浅谈中学数学解题思想和方法本科毕业论文
-
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
南
京
师
范
大
学
泰
州
学
院
毕
业
论
文（设
计）
（一
六
届）
题
目：
浅谈中学数学解题思想和方法
院（系、部）
：
数学科学与应用学院
专
业：
数学与应用数学
姓
名：
学
号
指导教师：
南京师范大学泰州学院教务处
制
毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文）
，是我个人在指导教
师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
尽我所知，
除文中
特别加
以标注和致谢的地方外，
不包含其他人或组织已经发表或
公布过的研
究成果，
也不包含我为获得
及其它教育机构的学位或学历
而使用过的材料。对本研究提供过
帮助和做出过贡献的个人或集体，
均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
作
者
签
名：
日
期：
指导教师签名：
日
期：
使用授权说明
本人完全了解
大学关于
收集、保存、使用毕业设计（论
文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的
印刷本和电
子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供
目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制
手段
保存论文；
在不以赢利为目的前提下，
学校可以公布论文的部分
或全部内容。
作者签名：
日
期：
学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研
究所取得的研
究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，
本论文
不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
对本文的研
究做出重要贡献的个人和集体，
均已在文中以明确方式标明。
本人完
全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名：
日期：
年
月
日
学位论文版权使用授权书
本学位论文
作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，
同意学校保留并向国家有关部门或机
构送交论文的复印件和电子版，
允许论文被查阅和借阅。本人授权
大学可以将本学位
论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，
可以采用影印、
缩
印或扫描等复制手段保存和汇编
本学位论文。
涉密论文按学校规定处理。
作者签名：
日期：
年
月
日
导师签名：
日期：
年
月
日
注
意
事
项
1.
设计（论文）的内容包括：
1
）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）
2
）原创性声明
3
）中文摘要（
300
字左
右）
、关键词
4
）外文摘要、关键词
5
）目次页（附件不统一编入）
6
）论文主体部分：引言（或绪论）
、正文
、结论
7
）参考文献
8
）致谢
9
）附录（对论文支持必要时）
2.
论文字数要求：
理工类设计
（论文）
正文字数不少于
1
万字
（不包括图纸、
程序清单等）
，
文科类论文正文字数不少于
1.2
万字。
3.
附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（
复印件）
。
4.
文字、图表要求：
1
）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错<
/p>
别字，不准请他人代写
2
）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所
有图
纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，
布局合理，
文字注释必
须使用工程
字书写，不准用徒手画
3
）毕业论文须用
A4
单面打印，论文<
/p>
50
页以上的双面打印
4
）图表应绘制于无格子的页面上
<
/p>
5
）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档
5.
装订顺序
1
）设计（论文）
< br>2
）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装
订
指导教师评阅书
指导教师评价：
一、撰写（设计）过程
1
、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、学生掌握专业知识、技能的扎实程度
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
3
、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力<
/p>
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
4
、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
5
、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
二、论文（设计）质量
1
、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？<
/p>
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
三、论文（设计）水平
1
、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
3
、论文（设计说明书）所体现的整体水平
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
建议成绩：
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
（在所选等级前的□内画“√”）
指导教师：
（签名）
单位：
（盖章）
年
月
日
评阅教师评阅书
评阅教师评价：
一、论文（设计）质量
1
、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？<
/p>
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
二、论文（设计）水平
1
、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
3
、论文（设计说明书）所体现的整体水平
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
建议成绩：
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
（在所选等级前的□内画“√”）
评阅教师：
（签名）
单位：
（盖章）
年
月
日
教研室（或答辩小组）及教学系意见
教研室（或答辩小组）评价：
一、答辩过程
1
、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、对答辩问题的反应、理解、表达情况
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
3
、学生答辩过程中的精神状态
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
二、论文（设计）质量
1
、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？<
/p>
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
三、论文（设计）水平
1
、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
2
、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
3
、论文（设计说明书）所体现的整体水平
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
评定成绩：
□
优
□
良
□
中
□
及格
□
不及格
教研室主任（或答辩小组组长）：
（签名）
年
月
日
教学系意见：
系主任：
（签名）
年
月
日
1
摘要
：随着社会经济的不断发展
,
教育事业
的不断推进，数学成为一门必修的学
科。本文就是针对数学学习过程中常遇到的问题研究
常见的数学解题思想和方
法：方程和函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类和整合
思想、配方法、
换元法、待定系数法、定义法等。研究这些数学解题思想和方法，首先要
对其的
发展起源有一定的了解以及进行简单的概述；
其次在每一
节内容对这些数学解题
思想、
方法进行简单的叙述；
最后利用例题再现的形式对每种解题思想和方法进
行详细的解答和分析。<
/p>
关键词
:<
/p>
解题思想和方法；方程和函数思想；转化思想；配方法；换元法
Abstract:
With
the
continuous
development
of
social
economy,
the
continuous
development
of
education,
mathematics
has
become
a
compulsory subject. This article is in
view of mathematics learning often
encountered
in
the
process
of
common
mathematical
problem
solving
ideas
and
methods:
function
and
equation
thought,
transforming
ideas,
combined
with
thought,
classification
and
integrated
thinking,
method,
change
element
method,
method
of
undetermined
coefficient,
definition
method.
