初中数学函数知识点归纳(1)
-
初中函数知识
函数知识点总结
< br>(
掌握函数的定义、性质和图像
)
平面直角坐标系
1
< br>、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系
2
、各个象限内点的特征
:
第一象限：
（
+
，
+
）
点
P
（
x,y
）
，则
x
＞
0
,y
＞
0
；
第二象限：
（
-
，
+
）
点
P
（
x,y
）
，则
x
＜
< br>0,y
＞
0
；
< br>
第三象限：
（
-
，
-
）
点
P
（
x,y
）
，则
x
＜
0,y
＜
0
；
第四象限：
（
+
，
-
）
点
P
（
x,y
）
，则
x
＞<
/p>
0,y
＜
0
；<
/p>
3
、坐标轴上点的坐标特征：
x
轴上的点，纵坐标为零；
y<
/p>
轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（
0 , 0
）
。两坐标轴
的点不属于任何象限。
4
、点的对称特征：已知
点
P(m,n),
关于
x
轴的对称点坐标是
(m,-n),
横坐标相同，纵坐标反号
关于
y
轴的对称点坐标是
(-m,n)
纵坐标相同，横坐标反号
关于原点的对称点坐标是
(-m,-n)
横，纵坐标都反号
5
、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
平行于
x
轴的直线上的任意两点：纵坐标相等
；
平行于
y
轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6
、各象限角平分线上的点的坐标特征：
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7
、点
P<
/p>
（
x,y
）的几何意义：
点
P
（
x,y
）到
x
轴的距离为
|y|
，
1
初中函数知识
点
P
（
x,y
）到
< br>y
轴的距离为
|x|
。
点
P
（
x,y
）到坐标原点的距离为
8
、两点之间的距离：
< br>X
轴上两点为
A
(
x
1
,
0
< br>)
、
B
(
x
2
,
0
)
|AB|
|
x
2
x
1
|
Y
轴上
两点为
C
(
0
,
y
1
)
、<
/p>
D
(
0
,
y
2
)
|CD|
x
2
y
2
|
y
2
y
1
|
2
< br>2
(
x
x
)
(
y
y
)
2
1
2
1
已知
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
AB|=
< br>9
、中点坐标公式：已知
A
(<
/p>
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
M
< br>为
AB
的中点
,
则：
M=(
10
、点的平移特
征：
在平面直角坐标系中，
x
2
x
1
y
y
1
,
2
)
2
2
将点（
x,y
）向右平移
a
个单位长度，可以得到对应点（
x-a
，
y
）
；
将点（
x,y
）向左平移
a
个单位长度，可以
得到对应点（
x+a
，
y
）
；
将点（
x,y
）向上平移
b
个单
位长度，可以得到对应点（
x
，
y
＋
b
）
；
将点（
x,y
）向下
平移
b
个单位长度，可以得到对应点（
x
，
y
－
b<
/p>
）
。
注意：对
一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，
从图形上点
的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
函数的基本知识
：
基本概念
1
、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取
同一数值的量。
2
、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
和
y
，并且对于
x
的每一个确定的
值，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把
x
称
为自变量，把
y
称为因变量，
y
是
x
的函数。
*
判断
A
是否为
B
的函数，只要看
B
取值确定的时候，
A
是否有唯一确定的值与之对
应
3
、
定义
域和值域：
定义域：
一般的，一个函
数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
值域：
一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。
2
初中函数知识
4
、确定函数定义域的方法：
（
1
）关
系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（
2
）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（
3
）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（
4
）关
系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（
5
）实际问题中，函数定义域还要和实际情况
相符合，使之有意义。
5
、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，
那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6
、
函数解
析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7
：增减性（单调性）
：增
减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减
单调增：
y
随
x
的增大而增
大
单调减：
y
随
x
的增大而减小
口诀：
“同增异减”
，
注意：单调性只适用于单调区间，即有一
个
X
只有唯一确定的
y
与之对应时。
8
、描点法画函数图形的一般步骤
<
/p>
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）
；<
/p>
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应
的函数值为纵坐标，描
出表格中数值对应的各点）
；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连
接起来）
。
9
、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数
< br>之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反
映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，
但有些实际问题中的函数关系，不能用
解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量
之间的函数关系。
3
初中函数知识
一次函数图象和性质
【知识梳理】
一、一次函数的基础知识
1
、定义
：一般地，形如
y=kx
＋
b(k,b
是常数，
k≠0
)
，那么
y
叫做
x
的一次函数
当
< br>b=0
时，
y=kx
＋
b
即
y=kx
，称为正
比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
.
一次函数的一般形式：
y=kx+b
(
k≠0
)
说明：
①
k
不为零
②
x
指数为
1
③
b
取任意实数
2
、解析式
：
y=kx+b(k
、
b
是常数，
k<
/p>
0)
3
、图
像：
一次函数
y=kx+b
的图象是经
过（
0
，
b
）
和（
-
b
k
，
0
）两点的一条直线，我们称它为直
线
y=kx+b,
< br>4
、增减性（单调性）
：
k>
0
，
y
随
x<
/p>
的增大而增大
（单调增）
；
k<0
，
y
随
x
而增大而减小
（单调减）
5
、必过点
：
（
0
，
b
）和
（
-
b
k
，<
/p>
0
）
：理由如下：
y=kx+b
中，
⑴当
x=o,
时，
y=
所以，该函数经过（
，
）点
<
/p>
⑵当
y=o,
时，
x=
所以，该函数经过（
，
）点
<
/p>
所以，一次函数
y
kx
b
的图象是必经过（
b
k
，
0
）和（
0
，
b
）两点的一条直线
.
