初中数学全等三角形知识点总结及复习
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全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络
对应角相等
性质
对应边相等
边边边
SSS
全等形
全等三角形
边角边
SAS
< br>
判定
角边角
ASA
角角边
AAS
斜边、直角边
HL
作图
角平分线
性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）
、基本概念
应用
1<
/p>
、
“
全等
”
的理解
全等的图形必须满足：
（
1
）形状相同的图形；
（
2
）大
小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形
定义
：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中
的
特殊情况）
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合
的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)
全
等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
(2)
全
等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
(3)
有
公共边的，公共边一定是对应边；
(4)
有公共角的，角一定是对应角；
(5)
有
对顶角的，对顶角一定是对应角；
2
、全等三角形的性质
（
1
）全等三角形对应边相等；
（
2
）全等三角形对应角相等；
3
、全等三角形的判定方法
（
1
）三边对应相等的两个三角形全等。
（
2
）两角和它们
的夹边对应相等的两个三角形全等。
（
3
）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
<
/p>
（
4
）两边和它们的夹角对应相等的两个
三角形全等。
1
（
5
）斜边
和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4
、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1
、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找
全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2
、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3
、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全
等。
（
1
）
已知条件中有两角对应相等，
可找：
①夹边相等（
ASA
）②任一组等角的
对边相等
(AAS)
（
2
）
已知条件中有两边对应相等，
可找
①夹角相等
(SAS)
②
第三组边也相等
(SSS)
（
3
）
已知条件中有一边一角对应相等，
可找<
/p>
①任一组角相等
(AAS
或
ASA)
②夹等角的另一组边相等
(SAS)
（三）经典例题
例
1.
已知：如图所示，
AB=AC
，
，求证：
.
例
2.
如图所示，已知：
AF=AE
，
AC=AD
，
CF
与
DE
交于点
B
。求证：
。
< br>
例
3 .
如图所示，
< br>AC=BD
，
AB=DC
，求证
：
。
2
例
4.
如图所示，
< br>求证：
BD=CE
。
，垂足分别为
D
、
E
，
BE
与
CD
相交于点
O
< br>，且
例
5
：
已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AC
平分∠
BAD
、
CE
< br>⊥
AB
于
E
，且∠
B+
∠
D
< br>=180
。
求证：
AE=AD+BE
分析：
从上面例题，可以看出，有时
为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补
短”的添加辅助线，本题是否
仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于
AC
是角平分线，所
以在
AE
上截
AF=AD
，连结
FC
，可证出
ADC
≌
AFC
，问题就可以得到解决。
证明（一）
：
在
AE<
/p>
上截取
AF=AD
，连结
FC
。
在
AFC
和
ADC
中
AF
AD
已作
1
2
已知
< br>
AC
AC
< br>
公共边
∴
< br>
AFC
≌
< br>ADC
（边角边）
∴∠
AFC=
∠
D
（全等
三角形对应角相等）
∵∠
B+
∠
D=
180
（已知）
∴∠
B
=
∠
EFC
（等角的补角相等）
在
CEB
和
CEF
中
3
B
E
F
C
证
已
C
E
B
C
E
F
9
0
已
知
C
E
C
E
公
共
边
< br>
∴
CEB
≌
CEF
（角角边）
∴
BE=EF
∵
AE=AF+EF
∴
AE=
AD+BE
（等量代换）
证明（二）
：
在线段
E
A
上截
EF=BE
，连结
FC
（如右图）
。
小结：
在几何证明过程中，如果现成
的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需
要我们恰到好处的添加辅
助线。
（四）
全等三角形复习练习题
一、
选择题
1
．如图，给出下列四组条件：
①
AB
DE
，
BC
EF
，
AC
DF
；②
AB
DE<
/p>
，
B
E
，
BC
EF
；
③
B
E
，
BC
< br>
EF
，
C
F
；④
AB
DE
，
AC
DF
，
B
E
．
其中，
能使
△
ABC
≌△
DEF
的条件共有（
）<
/p>
A
．
1
组
B
．
2
组
C
．
3
组
D
．
4
组
2.
如
图，
D
，
E
分
别为
△
ABC
的
AC
，
BC
边的中点，将此三角形沿
DE
折叠，使点
C
落在
AB
边上
的点
P
处．若
CDE
48
°
，则
APD
等于（
）
3.
如<
/p>
图
（
四
）
，
点
P
是
AB
上
任
意
一
点
，
< br>ABC
ABD
，
还
应
补
< br>充
一
个
条
件
，
才
能
推
出
推出
△
AP
C
≌△
APD
的是（
< br>
）
△
APC
≌△
APD
．从下列条
件中补充一个条件，不一定能
．．．．
A
．
BC
BD
B
．
AC
AD
C
．
ACB
ADB
D
．
CAB
DAB
A
．
42
°
B
．
48
°
C
．
52
°
D
．
58
°
C
B
P
D
图（四）
1
题图
2
题图
4.
