结
]
对于一个二元一次方程和一个二元二次
方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二
元二次方程组成的方程组，一
定要先把其中一个方
程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成
< br>两个方程组来求解。
第四章：列方程（组）解应用题
--
----
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知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1
、审题：
2
、设未知数；
3
、找出相等关系，列方程（组）
；
4
、解方程（组）
< br>；
5
、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等
量关系；
1
、工程问题
（
1
）基本工作量的关系：工作量
=
工作效率×
工作时间
（
2
）常见的等量关系：甲的工作量
+
乙的工作
量
=
甲、乙合作的工作总量
（
3
）注意：工程问题常把总工程看作“
1<
/p>
”
，水
池注水问题属于工程问题
2
、行程问题
------
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-----
（
1
）基本
量之间的关系：路程
=
速度×时间
（
2
）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程
+
乙走的路程<
/p>
=
全路程
追及问题（设甲速度快）
：
同时不同地：
甲的时间
=
< br>乙的时间；
甲走的路程
–乙走的路程
=
原来甲、乙相距路程
同地不
同时：甲的时间
=
乙的时间–时间差；甲
的路程
=
乙的路程
3
、水中航行问题：
顺流速度
=
船在静水中的速度
+
水流速度；
逆流速度
=
船在静水中的速度–水流速度
4
、增长率问题：
< br>常见等量关系：增长后的量
=
原来的量
< br>+
增长的
量；增长的量
=
原来的量×（
1+
增长率）
< br>；
5
、数字问题：
基本量之间的关系：三位数
=
个位上的数
< br>+
十位
上的数×
10+
百位上的数×
100
三、列方程解应用题的常用方法
--
----
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-----
1
、译式法：就是将题目中的关键性语言或数
量
及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间
的内在联系
找出等量关系。
2
、线示法：就是用
同一直线上的线段表示应用
题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，
找出等量关系。
3
、列
表法：就是把已知条件和所求的未知量纳
入表格，从而找出各种量之间的关系。
4
、图示法：就是利用图表示题中的数量关系
，
它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能
帮助我们更
好地理解题意。
例题：
例
1
、甲、乙两组工人合作完成一项工程，
合作
5
天后，甲组另有任务，由乙组再
单独工作
1
天就可完成，
若单独完成这
项工程乙组比甲组多用
2
天，求甲、乙两组单独完成这项工程各
需几天？
分析：
设工作总量为
1
，
设甲组单独完成工程需
< br>要
x
天，则乙组完成工程需要
(
x+2)
天，等量关系是
------
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甲组
5
天的工作量
+
乙组
6
天的工作量
=<
/p>
工作总量
解：略
例
2
、某部队奉命派甲连跑步前往
90
千米
外的
A
地，
1
小时
45
分后，因任务需要，又增派乙连乘
车前往支援，
已知乙连比甲连每小时快
28
千米，
恰
好在全程的
处追上甲
连。
求乙连的行进速度及追上
甲连的时间
分析：设乙连的速度为
v
千米
/
小时，追上甲连
的时间为
t
小时，则甲连的速度为（
v
–
28
）千米
/
小
时，这时乙连行了
(
t
)
小时，其等量关系为：甲走
< br>的路程
=
乙走的路程
=30
解：略
例
3
、
某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备
60
台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的
台数比
原计划多
50%
，结果提前
2
天完成任务，求
改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？
分析：设原计划每天生产通讯设备
x
台，则改
进操作技术后每天生产
x
< br>（
1+0.5
）
台，
等量关系为：
7
4
1
3
------
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原计划所用时间–
改进技术后所用时间
=2
天
解：略
例
4
、某商厦今年一月份销售额为
60
万元
，二
月份由于种种原因，经营不善，销售额下降
10%
，
以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销
售额增加到
96
万元，
求三、
四月份平均每月增长的
百分率是多少？
<
/p>
分析：设三、四月份平均每月增长率为
x%
，二
月份的销售额为
60
（
1
–
10%
）万元，三
月份的销售
额为二月份的
（
1+x
）
倍，
四月份的销售额又是三月
份的（
1+x
）倍，所以四月份的销售额为二月份
的
（
1+x
）
2
倍，等量关系为：四月份销售额为
=96
万
元。
解：略
例
5
、一年期定期储蓄年利率为
2.25%
，所得
利息要交纳
20%
的利息税，<
/p>
例如存入一年期
100
元，
到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：
税
后
利
息
-----
-
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----
=
100
2
.
25
%
< br>
100
2
< br>.
25
%
20
%
100
< br>
2
.
