初三数学知识点归纳
-
初
三
数
学
知
识
点
归
纳
Prepared on 24 November 2020
北师大版初中数学定理知识点汇总
[
九年级
(
上册
)
第一章
证明
(
二
)
※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一
线，将等边三角形分
成两个全等的
直
角三角形，其中一个锐角等于
30o
，这它所对的直角边必然等
于斜边的一半。
※有一个角等于
60
o
的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理：
a
2
b
2
c<
/p>
2
（注意区分斜边与直角边）
②在直角三角形中，如有一个内角等于
30o
，
那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，斜边
上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）
．．．．
．
．．
．．
※垂直平分线
是垂直于一条线段
并且平分这条线段的直线
。（注意
着重号的意义）
<
直线与射线有垂线
，但无垂直平分线
>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
<
/p>
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一
点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图
1
A
A
所示，
AO=BO=CO
）
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
D
F
※角平分线逆定理：在角内部
的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线
O
O
上。
C
C
B
B
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
图
1
E
图
2
※三角形三条角平分线交于一点
，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
(
如图
2
所示，
OD
=OE=OF)
第二章
一元二次方程
※只含有一个未知数的
整式方程，且都可以化为
ax
2
bx
c
0
（
a
、
b
、
c
为
．．．．．．
常数，
a
≠
0
）的形式，这样的方程叫一元二次方程
。
※把
ax
2
bx
c
0
（
a
、
b
、
c
为常数，
a
≠
0
）称为一元二次
方程的一般形式，
a
为二
次项系数；<
/p>
b
为一次项系数；
c
为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法
<
即将其变为
(
x
< br>m
)
2
0
的形式
>
b
b
2
4
ac
②公式法
x
（注意在找
abc
时须先把方程化为一般形
< br>2
a
式）
③分解因式法
把方程的一边变成<
/p>
0
，另一边变成两个一次因式的乘积来
求
解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※配方法解一
元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成
1
；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成
(
x
m
)
2
< br>0
的形式；
⑥两边开方求其根。
※根与系数的关
系：当
b
-4ac>0
时，方程有两个
不等的实数根；
当
b
2
-4ac=0
时，方程有两个相等的实数根；
当
b
2
-4ac<0
时，方程无实数根。
※如果一元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两根分别为
x
1
、
x
2
，则有：
x
1
x
2
b
a
x
1
x
2
c
。
a
2
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（
1
）已知方程的一根，求另一根；
（
2
）不解方程，求二次方程的根
x
1
、
x
2
的对称式的值，特别注意以下公式：
2
(
x
< br>1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
②
①
x
1
2
x
2
1
1
x
1
x
2
< br>
③
x
1
x
2
x
1
x
2
(
< br>x
1
x
2
)
2
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2
< br>④
|
x
1
x
2
|
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2
⑤<
/p>
(|
x
1
|
|
x
2
|)
2
(
x
1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
2
|
x<
/p>
1
x
2
|
3
(
x
1
x
2
)
3
< br>3
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
⑦其他能用
x
1
x
2
或
x
1
x
2
表达的
代数
⑥
x
1
3
x
2
式。<
/p>
（
3
）已知方
程的两根
x
1
、
x
2
，可以构造一元二次方程：
x<
/p>
2
(
x
1
x
2
)
x
x
1
x
2
0
（
4
）已知两数
x
1
、
x
2
的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方
程
x
2
(<
/p>
x
1
x
2
)
x
x
1
x
2
0
的根
※在利用方程来解应用题时，主
要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数
情况只要设问题为
x
；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②
寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可
< br>根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
问题
分析
求解
方程
解答
抽象
检验
第三章
证明（三）
．．．．．
※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形
，平行四边形
不相邻的
．．．
两顶点连成的线段叫做它的对角线
。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等<
/p>
,
对角相等
,
对
角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行
的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线
< br>的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质
,
且四条
边都相等
,
两条对角线互相垂直平分
,
每
一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
．．
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
。矩形是特
殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且
对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴
对称图形，有两条对称轴）
< br>
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形
(
根据定义
)
。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称
