《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
-
《计算方法》期中复习试题
一、填空题：
1
、
已
知
f
(
1
)
1<
/p>
.
0
,
f
(
2
)
1
.
2
,
f
(
3
)
1
.
3
，
则
用
辛
普<
/p>
生
（
辛
卜
生
）
公
式
计
算
求
得
1
3
f
(
x
)
dx
_________
,
用三点式求
得
f
(
1<
/p>
)
。
答案：
2
.367
，
0.25
2
2
、
f
(
< br>1
)
1
,
f
(
2
)
2
,
f
(
3
)
1
，则过这三点的二次插值多项式中
x
的系数为
，
拉格朗日插值多项式为
。
L
2
(
x
)
1
1
(
x
2
)(
x
3
)
2
(
x
1
)(
x
3
)
(
x
1
)(
x
2
)
2
2
答案：
-1
，
3
、近似值
x
*
0.231
关于真值
x
0
< br>.
229
有
(
2
)
位有效数字；
4
、设
f
(
x
)
可微
,
求方程
x
f
(
x
)
的牛顿迭代格式是
(
)
；
x
n
1
x
n
x
n
f
(
< br>x
n
)
1
f
(
x
n
)
答案<
/p>
3
5
、对
f
(
x
)
x
x
1
,
差商
f
[
0
,
1
,
2
,
3
]
(
1
)<
/p>
,
f
[
0
,
1
,
2
,
3
,
4
]
(
0
)
；
6
、计算方法主要研究
(
截断
)
误差和
(
舍入
)
误差；
7
、用二分法求非线性方程
f
(
x
)=0
在区间<
/p>
(
a
,
b
)
内的根时，二分
n
次后的误差限为
b
a
n
1
(
2
)
；
8
、
已知
f
(1)<
/p>
＝
2
，
f
(2)
＝
3
，
f
(4)
＝
5.9<
/p>
，
则二次
Newton
< br>插值多项式中
x
2
系数为
(
0.15
)
；
11
、
两点
式高斯型求积公式
0
度为
( 5 )
；
y
10
3
4
6
x
1
(
< br>x
1
)
2
(
x
1
)
3
的乘除
法次数尽量地少，
应将该表
1
x
1
，为了减少舍
入误差，应将表达式
1
f
(
x
)
d
x
≈
(
0
1
1
3
1
3
1
f<
/p>
(
x
)
d
x
[
f
(
)
f
(
)]
2
2
< br>3
2
3
)
，
代数精
12
、
为了使计算
达式改写为
y
10
(
3
(
4
<
/p>
6
t
)
t
)
t
,
t
1
2
2001
1999
改写为
200
1
1999
。
3
13
、
<
/p>
用二分法求方程
f
(
x
)
x
x
1
<
/p>
0
在区间
[0,1]
内的根
,
进行一步后根的所在区间
为
0.5
，
1
,
进行两步后根的所在区间为
0.5
，
0.75
。
14
、
计算
积分
0
.
