初中数学函数知识点总结
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初中函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系
1
、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
<
/p>
其中，水平的数轴叫做
x
轴或横轴，取向
右为正方向；铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，
取向上为正方向；两轴的交点
O
（即公共的原点）叫做直角
坐标系的原点；建立了直角坐标
系的平面，叫做坐标平面。
<
/p>
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被
x
轴和
y
轴分割而成的四个部分，
分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注
意：
x
轴和
y
轴上的点，不属于任何象限。
2
、点的坐标的概念
点的坐标用（
a
，
b
）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，
”分开，横、<
/p>
纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
a
b
时，
（
a
，
b
）和（
b
，
a
）
是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1
、各象限内点的坐标的特征
点
P(x,y)
在第一象限
x
0
,
y
0
点
P(x,y)
在第二象限
x
<
/p>
0
,
y
0
点
P(x,y)
在第三象限
x
0
,
y
0
点
P(x
,y)
在第四象限
x
0
,
y
0
2
、坐标轴上的点的特征
点
P(x,y)
在
x
轴上
y
0
，
x
为任意实数<
/p>
点
P(x,y)
在
y
轴上
x
0
，
y<
/p>
为任意实数
点
P(x,y)
既在
x
轴上，又在
y
轴上
x
，
y
同时为零，即点
P
坐标为（
0
，
0
）
3
、两
条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点
P(x,y)
在第一、三象限夹角平分线上
x
与
y
相等
点
P(x,y)
在第二、四
象限夹角平分线上
x
与
y
互为相反数
4
、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于
平行于
x
轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于
y
轴的直线上的各点
的横坐标相同。
5
、关于
x
轴、
y
轴或远点对称的点的坐标
< br>的特征
点
P
< br>与点
p
’关于
x
轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数
点
P
与点
p
’关于
y
轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数
点
P
与点<
/p>
p
’关于原点对称
横、纵坐标均互为相反数
6
、点到坐标轴及原点的距离
点
P(x,y)
到坐标轴及原点的距离：
（
1
）点
P(x,y)
到
x
轴
的距离等于
y
（
2
）点
P(x,y)
到
y
轴的距离等于
x
（
3
）点
P(x,
y)
到原点的距离等于
知识点三、函数及其相关概念
1
、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量
x
与
y
，如果对于
x
< br>的每一个值，
y
都有唯一确
定的
值与它对应，那么就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数。
2
、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3
、函数的三种表示法及其优缺点
（
1
）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，<
/p>
这种表示法叫做解析法。
（
2
）列表法
把自变量
x
的一系列值和函数
y
的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫
< br>做列表法。
（
3
）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4
、由函数解析式画其图像的一般步骤
（
1
）列表：列表给出自变量与函数的
一些对应值
（
2
）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
< br>（
3
）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用
平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数
1
、正比例函数和一次函数的概念
<
/p>
一般地，如果
y
kx
b
（
k
，
b
是常数，
k
0
）
，
那么
y
叫做
x
的一次函数。
特别地，当一次函数
y
kx
b<
/p>
中的
b
为
0
时，
y
kx
（
k
为常数，
k<
/p>
0
）
。这时，
y
叫做
x
的正
比例函数。
2
、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3
、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
< br>一次函数
y
kx
b
的图像是经过点（
0<
/p>
，
b
）的直线；正比例函数
y
kx
的图像是经
过原点（
0
，
0
）的直线。
x
2
y
2
k
的符
号
b
的符
号
函数图像
y
0 x
y
0
x
y
0
x
y
0 x
图像特征
b>0
图像经过一、二、三象限，
y
随
x
的增大而增大。
k>0
b<0
图像经过一、三、四象限，
y
随
x
的增大而增大。
k<0
k<0
b>0
图像经过一、二、四象限，
y
随
x
的增大
而减小
b<0
图像经过二、三、四象限，
y
随
x
的增大而减小。
注：当
b=0
时，一次函数变为正比例
函数，正比例函数是一次函数的特例。
4
、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
y
k
x
有下列性质：
（
< br>1
）当
k>0
时，图像经过第一
、三象限，
y
随
x
的增大而增大，图像从左之右上升；
（
< br>2
）当
k<0
时，图像经过第二
、四象限，
y
随
x
的增大而减小，图像从左之右下降。
5
、一次函数的性质
一般地，一次函数
y
kx<
/p>
b
有下列性质：
（
1
）当
k>0
时，
y
随
x
的增大而增大
（
2
）当
k<0
时，
y
随
x
的增大而减小
（
3
）当
b>0
时，直线与
y
轴交点在
y
轴正半轴上
（
4
）当
b<0
时，直线与
y
轴交点在
y
轴负半轴上
6
、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数
，就是要确定正比例函数定义式
y
k
x
（
k
0<
/p>
）中的常数
k
。确
定一个一次函数，需要确定一次函数定义式
y
kx
b
（
k
0
）中的常数
k
和
b
。解这类问
题的一般方法是
待定系数法
知识点五、反比例函数
1
、反比例函数的概念
一般地，函数
y
k
（
k
是常数，
k
0
）叫做反比例函数。反比例函数的解析
式也可以
x
写成
y
kx
1
或
xy=k
的形式。
自变量
x
的取值范围是
x
<
/p>
0
的一切实数，
函数的取值范围也
是一切非零实数。
2
、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或
< br>第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量
x
< br>
0
，函数
y
< br>
0
，所以，它
的图像与
x
轴、
y
轴都没有交
点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标
轴。
3
、
反比例函数的性质
反比
例函
数
k
的符
号
k>0
y
图像
O x
y
k
(
k
0
)
x
k<0
y
O x
①
x
的取值
范围是
x
0
，
①
x
的取
值范围是
x
0
，
y
的取值范围是
y
0
；
y
的取值范围是
y
0
；
②当
k>0
时，
函数图
像的两个分支分别
②当
k<0
时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，
y
在第二、四象限。在每个象限内，
y
性质
随
x
的增大而减小。
随
x
的增大而增大。
4
、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数
y
k
中，只有一个待定系数，
x
因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出
k
的值，从而确定其解析式。
5
、反比例函数中反比例系数的几何意义
k
(
k
0
)
图像上任一点
P
作
x
轴、
y
轴
的垂线
PM
，
PN
，则所得的
x
k
矩形
PMON
的面积
S=PM
PN=
y
x
xy
。
y
,
xy
k
,
S
k
。
x
若过反比例函数<
/p>
y
知识点六、二次函数的概念和图像<
/p>
1
、二次函数的概念
一般地，如果
y
ax
2
bx
c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
)
，
特别注意
a
不为零
，那么
y
叫做
x
的二次函数。
y
ax
2
bx
c
(
a
,
b
,
c<
/p>
是常数，
a
0
)
叫做二次函数的一般式。
2
、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
x
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2
a
抛物线的主要特征（也叫抛物
线的三要素）
：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3
、二次函数图像的画法
五点法：
（
1
）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点
< br>M
，并用虚线
画出对称轴
（
2
）求抛物线
y
ax
bx
c
与坐标轴的交点：
当抛物线与
x
轴有两个交点
时，
描出这两个交点
A,B
及抛物线与
y
轴的交点
C
，
再找到
点
C
的对称点
D
。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或
向下延伸，就得到二次
函数的图像。
当抛物线与
x
轴只有一个交点或无交点时，
描出抛物线与
y
轴的交点
C
及对称点
D
。
由
C
、
M
、
D
三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可
再描出一对
对称点
A
、
B
，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式
1.
二次函数基本形式：
y
ax
2
的性质：
2