图形，有两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正
方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系
(
如图
3
所示
)
：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
平行四边形
一组邻边相等
菱形
一个内角为直角
（或对角线相等）
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
※等
腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
（或对角线互相垂直平分）
一邻边相等
或对角线垂直
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
一内角为直角
矩形
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
第四章
视图与投影
※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。
鹏翔教图
3
三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，
左视图要画在正视图的右边。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象
左视图：基本可认为从物体左面视得的图象
< br>※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面
(
平面
或曲面
)
，而相连的两个闭合线
框一定
不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，
一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各
个小的平面体（或曲面体）。
※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通
常画成虚
线。
．．
< br>物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影
。
．．．．
太阳光线可以看成平行的光线，像这样
的光线所形成的投影称为平行投影
。
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称
．
．．．
为中心投影
。
※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。
．．
．．
．．
眼睛
的位置称为视点
；由视点发出的线称为视线
；眼睛看不到的地方
称为盲区
。
※从正面、上面、侧面看
到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点；
②线段在一个面上的投影可分为三种情况：
线段垂直于投影面时，投影为一点；
线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；
线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：
平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；
平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；
平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
第五章
反比例函数
※反比例函数的概念：一
般地，
y
的反比例函数。
（
x
为自变量，
y
为因变量，其中
x
不能为零）
k
< br>（
k
为常数，
k
≠
0
）叫做反比例函数，即
y
是
x
x
k
※反比例函数的等价形式：
y
是
x
的反比例函数
←→
y<
/p>
(
k
0
)
←→
x
y<
/p>
kx
1
(
k
0
)
←→
xy
k
(
k
0
)
< br>
←→
变量
< br>y
与
x
成反比例，比例系数为<
/p>
k.
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照
反比例函数的定义判断；②
看两个变量的乘积是否为定值
<
即
xy
k
>
。（通常第二种方法更适用）
※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能
画的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
※反比例函数性质：
①当
k>0
时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，
y
随
x
的增大而减
小；
②当
k<0<
/p>
时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，
y
随
x
的增大而增
大；
③双曲线的两支会无限接近坐标轴（
x
轴和
y
轴），但不会与坐标轴相交。
※反比例函数图象的几何特征
:(<
/p>
如图
4
所示
)
点
P(x,y)
在双曲线上都有
S
矩形
OAPB
<
/p>
|
xy
|
|
k
|
S
AOB
1
1
|
xy
|
|
k
|
2
2
B
O
P
A
图
4
P
B
A
O
第六章
频率与概率
．．
※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数
；
．．
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率
；
即：
频率
频数
频数
数据总数
实验次数
在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和
等于
1
。因此，各个小长方形的面积的和等于
< br>1
。
※频率分布表和频率分布
直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准
确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有
< br>m
个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为
白球的概率；
※要估算池塘里有多少条鱼，我们
可先从池塘里捉上
100
条鱼做记号，再放回池塘，之
后再从池塘中捉上
200
条鱼，如果其中有
10
条鱼是有标记的，再设池塘共有
x
条
100
10
鱼，
则可依照
估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以
x
200
应谓之“约是
XX
”）
※生活中存
在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量
出事件发生的
可能性的大小，并不表示一定会发生。
初中数学知识点总结<
/p>
(
下册
)
第一章
直角三角形边的关系
※一
.
正切：
．．
定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
的正切
，记作
tanA
，即
A
的对边<
/p>
;
A
的邻边
tan
A
①
tanA
是一个完整的符号，它表示∠
A
的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
②
tanA
没有单位，它表示一个比值，即直角三角形
中∠
A
的对边与邻边的比；
③
tanA
不表示“
t
an
”乘以“
A
”；
< br>
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠
A
是锐角的正切；
⑤
t
anA
的值越大，梯子越陡，∠
A
越大
；
∠
A
越大
，梯子越陡，
tanA
的值越大。
※二
.
正弦
：
．．
定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与斜边的
比叫做∠
A
的正弦，记作
sinA
，即
sin
A
<
/p>
A
的对边
;
斜边
※三
.