5
1
x
d
x
,
取
4
位有效数字
。用梯形公式计算求得的近似值为
0.4268
，
用辛卜生公式计算求得的近似值为
0.4309
，梯形公式的代数精度为
1
，辛卜
生公式的代数精度为
3
。
15
、
设<
/p>
f
(
0
)
0
,
f
(
1
)
16
,
f
(
< br>2
)
46
,
则
l
1
(
x
)
l
1
(
x
)
x
(
x
2
)
，
f
(
x
)
的二次牛顿
插
值多项式为
N
2
(
x
)
16
x
7
x
(
x
1
)
。
f
(
x
)
d
x
A
k
f
(
x
k
< br>)
a
k
0
16
、
求积公式
的代数精度以
(
高斯型
)
求积公式为最高，具
有
(
2
n
1
)
次代数精度。
17
、
已知
f
(1)=1,
f
(3)=5,
f
(5)=-3,
用辛普生求积公式求
1
< br>5
b
n
f
(
x
)
d
x
≈(
12
)
。
18
、
设
f
(1)=1
，
f
(2)=2
，
f
(3)=0
，用三点式求
f
(
1
)
(
2.5
)
。
3
19
、如果用二分法求方程
x
x
4
< br>
0
在区间
[
< br>1
,
2
]
内的根精确到三位小数，需对分
（
10
）次。
x
3
0
x
1
S
(
x
)
1
3
< br>2
(
x
1
)
a
(
x
1
)
b
(
x
1
)
c
1
x
< br>
3
2
20
、已知
是三次样条函数，则<
/p>
a
=(
3
)
，
b
=
（
3
）
，
c
=
（
1
）
。
21<
/p>
、
l
0
(
x
),
l
1
(
x
),
,
l
n
(
x
)
是以整数点
x
0
,
x
1
,
,
x
n
为节点的
Lagrange
插值
基函数，则
l
k
0
n
k
0
n
k<
/p>
(
x
)
4
k
(
1
)
，
x
l
k
0
n
k
j
(
x
k
)
(
x
j
)<
/p>
，
当
n
2
时
4
2
(
x
x
< br>3
)
。
22<
/p>
、区间
a
,<
/p>
b
上的三次样条插值函数
S
(
x
)
< br>在
a
,
b
上具有直到
_____2___
__
阶的连续导
(
< br>x
2
x
k
3
)
l
k
(
x
)
数。
1
)
的
形
式
，
使
计
算
结
果
较
精
确
23
、
改
变
函
数
f
(
x
)
x
1
x
(
x
1
f
x<
/p>
x
1
x
。
24
、若
用二分法求方程
f
x
0
在区间
[1,2]
内的根，要求精确到第
3
< br>位小数，则需要对
2
分
10
次。
<
/p>
2
x
3
,
0
x
1
S
x
3
2
x
ax
bx
c
,
1
x<
/p>
2
是
3
次样条函数，则
25
、设
a=
3
,
b= -3
, c=
1
。
26<
/p>
、若用复化梯形公式计算
0
477
个求积节点。
1
e
x
dx
，要
求误差不超过
10
，利用余项公式估计，至少用
6
4
f
(
x
)
3
x
2
x
1
< br>，则差商
f
[
2
,
4
,
8
,
16
,
32
]
3
。
27
、若
1
2
f
(
x
)
d
x
[
1
(
f
8
< br>)
0
f
(
)
1
f
(
)
]
1
9
28
、
数
值
积
分
公
式
的
代
数
精
度
为
2
。
选择题
1
、三点的高斯求积公式的代数精度为
(
B
)
。
A
．
2
B
．
5
C
．
3
D
．
4
2
、舍入误差是
(
A
)
产生的误差。
A.
只取有限位数
B
．模型准确值与用数值方法求得的
准确值
C
．
观察与测量
D
．数学模型准确值与实际值
3
、
3.141580
是π的有
(
B
)
位有效数字的近似值。
A
．
6
B
．
5
C
．
4
D
．
7
4
、用
1+
x
近似表示
e
x
所产生的误差是
(
C
)
误差。
A
．
模型
B
．
观测
C
．
截断
D
．
舍入
x
3
5
、用
1+
3
近似表示
1
x
所产生的误差是
(
D
)
误差。
A
．
舍入
B
．
观测
C
．
模型
D
．
截断
6<
/p>
、
-324
．
7
500
是舍入得到的近似值，它有
(
C
)
位有效数字。
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
8
7
、设
f
(-1)=1,
f
(0)=3,
f
(2)=4,
则抛物插值多项式中
x
2
的系数为
(
A
)
。
A
．
–
0
．
5
B
．
0
．
5
C
．
2
D
．
-2
8
、三点的高斯型求积公式的代数精
度为
(
C
)
。
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
2
9
、
( D )
的
3
位有效数字是
0.236
×
102
。
(A) 0.0023549
×
103
(B) 2354.82
×
10
－
2
(C) 235.418
(D)
235.54
×
10
－
1
10
、
用简单迭代法求方程
f(x)=0
的实根，
把方程
f(x)
=0
表示成
x=
(x)
，
则
f(x)=0
的根是
3
(
B
)
。
(A) y=
(x)
与
x
轴交点的横坐标
(B)
y=x
与
y=
(x)
交点的横坐标
(C) y=
x
与
x
轴的交点的横坐标
(D) y=x
< br>与
y=
(x)
的交点
11
、拉格朗日插值多项式的余项是
(
B
),
牛顿插值多项式的余项是
( C
)
。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x
－
x1)(x
－
x2)…(x
< br>－
xn
－
1)(x
－
xn)
，
f
(
n
< br>1
)
(
)
R
n
(
x
)
f
(
x
)
P
n
(
x
)
(
n
< br>1
)!