如图，在△
ABC
与△
DEF
中，已有条件
AB=DE
，还需添加两个条件
才能使△
ABC
≌△
DEF
，不能添加的
一组条件是
( )
(A)
∠
B=
∠
E,BC=EF
（
B
）
BC=EF
，
AC=DF (C)
∠
A=
∠
D<
/p>
，∠
B=
∠
E<
/p>
（
D
）∠
A=<
/p>
∠
D
，
BC=E
F
5
．如图，△
ABC
中，∠
C
=
90°，
AC
=
BC
，
AD
是∠
BAC
的平分线，DE⊥AB
于
E
，
若
AC
= 10cm
，则△
DBE
的周长等于
(
)
A
．
10cm
B
．
8cm
C
．
6cm
D
．
9cm
6
．
如图所
示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（
）Ａ．
1
处
Ｂ．
2
处
Ｃ．
3
处
Ｄ．
4
处
A
4
A
4
题图
5
题图
C
D
②
③
E
①
④
B
6
题图
7
．某同学把一块三角形的玻璃打碎
了
3
块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那
么最省事的方法是（
）
A
．带①去
B
．带②去
C
．带③去
D
．带①②③去
< br>
B
90
Rt
△
ABC
8
< br>．如图，在
中，
，
ED
是
AC
的垂直平分线
，交
AC
于点
D
，交
BC
于点
E
．已知
BAE
10
，则
C
的度数为（
）
A
．
30
B
．
40
C
．
50
D
．
60
9
．如图，
△
ACB
≌△
A
C
B
，
BCB
=30°，则
ACA
的度数为（
）
A
．20°
B
．30°
C
．35°
D
．40°
10
．如图，
AC
＝
AD
，
BC
＝
BD
，则有（
）
A
．
AB<
/p>
垂直平分
CD
B
．
CD
垂直平分
AB
1
题图
C
．
AB
与
CD
互相垂直平分
D
．
CD
平分∠
ACB
A
D
B
E
B
A
<
/p>
A
C
A
B
C
B
D
C
8
题图
10
题图
8
题
7
题图<
/p>
11
．尺规
作图作
AOB
的平分线方法如下：以
O
为圆心，任意长为半径画弧交
OA<
/p>
、
OB
于
C
、
D
，
再分别以点
C
、
D
为圆心
，以大于
1
由作法得
CD
长为半径画弧，两弧交于点
P
，作射线
OP
，
2
△
OCP
≌△
ODP
的根据是（
）
A
．
SAS
B
．
ASA
C
．
AAS
D
．
SSS
12.
如图
,
∠
C=90
°
,AD
平分∠
BAC
交
BC
于
D,
若
BC=5cm
,BD=3cm,
则点
D
到
AB
的距离为
( )A.
5cm B.
3cm C. 2cm D.
不能确定
13
．如图，
OP
平分
AOB
，
PA
OA
，
PB
OB
，垂足分别为
A
，
B
．下列结论中不一定成立的是
（
）
A
．
PA
PB
B
．
PO
平分
APB
C
．
OA<
/p>
OB
D
．
AB
垂直平分
OP
14.
如图，已知
AB
AD
，
那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△
ABC
≌△
ADC
的是（
）
A
< br>．
CB
CD
< br>
B
．
∠
BAC
∠
DAC
C
．
∠
BCA
∠
DCA
D
．
∠
B
∠
< br>D
90
A
D
C
A
A
P
A
C
P
B
C
O
D
B
D
O
B
B
11
题图
12
题图
13
题图
14
题图
5
二、
填空题
1.
如
图
，
已
知
AB
AD
，
BAE
DAC
，
要
使
△
ABC
≌
△
ADE
，
可
补
充
的
条
件
是
（写出一个即可）
_______
________
．
2.
如图
,
在△
ABC
中
,
∠
C=90
°
,AC=BC,AD
平分∠
BAC
交
BC
于
D,DE
⊥
AB
于
E,
且
AB=5cm,
则△
DEB
的周长
为
________
3.
如图，
BAC
ABD
，请你添加一个条件：
，使
OC
O
D
（只添一个即可）
．
4.
如图，
在
Δ
ABC
中，
∠
C=90<
/p>
°∠
ABC
的平分线
BD
交
AC
于点
< br>D,
若
BD=10
厘米，
BC=8
厘米，
DC=6
厘米，
则点
D
到直线
AB
的距离是
__________
厘米。
C
A
D
B
E
O
A
A
B
C
B
1
题图
2
题图
3
题图
4
题图
5.
观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第
5
个大
三角形中白色三角形
有
个
．
E
D
C <
/p>
D
第
1
个
第
2
个
第
3
个
6.
已知：如图，△
OAD
≌△
OBC
，且∠
O
＝
70
°，∠
C
＝
< br>25
°，则∠
AEB
＝
________
度
.
7
如图，
C
为线段
< br>AE
上一动点（不与点
A
，
E
重合）
，在
AE
同侧分别作正三角形
ABC
和正三角形
CDE
、
AD
与
BE
交于点
O
，
AD
与
BC
交于点
P
，
BE
与
CD
交于点
Q
< br>，
连结
PQ.
以下五个结论：<
/p>
①
AD=BE
；
②
PQ
∥
AE
；
③
AP=BQ
；④
< br>DE=DP
；⑤∠
AOB=60
°
.
恒成立的结论有
_______
________________
（把你认为正确的序号都填上）
。
8.
如图所示，
AB =
AD
，∠1
=
∠2，添加一个适当的条件，使△ABC
≌
△ADE，则需要添加的条件是
________.
O
B
E
D
B
O
A
D
Q
P
C
A
C
E
6
题图
7
题图
8
题图
6