余弦：
定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与斜边的比叫做∠
A
< br>的余弦，记作
cosA
，即
co
s
A
A<
/p>
的邻边
;
斜边
※余切：
定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与对边的比叫做∠
A
的余切，记作
cotA
，
即
cot
A
A
的邻边
;
A
的对边
※一个锐角的正弦、余弦
、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
sin
α
0o
0
30 o
45 o
60 o
90 o
1
（通常我们称正弦、余弦互为余
函
数。同样，也称正切、余切互为余函
数，可以概括为：一个锐
角的三角函
数等于它的余角的余函数）用等式表
达：若∠
A
为锐角，则
cos
α
tan
α
cot
α
1
0
1
1
0
—
0
—
<
/p>
①
sin
A
<
/p>
cos(
90
A
)
；<
/p>
cos
A
<
/p>
sin(
90
A
)
<
/p>
②
tan
A
<
/p>
cot(
90
A
)
；<
/p>
cot
A
<
/p>
tan(
90
A
)
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
．．
所成的锐角称为仰角
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
．．
的锐角称为俯角
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，
(1)
当<
/p>
角度在
0
°～
90
°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大
(
或减小
)
而增大
(
或减
小
)
；余弦值、余切值随着角度的增大
(
或减小
)
而减小
(
或增大<
/p>
)
。
(2)0
≤
sin
α≤
1
，
0
≤
cos
α≤
1
。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关
系：
tg
α·
ctg
< br>α
=1
。
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形
中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
图
1
◎在△
ABC
中，∠
C
为直角，∠
A
、∠
B
、∠
C
所对的边分别为
a
、<
/p>
b
、
c
，则有<
/p>
(1)
三边之间的关系：
a
2
+b
2
=c
2
；
(2)
两锐角的关系：∠
A
＋
∠
B=90
°；
(3)
边与角之间的关系：
B
1
1
(4
)
面积公式
:
S
ab
chc
(hc
为
C
边上的高
);
2
2
i=h:l
a
b
c
h
(5)
直角三角形的内切圆半径
r
2
A
1
C
(6)
直角三角形的外接圆半径
R<
/p>
c
l
2
图
2
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
※
如图
2<
/p>
，坡面与水平面的夹角叫做坡角
(
或叫
做坡比
)
。用字母
i
< br>表示，即
图
4
．．
．．
图
3
h
i
tan
A
l
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角
。
如图
3
，
OA
、
OB
、
．．．
OC
的方位角分别为
45
°、
135
°、
225
°
。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于
90
°的水平角，叫做方向角
。如图
4
，
．．．
OA
、
OB
、
OC
、
OD
的方向角分别是；北偏东
30
°，南偏东
45
°
(
东南方向
)
、南偏西为
60
°，北偏西
60
< br>°。
第二章
二次函数
．．
※二次函数的概念：形如
y
ax
bx
c
(
a
、、b、
是常数
，a
<
/p>
0
)
的函数，叫做
x
的二次
2
．．
函数
。自变量的取值范围是全体实数。
y
ax
2
(
a
0
)
是二次函数的特例，此
时常数
< br>b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系
，列出相应的函数关
．．．．．．．．
系式，并确定自变量的取
值范围
。
．．
2
※二次函数
y
＝
< br>ax
的图象是一条顶点在原点关于
y
轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物
．
线
。
描述抛物线常从开口方向、对称性、
< br>y
随
x
的变化情况、抛物线的最
高（或最低）点、
抛物线与
x
轴的交点
等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物
线的顶点在
(0
，
0)
，对称轴是
y
轴
(
或称直线
x
＝
0)
。
③当
a
＞
0
时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展
。当
a
＜
0
时
，抛物线开口向
下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：
;
x
0
时
,
y
随
x
增大而减小
A
、当
< br>a
＞
0
时
B
、当
a
＜
0
时
.
x
0
时
,
y
随
x
增大而增大
;
x
0
时
,
y
随
x
增大而增大
.