(B)
(C)
f(x,x0,x1
,x2,…,xn)(x
－
x0)(x
－
x1)(x
－
x2)…(x
－
xn
－
1)(x
－
xn)
，
(D)
f
(
n
1
)<
/p>
(
)
R
n
(
x
)
f
(
x
)
P
n
(
x
)
n
1
(<
/p>
x
)
(
n
1
)!
12
、
用牛顿切线法解方程
f(x)=0
，
选初始值
x0
满足
(
A
),
则它
的解数列
{xn}n=0,1,2,
…
一定收敛到方程
f(x)=0
的根。
(
A
)
f
(
x
0
)
f
(
x
)
0
< br>(
B
)
f
(
x
0
)
f
(
x
)
0
(
C
)
f
(
x
0
)
f
< br>
(
x
)
0
(
D
)
f
(
x
0
)
f
(
x
)
0
13
、为求方程
x3
―
x2
―
1=0<
/p>
在区间
[1.3,1.6]
内的一个根，
把方程改写成下列形式，并建
立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是
< br>(A
)
。
x
2
(A)
1
,
迭代公式
:
x<
/p>
k
1
x
1
1
x
k
1
x
1
(B)
1
1
,
迭代公式
:
< br>x
1
k
1
2
x
2
x
k
3
2
2
1
/
3
x
1
x
,
< br>迭代公式
:
x
(
1
x
)
k
1
k
(C)
(D)
x
1
x
,
迭代公式
:
x
k
1
b
3
2
2
x
k
1
2
x
k
x
k
1
< br>
14
、在牛顿
-
柯特斯求积公式：
a
f<
/p>
(
x
)
dx
(
b
a
)
C
i
(
n
)
< br>f
(
x
i
)
i
0
n
(
n
)
C
i
中，当系数
是负值时，
< br>公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（
）时的
牛顿
-
柯特斯求积公式不
使用。
（
1
）
n
8
，
（
2
）
n
7
，
（
3<
/p>
）
n
10
，
（
4
）
n
6
，
23
、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（
）
。
（
1
）二次；
（
2
）三次；
（
3
）四次；
（
4
）五次
4
4
15
、取
3
1<
/p>
.