25
%(
1
20
%)
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税
后得到利息是
450
元，问该储户存入了多少
本金？
分析：设存入
x
元本金，则一年期定期储蓄到
期纳税后利息为
2.25%(
1-20%)x
元，
方程容易得出。
例
6
、
某商场销售
一批名牌衬衫，
平均每天售出
20
件，
每件盈利
40
元，为了扩大销售，增加盈利，
< br>减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经
调查发现，如果每件衬衫每降价
1
元，商场平均每
天可多售出
2
件。若商场平均每天要盈利
1200
元，
每件衬衫应降价多少元？
分析：设每件衬衫应该降价
x
元，则每件衬
衫
的利润为
（
40-x
）
元，
平均每天的销售量为
（
20+2x
）
件，由关系式：
总利润
=
每件的利润
×售出商品的叫量，可列出方程
解：略
------
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第五章：不等式及不等式组
知识点：
一、不等式与不等式的性质
1
、不等式：表示不等关系的式子。
（表示不等
关系的常用符号：≠，＜，＞）
。
2
、不等式的性质：
（
l
）
不等式的两
边都加上（或减去）同一个数，
不等号方向不改变，
如
a
＞
b
，
c
为实数
a
＋
c
＞
b
＋
c
（
2
）
不等式两边都乘以
（或除以）
同一个正数，
不等号方向不变，如
a
＞
b
，
c
＞
0
ac
＞
bc
。
（<
/p>
3
）
不等式两边都乘以
< br>（或除以）
同一个负数，
不等号方向改变，如
a
＞
b
，
c
＜
0
ac
＜
bc.
注：在
不等式的两边都乘以（或除以）一个实
数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数
性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，
不能像应用
等式的性质那样随便，以防出错。
------
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-----
3
、任意两个实数
a
，
b
的大小关系（三种）
：
（
1
）
a
–
b
＞
0
a
＞
b
（
2
）
a
–
b=0
a=b
（
3
）
a
–
b
＜
0
a
＜
b
4
、
（
1
）
a
＞
b
＞
0
a
< br>b
（
2
）
a
＞
b
＞
0
a
2
b
2
< br>
二、不等式（组）的解、解集、解不等式
1
、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个
值叫做这个不等式（组）的一个解。
不等式
的所有解的集合，叫做这个不等式的解
集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做
不等式组的解集。
2
．求不等式（组）的解集的过程叫
做解不等式
（组）
。
三、不等式（组）的类型及解法
1
、一元一次不等式：
（
l
）概念：含有一个未知数并且含未知数
的项
------
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-----
的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（
2
）解法：与解一元一次方程类似，但要
特别
注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，
不等号
方向要改变。
2
、一元一次不等式组：
（
l
）概念：含有相同未知数的几个一元一
次不
等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
（
2
）解法：先求出各不等式的解集，再确
定解
集的公共部分。
注：求
不等式组的解集一般借助数轴求解较方
便。
例题：
方法
1
：利用不等式的基本性质
1
、判断正误：
（
1
）若
a
＞
b
，
c
为实数，则
ac
2
＞
bc
2
；
（
2
）若
ac
2
＞
bc
2
，则
a
＞
b
分析：
在
（
l
）
中，
若
c=0<
/p>
，
则
ac
2
=
bc
2
；
在
（
2
）
中，
因为”
＞”
，
所以。
C
≠
0
，
否则应有
ac<
/p>
2
=
bc
2
故
---
---
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a
＞
b
解：略
［规律
总结］将不等式正确变形的关键是牢记
不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除
以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。
方法
2<
/p>
：特殊值法
例
2
、若
a
＜
b
＜
0
，那么下列各
式成立的是
（
）
A
、
B
、
ab
＜
0
C
、
1
D
、
a
1
b
1
a
1
b
a
b
< br>
分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为
答案在一般情况下成立，当然特殊情况也
成立，因
此采用特殊值法。
解：<
/p>
根据
a
＜
b
＜
0
的条件，
可取
a=
–
2
，
b=
–
l
，
代入检
验，易知
1
，所以选
D
[
规律总结］此种方法常用于解选择
题，学生知
识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又
能
找到符合条件的答案。
a
b
------
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方法
3
：类比法
例
3
、
解下列一元
一次不等式，
并把解集在数轴
上表示出来。
（
1
）
8
–
2
（
x
＋
2
）＜
4x
–
2
；
（
2
）
1
< br>x
1
x
1
2
2
3
分析：
解一元一次不等式的步骤与解一元一次
方程类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合
并同类项，
把系数化成
1
，
需要注意的是，
不等式的
两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方
向。
解：略
[
规律总
结］解一元一次不等式与解一元一次方
程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或
除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比