x
0
时
,
y
随
x
增大而减小
⑤当｜
a
｜越大，抛物线开口越小；当｜
< br>a
｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当
a
＞
0
，且
x
＝
0
时函数有最小值，最小值是
0
；当
a
＜
0
，且
x
＝
0
时函数有最大值，最大
值是
0
．
※
二次函数
y
ax
2
c
的图象是一条顶点在
y
轴上且与
y
轴对称
的抛物线
4
ac
b
2
b
b
※二次函数
y
ax
bx
c
的图象是以
x
为对称轴，顶点在（
，<
/p>
）
4
a
2
a
2
a
2
的抛物线。（开口方向和大小由
a
来决定）
※
|a|
的越大，
抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴
y
轴，
< br>y
随
x
增长（或下降）速
度越快；
|a|
的越小，抛物线的开口程度越
大，越远离对称轴
y
轴，
y
随
x
增长（或
下降）速度
越慢。
※二次函数
y
ax
2
< br>c
的图象中，
a
的符号决定抛物
线的开口方向，
|a|
决定抛物线的开
口程度大小，
c
决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数
y
ax
2
bx
c
的图象与
y
＝
ax
2
的图象的关系：
y
ax
2
bx
c
的图象可以由
y
＝
ax
2
的图象平移得到，其步骤如下：
4
ac
b
2
b
①将
y
ax
bx
c
配方成
y
a
(
x
h
)
k
的形式；（其中
h=
，
k=
）；
4
a
2
a
2
2
< br>②把抛物线
y
ax
2
向右（
h>0
）或向左
（
h<0
）平移
|h|
个单位，得到
y=a(x-h)
的图
< br>2
象；
③再把抛物线
y
a
(
x
h
)
< br>2
向上（
k>0
）或向下（
k<0
）平移
| k|
个单位，便得到
y
a
(
x
h
)
2
k
的图象。
※二次函数
y
ax
2
bx
c
的性质：
b
2
4
ac
b
2
二次函数
y
ax
bx
c
配方成
y
a
(
x
)
则抛物线的
2
a
4
a
2
2
b
②顶点坐标：（
b
< br>，
4
ac
b
）
2
a
4
a
2
a<
/p>
b
b
③增减性：
若
a>0
，则当
x<
时，
y
随
x
的增大而减小
；当
x>
时，
y
随
x
的
．．．．．
2
a
2
a
①对称轴：
x=
增大而增
大。
．．．．．．
若
a<0
，则当
x<
增大而减小。
．．．．．．
< br>4
ac
b
2
b
b
④最值：若
a>0
，则当
x=
时，
y
最小
；若
a<0
，则当
x=
时，
4
a<
/p>
2
a
2
a
y
最大
4
ac
b
2
4
a
b
b
时，
y
随
< br>x
的增大而增大
；当
x>
时，
y
随
x
的
．．．．．
2
a
2
a
※画二次函
数
y
ax
2
bx
c<
/p>
的图象：
我们可以利用它与函数
y
ax
2
的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了
的描点法
----
五点法来画二次函数来画二次函数的
图象，其步骤如下：
2
b
①先
找出顶点（
b
，
4
ac
b
），画出对称轴
x=
；
2
a
4
a
2
a
②找出图象上关于直线
x=
b
对称
的四个点（如与坐标的交点等）；
2
a
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤
二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成
y=a(x-h)
2
+k
的形式求得，也可以
借助图
象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数
y
ax
2
bx
c
的图象
(
抛物线
)
与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
，
x
2
是对应一
元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两个实数根
※抛物线与
x
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根
的判别式判定：
b
2
4
ac
>0 <===>
抛物线与
x
轴有
2
个交点；
b
2
<
/p>
4
ac
=0 <===>
抛物线与
x
轴有
1
个交点；
b
2
4
ac
<0 <===>
抛物线与
x
轴有
0
个交点（无交点）；
※当
b
2
<
/p>
4
ac
>0
时，
设抛物线与
x
轴的两个交点为
A
、
B
，则这两个点之间的距离：
b
2
< br>4
ac
2
化简后即为：
|
AB
|
(
b
4
ac
0
)
< br> ------
这就是抛物线与
x
轴的两交点之
|
a
|
间的距离公式。
第三章
圆
一
.