732
计算
x
(
3
1
)
，下列方法中哪种最好？（
）
16
16
2
2
4
(A)
28
16
3
；
(B)
(
4
2
3
)
；
(
C
)
(<
/p>
4
2
3
)
；
(D)
(
3
1
)<
/p>
。
x
3
0
x
2
S
(
x
)
3
2
(
x
1
)
<
/p>
a
(
x
2
)
b
2
x
4
是
三
次
样
条
函
数
，
则
a
,
b<
/p>
的
值
为
26
、
已
知
(
) <
/p>
(
A
)6
，
6
；
(B)6
，
8
；<
/p>
(C)
8
，
6
；
(D)8
，
8
。
16
、由下列数表进行
Newton
插值，
所确定的插值多项式的最高次数是（
）
3.5
x
i
1.5
2.5
１
２
３
f
(
x
i
)
11.5
-1
0.5
2.5
5.0
8.0
(A)
5
；
(B)
4
；
(C)
3
；
(
D
)
2
。
f
(
x
)
dx
A
1
f
(
x
1
)
A
2
f
(
x
2
)
A
3
f
(<
/p>
x
3
)
17
、形如
a
的高斯
（
Gauss
）型求积公式的代数精
度
为（
）
(A)
9
；
(B)
7
；
(
C
)
5
；
(D)
3
。
b
18
、计算
3
的<
/p>
Newton
迭代格式为
(
)
x
x
x<
/p>
x
3
3
2
3
x
k
1
k
x
k
1
k
x
k
1
k<
/p>
x
k
1
k
2
x
k
；
(
B
)
2
2
x
k
；
(C)
2
x
k
；
(D)
3
x
k
。
(A)
1
10
3
3
2
2
19
、用二分法求方程
< br>x
4
x
10
0
在区间
[
1
,
2
]
内的实根，要求误差限为
，
则对分次数至少为
(
)
(
A
)10
；
(B)12
；
(C)8
；
(D)9
。
20
、
设
l<
/p>
i
(
x
)
是以
x
k
k
(
k
0
,
1
,
< br>,
9
)
为节点的
Lagrange
插值基函数，
则
k
0
(A)
x
；
（
B
）
k
；
（
C
）
i
；
（
D
）
1
。
33
、
5
个节点的牛顿
-
柯特斯
求积公式，至少具有
(
)
次代数精度
(
A
)5
；
(B)4
；
(C)6
；
(D)3
。
kl
(
k<
/p>
)
i
9
(
)
x<
/p>
3
0
x
2
S
(
x
)
3
2
(
x
1
)
a
(
x
<
/p>
2
)
b
2
x
4
是三次样条函数，则
a
,
b
的值为
(
)
21
、已知
(
A
)6
，
6
；
(B)
6
，
8
；
(C)8
，
6
；
(D)8
，
8
。
3
35
、已知方程
x
2
x
5
0
在
x
2
附近有根，下列迭代格式中在
x
0
2
不收敛的是
(
)
3
5<
/p>
2
x
k
5
x
2
x
k
1
k
1
3
2
3
2
x
5
x<
/p>
x
x
x
x
5
3
x
k
1
k
k
k
k
k
2
。
(A)
；
(B)
；
(
C
)
k
1
；
(D)
22
、由下列数据
0
1
2
3
4
x
1
2
4
3
-5
f
(
x
)
确定的唯一插值多项式的次数为
(
)
(
A
)
4
；
(B)2
；
(C)1
；
(D)3
。
5
23
、
5
个节点的
Gauss
型求积公式的最高代数精度为
(
)
(A)8
；
(
B
)9
；
(C)10
；
(D)11
。
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打
，否则打
）
1
，
2
，
，
m
)
,
用最小二乘法求
n
次拟合多项式
P
n
(
x
)
时，
1
、已知观察值
(
x
i
，
y
i
)
(
i
0
，
P
n
(
x
)
的次数
n
可以任意取。
(
)
x
2<
/p>
2
、用
1-
2<
/p>
近似表示
cos
x
产生舍入误差。
(
)
(
x
<
/p>
x
0
)(
x
x
2
)
3
、
(
x
1
x
0
< br>)(
x
1
x
2
)
表示在节点
x
1
的二次
(
拉格朗日
)
插值基函数。
(
) <
/p>
4
、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利
用前一次插值的结果。
(
)
3<
/p>
1
1
2
5
3
1
2
5
具有严格对角占优。
(
)
5<
/p>
、矩阵
A
=
<
/p>
四、计算题：
1
1
f
(
x
)
dx
A
[
f
(
1
)
f
(
1
)]
B
[
f
(
)
f
(
)]
<
/p>
1
2
2
的代数精度尽量
1
、求
A
、
B
使求积公式
< br>1
高
,
并求其代数精度；利用此
公式求
2
答案：
f
(
x
)
1
,
x
,
x<
/p>
是精确成立，即
I
2
1
1
dx
x
(
保
留四位小数
)
。
2
A
2
B
2
<
/p>
1
2
1
8
2
A
B
A
,
B
2
3
得
9
9
1
8
1
1
f
(
x
)
dx
[
f
(
1
)
f
(
1
)]
[
f
(
)
f
(
)]
1
9
9
2
2
求积公式为
1
2
1
3
4
当
f
(
x
)
x
时，公式显然精确成立；当
f
(
x
)
x
时，左
=
5
，右<
/p>
=
3
。所以代
数
精度为
3
。
6
1
2
、已知
2
1
t
2
x
3
1
1
1
1
1
8
1
1
dx
dt
< br>[
]
[
]
1
t
3
x
9
1
3
1
3
9
1
/
< br>2
3
1
2
3
9
7
0
.