法解题，使学
生容易理解新知识和掌握新知识。
方法
4<
/p>
：数形结合法
例
数解
<
/p>
2
(
x
8
)
10
4
(
x
3
)
4
< br>、
求不等式组：
的非负整
x
1
6
x
7
1
< br>3
2
------
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分析：要求一个不等式组的非负整数解，就应
先求出不等式组的解集
，再从解集中找出其中的非
负整数解。
解：略
方法
5<
/p>
：逆向思考法
例
5
、已知关于
x
的
不等式
(
a
2
)
x
10
a
的解集
是
x
＞
3
，求<
/p>
a
的值。
分析：
因为关于
x
的不等式的解集为
x
＞
3
，与
原不等式的
不等号同向，所以有
a
–
2 >0
，即原不
等式的解集为
x
值。
解：略
[
规律总
结
]
此题先解字母不等式，
后着眼已知
的
解集，探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思
考法来解。
10
a<
/p>
10
a
，
3
解此方程求出
a
2
a
<
/p>
2
a
的
----
--
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第六章：函数及其图像
知识点：
一、平面直角坐标系
1
、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，
构成平面直角坐标系。在平面直
角坐标系内的点和
有序实数对之间建立了—一对应的关系。
2
、不同位置点的坐标的特征：
（
1
）各象限内点的坐标有如下特征：
点
P
（
x,
y
）在第一象限
x
＞
0
，
y
＞
0
；
点
P
（
x,
y
）在第二象限
x
< br>＜
0
，
y
＞
0
；
点
P
（
x,
y
）在第三象限
x
< br>＜
0
，
y
＜
0
；
点
P
（
x,
y
）在第四象限
x
< br>＞
0
，
y
＜
0
。
（
2
）坐标轴上的点有如下特征：
点
P
（
x,
y
）在
x
轴上
y
为
0
，<
/p>
x
为任意实数。
点
P
（
x
，
y
）
在
y
轴上
x
为
0
，
y
为任意实数。
3
．点<
/p>
P
（
x,
y
）坐标的几何意义：
（
1
）点
P
（
x, y
）到
x
轴的距离是
| y |
；
（
2
）点
P
（
x, y
）到
y
袖的距离是
| x |
；
------
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----
-
（
3
）点
P
（<
/p>
x, y
）到原点的距离是
x
2
y
2
4
．关于坐标轴、原点对称的点的坐
标的特征：
（
1
）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P
1
(
a
,
b
)
；
<
/p>
（
2
）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P
2
< br>(
a
,
b
)
；
（
3
）
点
P
（
a, b
）
关于原点
的对称点是
P
3
(
a
,
b
)
；
二、函数的概念
1
、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同
数值的量叫做变量；保
持数值不变的量叫做常量。
2
、函数
：一般地，设在某一变化过程中有两个
变量
x
< br>和
y
，如果对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的
值与它对应，那么就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数。
（
1
）自变量取值范围的确是：
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，
自变量取值范围是全体实数。
②解析
式是只含有一个自变量的分式的函数，
自变量取值范围是使分母不为
0
的实数。
③解析
式是只含有一个自变量的偶次根式的函
数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。<
/p>
------
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注意：
在确定函数中自变量的取值范围时，如
果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。
（
2
）函数
值：给自变量在取值范围内的一个值
所求得的函数的对应值。
（
3
）函数的表示方法：①解析法；②列表
法；
③图像法
（
4
）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤
是：①列表；②描点；③连线
三、几种特殊的函数
1
、一次函数
------
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-----
直线位置与
k
，
b
的关系：
（
1
）
k
＞
0
直线向上的方向与
x<
/p>
轴的正方向所形
成的夹角为锐角；
（
2
）
k
＜
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形
成的夹角为钝角；
（
3
）
b
＞
0
直线与
y
轴交点
在
x
轴的上方；
（
4
）
b
＝
0
直线过原点；
< br>（
5
）
b
＜
0
直线与
y
轴交点在
x
轴的下方；
2
、二次函数
------
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-----
抛物线位置与
a
，
b
，
c
的关系：
（
1
）
a
决定抛物线的开口方向
a
0
开口向上
< br>a
0
开口向下
（
2
）
c
决定抛物线与
y
轴交点的位置：
c>0
图像与
y
轴交点在
x
轴上方；
c=0
图
像过原点；
c<0
图像与
y
轴交点在
x
轴下方；
（
3
）
a
，
b
决定抛物线对称轴的位置：
a
，
b
同
号，对称轴在
y
轴左侧；
b
＝
0
，对称轴是
y
轴；
a
，
b
异号。
对称轴在
y
轴右侧；
3
、反比例函数：
< br>------
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4
、正比
例函数与反比例函数的对照表：
例题：
例
1
、
正比例函数图象与反比例函数图象都经过
点
P
（
m
，<
/p>
4
）
，已知点
P
到
x
轴的距离是到
y
轴的距离
2
倍
< br>.