车轮为什么做成圆形
※
1.
圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段
OA
绕它固定的一个端点
O
旋转一周，另一个端
点
A
随之旋转所形成的圆形叫做圆
；固定的端点
O
叫做圆心
；线段
．
．．
OA
叫做半径
；以点
O
为圆心的圆，记作⊙
O<
/p>
，读作“圆
O
”
．．
集合性定义：圆是平面内到定
点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心
，
．．
定长叫做圆的半径
，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径
．．．．
确定的圆叫做定圆
。
．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不
是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二
是半径
（即定长）。
※
2.
点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为
r
，点到圆心的距离为
d
，则
①点在圆上
<===> d=r;
②点在圆内
<===> d
③点在圆外
<===> d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几
个点与
一个定点、的距离相等。
二
.
圆的对称性
:
※
1.
与圆相关的概念：
①弦和直径：
．
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦
。
．．
直径：经过圆心的弦叫做直径
。
②弧、半圆、优弧、劣弧：
．．
．
弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧
，简称弧
，用符号“⌒”表示，
以
CD
”，读作“圆弧
CD
”或“弧
CD
”。
．．
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆
。
．．
优弧：大于
半圆的弧叫做优弧
。
．．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧
。
(
为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)
．．
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形
。
< br>
．．．
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同
心圆
。
⑤等圆：能够完全重合的两个
圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
．．
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
。
．．．
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
.
．．．
⑧弦心距
:
从圆心到弦的距离叫做弦心距
.
※
2.
圆是轴对称图形，直径所在的
直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※
3.
垂径定理：垂直于弦的直径平
分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直
径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据
垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的
劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※
4.
定理：在同圆或等圆中
,
相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心
距相等。
推论
:
在同圆或等圆中
,
如果两个圆心角、两条弧
、两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等
,
< br>那么它们所对应的其余各组量都分别相等
.
三
.
圆周角和圆心角的关系
:
※
1.
1
°的弧的概念
:
把顶点在圆心的周
角等分成
360
份时
,
每一份的角都是
1
°的圆
心角
,
相应的整个圆也被等分成
360
份
,
每一份同样的弧叫
1
°弧
.
※
2.
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等
.
这里指的是角度数与弧的度数相等
,
而不是角与弧相等
.
即不能写成∠
AOB=
,
这
是错误的
.
※
3.
圆周角的定义
:
顶点在圆上
,
并且两边都与圆相交的角
,
叫做圆周角
.
※
4.
圆周角定理
:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
※推论
1:
同弧或等弧所对的圆周角
相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的
弧也相等；
※推论
2:
半圆或直径所对的圆周角
是直角；
90
°的圆周角所对的弦是直径；
※四
.
确定圆的条件
:
※
1.
理解确定一个圆必须的具备两个条件
:
圆心和半径
,
圆心决定圆的位置
,
半径决定圆的大小
.
经过一点可以作无数个圆
,
经过两点也可以作无数个圆
,
< br>其圆心在这个两点线段的
垂直平分线上
.
※
2.
经过三点作圆要分两种情况
:
为端点的弧记为“
(1)
经过同一直线上的三点不能作圆
.
(
2)
经过不在同一直线上的三点
,
能且
仅能作一个圆
.
※定理
:
不在同一直线上的三个点确定一个圆
.
※
3.
三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念
:
(1)
三角形的外接圆和圆的内接三角形
:
< br>经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角
形的外接圆
,
这个三角形叫做圆的内接三角形
.
(2)
三角形的外心
:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心
.
(3)
三角形的外心的性质
:
三角形外心到三顶点的距离相等
.
五
.
直线与圆的位置关系
※
1.
直线和圆相交、相切相离的定义
:
(1)
相交
:
直线与圆有两个公共点时
,
叫做直线和圆相交
,
这时直线叫做圆的割线
.
(2)
相切
:
直线和圆有惟一公共点时
,
叫做直线和圆相切
,
这时直线叫做圆的切线
,
惟
一的
公共点做切点
.
