【全】人教版初中数学八年级上册知识点总结
-
八年级数学（上）册
各
章
节
知
识
< br>点
总
结
1
第十一章
三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
< br>1.
三角形：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形
.
2.
三边
关系：
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边
.
3.
高：
从三角形的一个顶点向
它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
.
4.
中线：
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段
叫做三角形的中线
.
5.
角平分线：
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三
角形
的角平分线
.
6.
三角形的稳定性：
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定
性
.
7.
多边形：
< br>在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
.
< br>8.
多边形的内角：
多边形相邻两边组成的角叫做它的内
角
.
9.
多边形的外角：
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
.
10.
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两
个顶点的线段，叫做多边形的对角线
.
11.
正多边形：
在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形
.
12.
平面镶嵌：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，
13.
公式与性质：
⑴三角形的内角和：三角形的内角和为
180
°
⑵三角形外角的性质：
< br>性质
1
：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和
.
性质
2
：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
.
⑶多边
形内角和公式：
n
边形的内角和等于
(
n
2)
·<
/p>
180
°
⑷多
边形的外角和：多边形的外角和为
360
°
.
⑸多边形对角线的条数：从
n
边形的一个顶点出发可以引
(
n
3)
条对角线，
第十二章
全等三角形
第一节：全等三角形
形状大
小放在一起完全重合的图形，叫做全等形。换句话说，全等形就是能够完全重合的图形。能够完
< br>全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个全
等的三角形重合放在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应
< br>角。
两个三角形全等用符号“≌”表示
。如
∆
ABC
≌
∆
A'B'C'
。其中对应的边是
AB
与
A'B'
、
AC
与
A'C'
、
BC
与
2
B'C'<
/p>
。如若前一个三角形的边的表示字母变换位置，那么后一个三角形的对应字母也要变换位置
，如
CB
与
C'B'
< br>为对应边。
全等三角形的性质：全等三角形的
对应边相等，全等三角形的对应角相等。
第二节：三角形全等的判定
上节中
知道全等三角形的三条对应边，三个对应角均分别相等。那么是否可以从逆推得三角形全等呢？
< br>
由于三角形具有稳定性，那么画图得两个对应边分别相等的三
角形，发现它们全等，对应角也相等。
再次，
画图得两个对应角分别相等的三角形，发现，它们的对应边成比例，但是不一定相等，例如，两
< br>个等边三角形，角都相等，但是边长不一定相等。
所以有
判定一：三边对应相等的两个三角形全等（边边边或
SSS
）
。
画图得
两个角度相等，边分别相等的两个角，依次分别连接角的边的端点，得两个全等的三角形（两边
< br>与夹角确定第三边）
。
有
判定二：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边或
S
AS
）
。
画图得
两条长度相等的线段，分别以线段两端点为起点做射线，射线与线段的夹角对应相等，两条射线
< br>相交与一点，形成两个三角形。这两个三角形全等。
有
判定三：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角或
ASA
）
。
画图得
两个角度和一边对应相等的两个角，分别从该边向另一边引一条射线，射线与另一边的夹角对应
< br>相等。形成的两个三角形全等。
有
判定四：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边或
AAS
）
。
画图得两个直角三角形，它们的斜边和一条直角边对应相等，这两个三角形全等。
有
判定五：斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或
HL
）
。
第三节：角的平分线的性质
作图：
已知
AOB
，求作
< br>
AOB
的平分线
做法：
1
、
以
O
为圆心，
适当长为半径画弧，
< br>交
OA
于
M
，
交
OB
于
N
；
2
、
分
别以
M
、
N
为
圆心，
大于
1
MN
2
的长为半径画弧，两弧在
AO
B
的内部交于点
C
；
< br>3
、画射线
OC
。射线
OC
即为所求。
从射
线
OC
上任选一点，分别作
OA
、
OB
的垂线段，沿着
OC
折叠，会发现
OA
、
OB
的垂线段完全重合。
故，有
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
。
同理：
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
证明两
三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
①确定
已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等
< br>所隐含的边角关系）
；
②回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；
③正确地书写证明格式
(
顺序和对应关系从
已知推导出要证明的问题
)
。
可以逆推，由需要证明的结论一步步推导出已知条件。
第十三章
轴对称
第一节轴对称
如果一
个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直
< br>线就是它的对称轴。可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着以一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
条直线对
称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴
对称图形沿对称轴分成两个图
形，这两个图形关于这条轴对称。
3
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
第二节：画轴对称图形
画轴对称图形的步骤：
1
、选择已知图形的关键点
；
2
、依次过它们做垂直于已知直线的垂线，截取直线
两边的线段长度相等，则新点即是已知图形的关键点关于直线对称的点；
3
、
依次连接各个点。所得图形即为
已
知图形的轴对称图形。
轴对称图形可以经过旋转得出。
用坐
标轴表示轴对称：关于
x
轴对称（
x<
/p>
，
y
）与（
x<
/p>
，
-y
）
；关于
y
轴对称（
x
，
y
）与（
-x
，
y
）
。
第三节等腰三角形
有两个边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质：
1
）等腰三角形的两个底角相等。简言
之：等边对等角。
2
）等腰三角形的
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
等腰三角
形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简言之：等角对等
边。
一种特殊的等腰三角形——等边三角形，三条边相等
，三个角相等并且都为
60º
。
反推，
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是
60º
的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30º
，那么
它所对的直角边等于斜边的一半
第十四章
整式的乘法与因式分解
第一节：整式的乘法
1
．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数
a
与任意正整数
m
，有
a
a
a
(
m
、
n
都是正整数
)
。即同底数幂相乘，底数
不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点
:
①法则使用的前提条件是：
幂的底数相同而且是相乘时，
底数
a
可以是一个具体的数字式字母，
也可以
是一个单项或多项式；<
/p>
②指数是
1
时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的
加法相混淆，
对乘法，
只要底数相同指数就可以相加；
而对于加法，
不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，
法则可推广为
a
a
a
a
⑤公式还可以逆用：
a
2
．幂的乘方
m
n
m
n
p
m
n
p
m
n
m
n
（其中
m
、
n
、
p
均为正整数）
；
a
m
a
n
（
m
、
n
均为正整数）。
m
n
mn
一般地，对任意底数
a
与任意正整数<
/p>
m
、
n
，有
(
a
)
a
(
m
、
n
都是正整数
)
。即幂的乘
方，底数不变，
指数相乘。该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：
(
a
)
(
a
)
a<
/p>
（
m
、
n
都是正整数）。
< br>当底数有负号时
,
运算时要注意
,
底数是
a
与
(
-a
)
时不是同底，但可以利用乘方
法则化成同底，
如将
(
-a
)
3
化成
-a
3
。
n
m
m
n
mn
a
n
(
当
n
为偶数时
),
一般地
,
(
< br>
a
)
n
a
(
当
n
为奇数
时
).