These
mathematical
problem
solving
ideas
and
methods
of
research,
first
of
all
to
the
origin
and
development
have
certain
understanding and for a simple
overview; second in each section of the
content
and
method
of
the
thought
of
mathematical
problem
solving
of
simple
narrative;
the
final
rendering
using
examples
in
the
form
of
on
every kind of problem
solving thinking thought and methodology detailed
explanation and analysis.
Key
words:
problem-solving
ideas
and
methods
of
the
ideological
function
of
the
ideological
function
of
the
method
of
changing
the
method of changing the method of
undetermined coefficient method
2
目录
1
绪论
..............
.....................................
4
1.1
数学解题思想的起源及发展史
..................................
4
1.2
研究数学解题思想和方法的目的与意义
..........................
4
2
中学数学解题思想的介绍
.................................
5
2.1
函数和方程思想
.........
.....................................
5
2.2
转化思想
............
........................................
5
2.3
分类与整合思想
.........
.....................................
7
2.4
数形结合思想
..........
......................................
7
3
中学数学解题的基本方法
...............................
10
3.1
配方法
.............
........................................
1
0
3.2
换元法
.
.....................................
................
1
1
3.3
待定系数法
< br>.
...................................
..............
1
1
3.4
定义法
................................................ .....
1
2
3.5
数学归纳法
..............................................
...
1
3
3.6
参数法
................................................ .....
1
4
3.7
反证法
................................................ .....
1
6
4
总结和启示
............................................
17
谢
辞
...............
....................................
18
参考文献
............
....................................
19
3
1
绪论
1.1
数学解题思想的起源及发展史
在我国
古代，
就已经出现用十进制数字的方法表示大数；
到秦朝和汉朝
时期，
十进制表示形式已经发展到完满的时期。公元一世纪之前出现了《九章算术》
，
上面已载了只有位值制才有可能运用开平方、
开立方的计算法则，
并载有分数的
各种运算形式和解线性联
立方程组的具体方法，
同时引入负数的概念。
在殷墟出
现了很多记数的甲骨文。从一到十，十到百、千、万记为专用的记数文字，一共
< br>有
13
个独立符号。在《史记•夏本记》中提到夏禹治水
时使用了规、矩、准、绳
等工具进行测量和作图，从而发现“勾三股四弦五”这个勾股定
理的特例，在西
方称为“勾股定理”
。战国时期，
《考工记》规范了手工业技术，其中包含了一些
测量的内容和方法，涉及到几
何知识。从秦汉、魏晋南北朝，共
400
年间的数学
发展历史征程。
国外对数学思想的出现也很早，
例如：埃及很早就在不知道位值制时用十
进记数法，只是用特殊符号表示每一个较高的单
位。公元前
19
世纪到公元前
6
世纪，
