一元二次方程题型分类总结
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一元二次方程题型分类总结
知识梳理
、知识结构
:
解与解法
根的判别
韦达定理
兀二次方程
考点类型一概念
（
1
）
定义：「只含有一个未知数，并且
②
未知数
的最高次数是
.
2
,
< br>这样的
③
整式方程
就
是一元二次方程。
★
2
、若方程
m 2
x
門
1
0<
/p>
是关于
x
的一元一次方程，
⑴求
m
的值；⑵写出关于
x
的一元一次方程。
★★
3
、若方程
m 1
x
是
______
。
★★★
4
、若方程
nx
+x-2x
=0
是一元二次方程，则下列不可能的是（
m
2
2
..
、
m?x 1
是关于
x
的一元二次方程，则
m
的取值范围
）
例
2
、关于
x
的一元
二次方程
a 2x
x a
为
________
。
2
2
4
0<
/p>
的一个根为
0
,
则
a
的值
例
3
、已知关于
x
的一元二次方程
ax
bx c 0a
0
的系数满足
a c
b
，则
此方程
2
必有一根为
_________
。
例
4
、已知
a,b
是方程
x
4x m 0
的两个根，
b,c
是方程
y
8y 5m
0
的两
个根，
则
m
的值为
_________
。
针对练习：
★
1
、已知
方程
x
kx 10 0
的一根是
2
，则
k
为
_______________________
，
另一根是
_______________
。
2
2
2
2<
/p>
2
★
2
、已知关于
x
的方程
x
kx 2 0
的一个解与方程
⑴求
k
的值；
⑵方程的另一个解。
2
x 1
3
的解相同。
★
3
、已知
m
是方程
x
x 1
0
的一个根，则代数式
m
m
______________
。
2
★★
4
、已知
a
是
x
★★
5
、方程
abx
2
2
3x 1 0
的根，则
2a
2
6a
_________________
。
bcxcaO
的一个根为（
b c
D
0,
则
4<
/p>
x
?32
y
_____________
。
）
A
1
B 1 C
★★★
6
、若
2x
5y 3
a
考点类型三解法
2 2
例
2
、若
9
x 1
16 x 2
，则
x
的值为
________________
。
）
针对练习：
|
下列方程无解的是（
A.
x
3 2x
2
2
1
B.
x 2
2
0
C.
2x 3
1 x
D.
x
2
9
0
类型二、因式分解法
:x x
1
x
x
2
0 x
x
1
,
或
x
x
2
0
”
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“
探方程形式：如
ax m
bxn
,
x a x b x a x c
，
x
2ax a
2
2
0
⑴方法：
|
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点
：
|
降次
类
型一、直接开方法：
~|
x
mm
0, x
2
2
2
2
4m
※※对于
x a
m
，
ax m
bx n
等形式均适用直接开方法
典型例题：
2 2 2
例
1
、解方程：
1 2x 8
0;
2 25 16x
=0;
3 1x90;
典型例题：
例
1
、
2x
x 3
5x3
的根为
(
B x 3 C
)
5
A x
2
例
2
、若
4x
y 3 4x y 4
2
2 2
2<
/p>
2
2
2
X
i
5
, X
2
3 D x
2
2
5
0
，则
4
x+y
的值为
____________
。
变式
1
：
a
b
a
b
6
0,
则
a
b
______________________
。
变式
3
:
若
x
2
2
xy
y
14
，
y
2
xy
则
x+y
的值为
x
28
，
。
例
3
、
方程
x
X
6
0
的解为（
）
A.
x
1
3,X
2
2
B. X
1
2
x
23
3,X2
2
C.
X
1
3,X
2
3 D. X
1
2
，
X
2
2
例
4
、
解
方程：
2
1 x 2 3
4
0
0,
则乙丄的值为
x y
变式
2
:
若
x y 2 x y 3
0
,
则
x+y
的
。
例
5
、已知
2x
3xy
2y
值为
2
2
2
变式：
已知
2x
3xy 2y
0,
且
x 0, y
0,
则
的值为
________________________
x y
针对练习：
★
1
、下列说法中：
①
方程
x
px q 0
的二根为捲，
x
2
，则
x
px q
（
x
xj
（
x
x
2
）
o
2
2
②
2
x
2
6x
8 (x 2)(x 4).
6b
2
(a
2)(a 3)
(x
y)( x .
y)(
. x ,
y)
2
③
a
5ab
④
x
y
2
2
⑤
方程
(3x 1)
7 0
可变形为
(3x 1
正确的有（）
7)(3x 1 -
7) 0
★
2
、以
1
■
7
与
1
.7
为根的一元二次方程是（）
A.
x
2
2x 6
C.
y
2
2y 6
0 B
0
x
2
2x 6
y
2
2y 6
0
0
★★
3
、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为
1
,
且两根互为倒数
:
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为
1
,
且两根互为相反数
:
★★
4
、若实数
x
、
y
满足
< br>x y 3 x y 2
0
，
则
x+y
的值为（
A
、
-1
或
-2 B
、
-1
或
2 C
、
1
或
-2
4
5
、方程：
x
2
2
的解是
x
2x 6y
★★★
6
、已知
,6
x
2
xy .
6y
2
2
0
，
0
,
求
的值。
J3x y
1999x
2007x
2
2008x 1
2
1998
2000x
较大根为
r
,
方程
0<
/p>
的较小根为
s
，
则
s-r
的值为
2 2
类型三、配方法
ax bx c 0
a 0 x
b b 4ac
2a
4a
2
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问
题。
典型例题
:
例
1
、
试用配方法说明
x
2x 3
的值恒大于
0
。
例
2
、
已知
x
、
y
为实数
,
求代数式
x
y
2x 4y 7
的最小值。
2
2
例
3
、
已知
x
y
4x
2
2
6y 13
0
,
x
、<
/p>
y
为实数，求
x
y
的值。
例
4
、
分解因式：
4x
12x 3
2
针对练习
:
★★
1
、试用配方法说明
10x
7x
4
的值恒小于
0
2
1 1 1
2
★★
2
、已知
x
七
x -
XX
★★★
3
、若
t
2
为
_______
。
★ ★★
4
、如果
a
b
卜口
1
为
_____
。
4
0
，则
x
-
x
3x
2
12x 9
，贝
u
t
的最大值为
______________
，最小值
2
疔
「
4,
那么
a 2b 3c
的值
a
0,
且
b
2
4ac 0
⑴
31 x
2
⑵
x 3 x 6
8.
⑶
x
4x 1
2
0
0
⑸
3 x 1 3x 1
⑷
3x
4x 1
例
2
、在实数范围内分解因式：
(1)
x
2 .
2x 3
；
2
2
x 1 2x 5
(
2
)
4x
8x 1.
2
2
⑶
2x
4xy 5y
2
2
说明：①对于二次三项式
ax
bx
c
的因式分解，如果在有理数范围内不能分解
,
一般情况要用求根公式，这种方法首先令
2
ax
2
bx c=0
,
求出两根，再写成
ax bx c = a(x
x
1
)(x
x
2
).