6<
/p>
9
2
8
6
140
x
i
f
(
x
i
)
1
2
3
6
4
5
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿
插值法求
f
(
x
)
的三次插值多项式
P
3
(
x
)
，并求
f
(
2
)
的近似值（保留四位小数）
。
答案：
L
3
(
x
)
2
(
x
3
)(<
/p>
x
4
)(
x
5
)
(
x
1
)(
x
4
)(
x
5
< br>)
6
(
1
3
)(
1
4
)(
1
5
)
(
3
1
)(
3
4
)(
3
5
)
5
(
x
1
)(
x
3
)(
x
5
)
(
x
1
< br>)(
x
3
)(
x
4
)
4
(
4
1
)(
4<
/p>
3
)(
4
5
)
(
5
1
)(
5
3
)(
5
4
)
< br>
差商表为
x
i
1
3
4
5
y
i
2
6
5
4
一阶均差
2
-1
-1
二阶均差
-1
0
三阶均差
1
4
P
3
(
x
)
N
3
(
x
)
< br>2
2
(
x
1
)
(
x
1
)(
x
3
)
1
(
x
1
)(
x
3
)(
x
4
)
4
f
(
2
)
P
3
(
2
)
5
.
< br>5
5
、已知
x
i
f
(
x
i
)
-2
4
-1
2
0
1
1
3
2
5
求
f
(<
/p>
x
)
的二次拟合曲线
p
2
(
x
)
，并求
f
(
0
)
的近似值。
答案：解：
i
x
i
y
i
x
i
2
x
i
3
x
i
4
x
i
y
i
x
i
2
y
i
7
0
1
2
3
4
-2
-1
0
1
2
0
4
2
1
3
5
15
4
1
0
1
4
10
-8
-1
0
1
8
0
16
1
0
1
16
34
-8
-2
0
3
10
3
16
2
0
3
20
41
5
a
0
10
a
2
<
/p>
15
10
a<
/p>
1
3
10
a
34
a
41
2
正规方程组为
0
10<
/p>
3
11
,
a
1
,
a
2
7
10
14
10
3
11
3
11
(
x
)
p
2
(
x
)
x
x
2
p
2<
/p>
x
7
10
14
10
7
3
(
0
)
f
(
0
)
p
2
< br>10
a
0
6
、已知
sin
x
区间
[0.4
，
0.8]
的函数表
x
i
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
i
0.38942
0.47943
0.56464
0.64422
0.71736
如用二次插值求
sin
0
.<
/p>
63891
的近似值，
如何选择节点才能
使误差最小？并求该近似
值。
答案：解：
应选三个节点，使误差
|
R
2
(
x
)
|
M
3
|
< br>3
(
x
)
|
3
!
尽
量小，即应使
|
3
< br>(
x
)
|
尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
{
0
.
5
,
0<
/p>
.
6
,
0
.
7
}
最好，实际计
算结果
sin
0
.
63891
0
.
596274
，
且
sin
0
.
63891
0
.
596274
1
(
0
.
63891
0
.
5
)(
0
.
< br>63891
9
0
.
6
)(
0
.
63891
0
.
7
)
3
!
0
.
55032
10
4
8