n
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别
(
ab
)
n
与
< br>(
a+b
)
n
< br>意义是不同的，不要误以为
(
a+b
)
n
=a
n
+b
n
（
a
、
b
均不为零）。
< br>3
.
积的乘方法则
一般地，对于任意底数
a
、
b
与任意正整数
n
，有
(
ab
)
a
b
（
n
为正整数）。即积的乘方，等于把积
每一个因式分别乘方
，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.
整式的乘法
1
）
单项式乘法法则
:
单项式相乘
,
把它们的系数、
相同字母分别相乘，
对于只在一个单项式里含有的字母，
4
n
n
n
连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先
确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘
与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一
个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2
）
单项式与多项式相乘：
就
是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加。
即单项式
乘以多项式，
是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个
多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符
号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
3
）多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把
所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项
，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个
多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数
是
1
的两个一次二项式相乘
(
x
a
)(
x
b
)
x
2
(
a
b
)
x
ab
，
其二次项系数为
< br>1
，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对
于一次项
系数不为
1
的两个一次二项式
（
mx+a
）和（
nx+b
）相乘可以得
(
mx<
/p>
a
)(
nx<
/p>
b
)
mnx
2
(
mb
na
)
ab
。
第二节：乘法公式
1.
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即
(
a
b
)(
a
b
)
a
b
。
< br>
其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第
二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
2.
完全平方公式
< br>两数和
（或差）
的平方，
等于它
们的平方和，
加上
（或减去）
它们的积
的
2
倍，
即
(
a
b
)
a
2
ab
b
。
口决：首平方，尾平方，
2
倍乘积在中央。
结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减
去这两项乘积的
2
倍。
在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现
(
a
b
)
a
b
这样的错误。
添括号法则：添括号是，如果括号前
面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号。即添正不变号，添负各项变号。
去括号法则同样。
第三节：整式的除法
1.
同底数幂的除法法则：一般地，有
a
a
a
(
a
≠
0
，
m
、
n
都是正整数，且
m
>
n
)
，即同底数幂相
除，底数不变，指数相减。
在应用时需要注意以下几点
:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且
0
不能做除数，所以法则中
a
≠
0
。
②任何不等于
0
的数的
0
次幂等于
1
，即
a
1
(
a
0
)
,
如
10
0
=1
，
(
-2.5
< br>)
0
=1
，则
< br>0
0
无意义。
5
0
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
m
n
m
n
③任何不等于
0
的数的
-p
次幂
(
p
是正整数
)
，等
于这个数的
p
的次幂的倒数，即
a
p
1
(
a
≠
0
，
p
是正
p
a
整数
),
而
0
-1
，
0
-3
都是无意义的；当
a
>
0
时，
a
-p
的值一定是正的；当
a
<0
时，
a
-p
的值可能是正也可能是负的，
如
(
2
)
2
< br>
1
1
1
1
3
(
2
)
，
；
2
3
(
2
)
4
< br>(
2
)
8
④运算要注意运算顺序。
2.
整式的除法
1
）单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因
式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的
指数作为商的一个因式；
2
）多项式除以单项式
多项式除以单
项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
特点：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要
特别注意符号。
第四节：因式分解
把一个
多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分
< br>解因式。因式分解与整式乘法是互逆关系。
因式分解与整式乘法的区别和联系：
（
1
）整式
乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；
（
2
）因式
分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
分解因式的一般方法：
1.
提公共因式法
如果一
个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积
< br>的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如：
ab
ac
a
(<
/p>
b
c
)
。
概念内涵：
（
1
）因式
分解的最后结果应当是“积”
；
（
2
）公因
式可能是单项式
,
也可能是多项式；
（
3
）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：
ma
mb
mc
m
(
a
b
< br>c
)
易错点点评：
（
1
）注意项的符号与幂指数是否搞错；
（
2
）公因式是否提“干净”
；
（
3
）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为
+1
，不漏掉。
2.
运用公式法
如果把
乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
主要公式：
（
1
）平方差公式：
a
b
(
< br>a
b
)(
a
b
)
2
2
2
（
2
）完全平方公式：
a
2
ab
b
(
a
b
)
a
2
ab
b
(
a
b
)
2
2
2
2
2
易错点点评：
因式分解要分解到底。如
< br>x
y
(
x
y
)
(
x
y
)<
/p>
就没有分解到底。
6
4
4
2
2
2
2