⑴求点
P
的
坐标
.
；
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。
------
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分析：由点
P
到
x
轴的距离是到
y
轴的距离
2
倍可知：
2|m|
=4
，易求出点
P
的坐标，再利用待定
系数法可求出这正、反比例函数的解析式。
解：略
例
2
、已知
a
，
b
是常数，且
y+b
与
x+a
成正
比例
.
< br>求证：
y
是
x
< br>的一次函数
.
分析：应写出
y
+b
与
x+a
成正比例的表达式，
然后判断所得结果是否符合一次函数定义
.
证明：由已知，有
y+b=k(x+a)
，其中
k
≠
0.
整理，得
y=kx+(ka
－
b).
①
因为
k
≠
0
且
ka
－
b
是常数，故
y=kx+(ka
－
b)
是
x
的一次函数式
.
例
3
、填空：如果直线方程
ax+by+c=0
中，
a
＜
0
，
b
＜
0
且
bc
＜
0
，
则此直线经过第
__
______
象限
.
c
b
a
a
c
< br>0
，
b
＜
0
，所以
0
,
0
，
又
bc
＜
0
，
即
＜
0
，故－
b
b
b
c
a<
/p>
＞
0.
相当于在一次函数
y=kx+l
中，
k=
－
＜
0
，
l=
b
b
c
c
－
＞
0
，
此直线与
y
轴的交点
(0
，
－
)
在
x
轴上方
.
b
b
分析：先把
ax+by+c=0
化为
x
.
因为
a
＜
< br>a
b
------
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-----
且此
直线的向上方向与
x
轴正方向所成角是钝角，
< br>所以此直线过第一、二、四象限
.
例
4
、把反比例函数
y=
与二次函数
y=kx
2
(k
≠
0)
画在同一个坐标系里，正确的是
(
).
答：
选
(D).
这
两个函数式中的
k
的正、
负号应相同<
/p>
(
图
13
－
110).
k
x
例
5
、画出
二次函数
y=x
2
-6x+7
的图象，根据
图象回答下列问题：
（
1
）当
x=-1
，
1
，
3
时
y
的值是多少？
（
2
）当
y=2<
/p>
时，对应的
x
值是多少？
（
3
）
当
x
＞
3
时，
随
x
值的增大
y
的值怎样变化？
（
4
）当
x
的值由
3
增加
1
时，对应的<
/p>
y
值增加
多少？
------
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-----
分析：要画出这个二次函数的图象，首先
用配方
法把
y=x
2
< br>-6x+7
变形为
y=
（
x-3
）
2
-2
，确定抛物
线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描
点、画图．
解：图象略．
例
6
、拖拉机开始工作时，油箱有油
45
升，如
果每小时耗油
6
升．
（
1
）求油箱中的余油量
Q
（升）与工作时间
t
（时）之间的函数关系式；
（
2
）画出函数的图象．
<
/p>
答：（
1
）
Q=
45-6t
．
（
2
）图象略．注意：这是实际问题，图象只能
由自变量
t
的取值范围
0
≤
t
≤
7.5
决
定是一条线段，
而不是直线．
第七章：统计初步
------
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----
-
知识点：
一、总体和样本：
在统计
时，我们把所要考察的对象的全体叫做
总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取
的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的
数目叫做样本
容量。
二、反映数据集中趋势的特征数
1
、平均数
（
1
）
x
1
,
x
2
,
x
3
,
< br>,
x
n
的平均数，
x
(
x
< br>1
x
2
x
n
)
x
1
出现
f
1
次，
（
2
）
加权平均数：
如果
n
个数据中，
1
n
x
< br>2
出
现
f
2
次
，
…
…
，
x
k
出
现
f
k
次
（
这
里
f
1
f
2
< br>
f
k
n
）
，
则
x
1
(<
/p>
x
1
f
1
x
2
f
2
x
k
f
k
)
n
（
3
）平均数的简化计算：
当一组
数据
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
中各数据的数值较大，
并且都与常数
a
接近时，
设
x
1
a
,
x
2
a
,
x
3
a
,
,
x
n
a
的<
/p>
平均数为
x
'
则
：
x
x
'<
/p>
a
。
2
、
中位数：
将一
组数据接从小到大的顺序排列，
处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，