，
注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。
6
、一次函数图像的画法：
两点法
①
计算必过点
（
0
，
b
）和（
-
b
k
，
0
）
②
描点（有小到大的顺序）
③
连线（从左到右光滑的直线）
7
、增减性
：
k>0
，
y
随
x
的增大而增大；
k<0
，
y
随
x
增大而减小
.
8
、倾斜度
(<
/p>
只与
k
相关
)<
/p>
：
|k|
越大，图象越接近于
y
轴；
|k|
越小，图象
越接近于
x
轴
.
9
、截点（与
b
有关）
：
（直线与
y
轴的交点，
该点到原点的距离
叫做截距）
①当
b>0
时直线与
y
轴交于原点上方（即
< br>y
轴的正半轴）
；
4
初中函数知识
②当
< br>b<0
时，直线与
y
轴交于原点
的下方。
（即
y
轴的负半轴）
10
、图像的上下平移（只与
b
相关）
：直线
y=kx+b
,
它可以看作由直线
y=kx
平移
|b|
个单位长度得到
.
当
b>0
时，将直线
y=k
x
的图象向上平移
b
个单位；口诀“正
上”
当
b<0
时，将直线
y=kx
的图象向下平移
b
个单位
.
口诀“负下”
例如：
y=2x+3,
将直线
y=2x
的图象向
上
平移
3
个单位
y=2x-3,
将直线
y=2x
的图象向
下
平移
3
个单位
练习：
y=5x-6,
将直线
y=5x
的图象向
下
平移
6
个单位
注：一次函数
上移，
b
负下移
y=k
x+b
图像的平移，只与
b
有关，将
y=kx
的图像平移，平移方向：
b
正
11
、一次函数
y
kx
b
的图象与性质
b>0
b<0
b=0
（正比例函数）
经过：第一、二、三象限
经过：第一、三、四象限
经过：第一、三象限
不经过：第四象限
不经过：第二象限
不经过：第二、四象限
k>0
增减性（单调性）：
图象从左到右上
升，
y
随
x
的
增大而增大，单调增
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
不经过：第三象限
不经过：第一象限
不经过：第一、三象限
k<0
12
、两
直线之
间的位
置关系
（平行
增减性（单调性）：
图象从左到右下降，
y
随
x
的增大而减小
，单调减
或相
交）
：
必过点：
经过
（
b
k
，
0
）和（
0
，
b
）两点，正比例函数即是
经过原点（
0
，
0
）
l
1
：
y
k
1
x
b
1
l
< br>2
：
y
k
2
x
b
2
①平行：
当
k
1
k<
/p>
2
时，
l
1
/
/
l
2
；当
b
1
b
2
b
时，
l
1
< br>与
l
2
交于
(
0
，
b
)
点。
5
（
3
）若直线
初中函数知识
②相交：将两直线方程联立成一个方程组，
{
y
k
1
b
1
y
k
2
< br>
b
2
，解得结果，即为交点。
13
、二元一次方程组与一次函数的关系
：两元一次函数图象的交点的坐标
即为所对应方程组的解。
14
、
应用
：要点是（
1
）会通过图象得信息；<
/p>
（
2
）能根据题目中所给的信息写出表达
式。
15
、
【思想方法】数形结合
。巩固练习：试试画出
y=x, y=x+1, y=-x,
y=-x+1
的图像
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
一、反比例函数的基础知识
1
、定义
：
一般地，形如
y
k
（
k
为常数，
k
o
）的函数称为反比例函数。
x
y
2
、解析式<
/p>
：
y
k
还可以写成
y
kx
1
x
k
（
k
为常数，<
/p>
）
x
注：
反比例函数解析式的特征：
①等号左边是
函数
y
，
等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数
k
（也叫做比例系数
k
）
，
分母中含有
自变量
x
，且指数为
1.
②比例系数
k
0
③自变量
x
的取值
为一切
非零
实数。
（反比例函数有意义
的条件：分母
≠
0
）
< br>
④函数
y
的取值是一切
非零
实数。
3
、增减性（单调性）
：
k>0
，
y
随
x
的增大而减小
（单调减）
；
k
<0
，
y
随
x
增大而增大
（单调增）
4
、反比例函数的图象：双曲线
（
1
）
图像的
画法
：描点法
①
列表（应以
O
为中心，沿
O
的两边分别取三对或
以上互为相反的数）
②
描点（有小到大的顺序）
③
连线（从左到右光滑的曲线）
(
1
)
是中心对称图形，对称中心是原点
（
2
）对称性：
(
2
)
是轴对称图形，对称轴是直线
y
x
和
y
< br>
x
（
3
）
反比例函数
y
< br>k
（
k
为常数，
k
0
）中自变量
x
0
，函数值
y
0
，
所以双曲线是不
x
经过原点，断开的两个分支（称为
左、右支）
，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
6