美索不达米亚地区的文化为巴比伦文化
,
相应的数学称为巴比伦数学。
在
玛雅
对于数学的认识完全来自于玛雅时代的石刻。印度数学最早有文字记录的
是吠陀时代，其
数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中。
1.2
研究数学解题思想和方法的目的与意义
在当今社会环境下，各行业的竞争相当的强大。但是“望子成
龙”
“望女成
凤”这种观念几乎存在每一位家长的心里。那么想
要子女成龙成凤的途径就是
希望孩子有很好的成绩。又有一句话说“学会数理化，走遍天
下都不怕”
，所以
数学的学习是非常重要的。在教育事业上，检
测一名学生是否掌握了某一学科
的知识，
就是通过一系列的考试
，
而对于人才的筛选也需要通过一系列的考试。
这样会遇到各式
各样的题目，想要通过考试，就是要会运用正确方法去解题。
所以，研究中学数学解题思
想和方法的的目的在于寻找用更短的时间有效的解
决数学的问题，从而培养学生的数学思
想，提高学生学习的效率，从而提高学
生成绩。
在教师教学方面要重视数学思想教学提炼的方法和应用。
因为数学解题思想<
/p>
和方法的渗透与训练促进教师数学素养的提高。
教师进行数学解题
思想和方法的
研究，
更利于教师行为的完善和教师素质的可持续
发展。
还可以帮助教师理解数
学专业结构中的目标领域，
教师在教学过程中合理利用教材中的转化因素，
使学
< br>生初步运用数学解题思想和方法。
有助于学生形成良好的数学认知结构，
利于知
识转化为能力。
4
2
中学数学解题思想的介绍
2.1
函数和方程思想
< br>什么是函数和方程思想？总地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化
已知与
未知的关系；
对函数和方程思想的考查，
在用函数和方程思想指
导解题时
要经常思考下面一些问题
:
要
把一个代数式看成一个函数；把字母看作变量；考
虑函数有的性质；
如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，
需要构造一个函
数来帮助解题，
把一个等式看作为一个含未知数的方程，
从而
求这个方程的根以
及考虑方程的根满足的要求。下面的例子就是很好的说明函数和方程的
思想：
例
1
．
已
知
实
数<
/p>
a
,
b
分
别
满
足
a
3
3
a
2
5
a
1
，
b
3
3
b
2<
/p>
5
b
5
，
则
a
b
_
_
_
_
_
_
_
_
_
解：已知的等式都是三次方程，直接通过方程接触
a
,
b
有一定的困难，但是，题
< br>设的两个等式的左边的结构相似，
可以用统一的式子来表示这两个等式，
对题设
的两个等式变形为
(
a
1
)
3
2
(<
/p>
a
1
)
2
,
(
b
1
)
3
2
(
b
1
)
2
根据
这两个等式的特征，构造函数
f
(
x<
/p>
)
x
3
2
x
，
函数
f
(
x
)
是一个奇函数，又是
R
上的增函数，则有
f
(
a
1
)
2
,
f
(
b
<
/p>
1
)
2
于是，
f
(
a
1
)
f
(
b
1
)
f
(
1
b
)
，因而得
a
1
1
b
所以<
/p>
a
b
2
此题做到了把一个代数式看成一个函数，
把字母看作变量，考虑函数的性质，
构
造一个函数来帮助解题，
把一个等式看作为一个含未知数的方程，
从而求这个方
程的根以及考虑方程的根满足的要求，充分体现了函数和方程的思想。
2.2
转化思想
转化思想是指在解决问题时，
采用某
种手段使之转化，
进而使问题得到解决
的一种解题策略，是数学
学科与其它学科相比，
一个特有的数学思想方法，
转化
5
思想的核心是
把生题转化为熟题。
事实上，
解题的过程就是一个缩小已知与求
解
的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，
因此每解一道题，无论是难题还是易题，
都离不开化归。
把新问题转化为已解决
的问题。例如下面这道题的解题思想就是对转化思想的
一个说明
:
例
2
：
如
图
2-1
，
在
直
三
棱
柱
ABC
A
1
B
1<
/p>
C
1
中
，
底
面
为
直
角
三
角
形
，
ACB
90
,
AC
6,
BC
CC
1
2
< br>，
P
是
BC
1
上一动点，则
CP
PA
1
的最小值
是
___________
C
A
B
P
A
1
B
1
图
1
三棱柱图
C
1
_
40
_
1
A
_
_
6
2
_
_
P
2
_
_
C
_
2
_
1
C
_
_
B
图
2
三棱柱切割图
【分析】
：如图
2-2
，连结
A
1
B
，沿
BC
1
将
CBC
1
展开与
A
1
BC
1
在同一个平面内，
连
A
1
C
，则
A
1<
/p>
C
的长度就是所求的最小值
.
通过计算可得：
AB
AB
40
,
AC
1
1
< br>
6
,
BC
2
2,
所以
AC
1
1
B
90
，
1
1
<
/p>
38,
AB
1
又
BC
1
C<
/p>
45
,
于是
,
AC
1
1
C
135
由余弦定理
可求得
A
1
C=5
2
本题把立体几何问题转化为平面几何问题
,
把沿表面两点的距离问题转化为平面
6