(3)
相离
:
直线和圆没有公共点时
,
叫做直线和圆相离
< br>.
※
2.
直线与圆的位置关系的数量特征
:
设⊙
O
的半径为
r
，圆心
O
到直线的距离为
d
；
①
d
直线
L
和⊙
O
相交
.
②
d=r <===>
< br>直线
L
和⊙
O
< br>相切
.
③
d>r <===>
直线
L
和⊙
O
相离
.
※
3.
切线的总判定定理
:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线
.
※
4.
切线的性质定理
:
圆的切线垂直于过切点的半径
.
※推论
1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
.
※推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
.
< br>※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系
,
可得
如下结论
:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个
,
就可推出第三个
.
①垂直于切线
;
②过切点
;
③过圆心
.
※
5.
三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念
.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
,
内切圆的圆心叫做三角形的内心
,
这
个三角形叫做圆的外切三角形
.
※
6.
三角形内心的性质
:
(1)
三角形的内心到三边的距离相等
.
(2)<
/p>
过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角
.
由此性质引出一条重要的辅助线
:
连
接内心和三角形的顶点
,
该线平分三角形的这个内
角
.
六
.
圆和圆的位置关系
.
※
1.
外离、外切、相交、内切、内
含
(
包括同心圆
)
这五种位置关系的定义
.
(1)
外离
:
两个圆没有公共点
,
并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时
,
叫做这两个圆
外离
< br>.
(2)
外切
:
两个圆有惟一的公共点
,
并且除了这个公共点以外
,
每个圆上的点都在另一个
圆的外部时
,
叫做这两个圆外切
.
这个惟一的公共点叫做切点
.
(3)
相交
:
两个圆有两个公共点
,
此时叫做这个两个圆相交
.
(4)
内切
:
两个圆有惟一的公共点
,
并且除了这个公共点以外
,
一个圆上的都在另一个圆
的内部时
,
叫做这两个圆内切
.
这个
惟一的公共点叫做切点
.
(5)
内含
:
两个圆没有公共点
,
并且一个圆上的
点都在另一个圆的内部时
,
叫做这两个圆
内含
.
两圆同心是两圆内的一个特例
.
※
2.
两圆位置关系的性质与判定
:
(1)
两圆外离
<===>
d>R+r
(2)
两圆外切
<===> d=R+r
(3)
两圆相交
<===>
R-r
≥
r)
(4)
两圆内切
<===>
d=R-r (R>r)
(5)
两圆内含
<===>
d
※
3.
相切两圆的性质
:
如果两个圆相切
,
那么切点一定在连心
线上
.
※
4.
相交两圆的性质
:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
.
七
.
弧长及扇形的面积
※
1.
圆周长公式
:
圆周长
C=2
R (R
表示圆的半径
)
※
2.
弧长公式
:
n
R
弧长
l
(R
表示圆的半径
,
n
表示弧所对的圆心角的度数
)
180
※
3.
扇形定义
:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形
.
※
4.
弓形定义
:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高
.
※
5.
圆的面积公式
.
圆的面积
S
R
2
(R
表示圆的半径
)
※
6.
扇形的面积公式
:
扇形的面积
S
扇形
n
R
2
(R
表示圆的半径
,
n
表示弧所对的圆心角的度数
)
36
0
※弓形的面积公式
:(
如图
5)
(1)
当弓形所含的弧是劣弧时
, <
/p>
S
弓形
B
S
扇形
S
三角形
A
O
O
(2)
当弓形所含的弧是优弧时
,
S
弓形
S
扇形
S
三角形
A
B
A
O
B
1
< br>2
(3)
当弓形所含的弧是半圆时
,
S
R
S
扇形
C
C
C
弓形<
/p>
2
图
5
八
.
圆锥的有关概念
:
※
1.
圆锥可以看作是一个直角三角
形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形
,
另
一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面
,
斜边旋
转而成的面叫做圆锥的侧面
.
※
2.
圆锥的侧面展开图与侧面积计算
: