数学思想论文
-
关于若干数学思想的中学教学策略研究
摘要：
数学的基本知识和技能、
基本思想和
方法对一个人的发展起着潜移默
化的作用
.
课程标准中指出：教师应该帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识
和技能、
数学思想和方法，
使学生学会运用数学的思维方式解决问题、
认识世界
.
在新课改和素质教育的大背景下，<
/p>
中学数学课程中强化数学思想教学显得尤为重
要，数学思想的教学
既能减轻学生学习负担、
提高课堂效率，
又能提升学生的思
维品质、培养创新精神
.
关键词：
数学思想；教学策略；数学能力
1
引言
<
/p>
数学的历史不只是一些新概念和新定理的简单堆砌
,
它还包含着数学思想和
方法的积淀、发展和演进
.<
/p>
数学思想，是对数学知识和方法的本质认识，它是数
学思维的结晶
和概括，它直接支配着数学的实践活动，是解决问题的灵魂
.
1.1
数学思想的概念意义
刘黎明老师总结出了数学思想的含义
.
[1]
人们最初的数学活动经验，实际上
就是原始的数学思想方法
.
“数学思想”比一般的“数学概念
”具有更高的抽象
概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻
.
“数学
思想”是与其相应的“数学方
法”的精神实质与理论基础，
“数学方法”则是实
施相关的“数
学思想”的技术与操作程式
.
数学的思想和方法没有十分明确的
界
线，与方法相比较，思想具有更高的抽象层次，一般只是提示思考的方向，而没
有明确具体的操作步骤，
是对数学的概念、
原理、方法等本质的认识，是方法
的概括和提炼，数学思想常常表现为数学方法的形式<
/p>
.
中学数学用到的各种数学
方法
,
都体现着一定的数学思想
.
1.2
数学思想在中学教学中的地位
现行教材中蕴含了多种数学思想和方法，
宋文媛老师指出中学数
学教学应贯
穿两条主线：
一条是数学
知识的教学，
另一条是数学思想和方法的教学
.
[2]
数学
教师应注重数学思想方法的教学，
充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思
想和方法，设计数学思想
方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、
及时总结，用数学思想方法武装学
生，使学生真正成为数学的主人
.
不仅教师意识到数学思想在
中学中的地位，
国家有关部门也出台相应的文件
强调数学思想的
地位
.
郭明星老师指出了新课标中数学思想的内容
.
[3]
2001
年
7
月颁布的
《全日制义务教育数学课程标准
(
实验稿
)
》，
在课
程目标的开头就明确
要求
:
“获得适应
未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识
(
包括数学事
实、
数学活动的经验
)
以及基本的数学思想方法和必要的应用技能„„教师应该
帮助学生真正理解和
掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法”
.
2003<
/p>
年
4
月颁布的《普通高中数学课程标准<
/p>
(
实验
)
》，在
第二部分课程目标中指出“获得
必要的数学基础知识和基本技能„„体会其中所蕴含的数
学思想和方法”
.
1.3
中学中常见的数学思想
陈静仁老师总结了一些数学思想
.
[4]
在数学发展的历史过程中
,
国内外数学
家都比较重视数学思想的探讨，特别是
17
世纪以后，形成了许多重要的数学思
想，主要有五种：猜证结合思想；分类和分布思想；
化归思想；数形结合思想；
函数和方程思想
.
< br>除此之外
,
还有：公理化、符号化、极限思想、固本思
想等等
.
中学教材中体现的数学思想方法都是这些大的思想中细
化出来的，如代数思想，
集合对应思想，
数形结合思想，
函数方程思想，
分类讨论思想，
化归与转化思
想，
数学模型思想
.
上述数学思想教
师都应该在教学中给以体现，
在日常的教学中凡是涉及到的
数学
思想都应该结合具体实例给学上讲解，让学生反复体会，学以致用
.
数形结
合思想，函数方程思想，分类讨论思想，化归与转化思想是中学数学中最常见
，
贯穿整个中学数学的，
故本文特选取这四种数学思想具体分析
研究，
其他数学思
想的教学以此相仿
.
2
数学思想中学教学策略
数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向
.
数学中用
到的解题方法都体现着一定的数学思想，一定的数学思想要靠数
学方法去实现，
数学思想和方法常统称为数学思想方法
.
数学思想方法的教学中应该注意层次性
和渐进性、过程性、变式的策略
.
2.1
数形结合思想
2.1.1
数形结合思想的概念意义
数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想，
陆诗荣老师
总结了数形
结合的含义
.
[5]
所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言
,
数量关系与具体直观
的图像结合起来
,
利用抽象思维与形象思维的有机结合
,
借助形的具体明确来
反应数量之间的关系
,
借助数来具体描述形的本质内涵
.
用这种思想来解决数
学
问题往往可以使复杂的问题简单化
,
抽象问题具体化
.
数形结合思想既能发挥代
< br>数的优势
,
又可以充分利用图形的直观性
,
从多个角度探索问题
,
对思维能力
的发展大有裨益
.
2.1.2
数形结合思想教学的必要性
我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗
,
形象生动的阐述了数形结合
的意义
.
< br>“数与形
,
本是相倚依
, <
/p>
焉能分作两边飞
.
数缺形时少直觉
,
形缺数时难
入微
.
数形结合百般好
,
隔裂分家万事非
.
切莫忘
,
几何代数统一体
,
永远联系
,
切莫分离
.
”
可见
,
数与形二者相辅相成
,
缺一不可
.
数的抽象
,
形的具体
,
两者
珠联璧合
,
对于数学解题将有出其不意的效果
.
1
2.1.3
数形结合思想的教学策略
中学教材中很多内容都深刻的体现着数形结合思想，
如集合与逻
辑部分，
把
集合运算与韦恩图结合起来使学生很容易理解和掌握
；
三角函数部分可以用函数
图象研究函数的周期、对称轴、
单调期间；
平面解析几何部分的教学更是离不开
数形结合思想，
这部分本就是几何问题的代数刻画；
除了上
述内容外还有许多内
容都揭示着数形结合思想
.
下面选取部分内容作分析：
教材中渗透数形结合思想
：
数、
形在一定条件下相互转化是数学中最常见的
规律之一，
在函数教学中把数和形结合起来研究的方法贯穿始终
.
在研究函数是，
教师要培养学生看见函数式就立即
联想到它的图像，
结合实际图像来研究学习函
数有关知识的思维
习惯
.
函数图像与性质常常有如下对应关系：
< br>
（
1
）
定义域、值域——数轴的部分或全体
（
2
）
奇偶性——关于原点或坐标轴对称
（
3
）
单调性——图像的走势升降
（
4
）
最大值、最小值——最高点、最低点
（
5
）
有界性——能否用平行线包围函数图象
（
6
）
周期性——图像能否有规律的重复出现或叠合
在高中教材必修
4
中第一章三角函数的第四节三角函数
的图像与性质，
开始
即指出：遇到一个新函数，非常自然的是画
出它的图像，观察图像的形状
.
看看
它
有什么特点，
并借助图像研究它的性质„„本节开始用沙漏的实验做出了一个
简谐运动的图像，如图
2.1.1
简谐运动图像<
/p>
.
在此基础上，用正弦线画出比较精
确的
正弦函数
y
sin
< br>x
,
x
0,2
的图像，如图
2.1.2
正弦函数图像
.
然后根据终
边相同的角三角函数值相同以及正弦函数与余弦
函数的关系，得到了正弦函数
y
si
n
x
,
x
<
/p>
R
和余弦函数
y
cos
x
,
x
R
的图像，如图
< br>2.1.3
正弦函数和余弦函
数图像
.
图
2.1.1
简谐运动图像<
/p>
2
图
2.1.2
正弦函数图像
图
2.1.3
正弦函数和余弦函数图像
教材在作完这些图后给出了思考问题：
在作出正弦函
数的图像时，
应抓住哪
些关键点？通过分析归纳出了近似的“五
点（画图）法”
.
教材在此基础上安排
了一个例题，例
1
画出下列函数的简图：（
< br>1
）
y
1
sin
x
,
x
0
,2
；（
2
）
y
<
/p>
cos
x
,
x<
/p>
0,2
<
/p>
.
再次巩固了绘制函数简图的方法
.
通过上半节，
学习了图像的绘制过程，
又学习了函数图象的简单画法，
下半
节开始结合图形学习函数的
性质
.
这样根据定义，结合图形学生很容易得出了函
数性质，如正弦函数
y
sin
x
：定义域是整条数轴，
x
R
；值域是
y<
/p>
1,1<
/p>
；
3
1
函数是奇函数，
图像关于原点对称；
周期是
2
；
在
2
k
,
2
k
,
k
Z
<
/p>
2
2
1
1
上函数单调递减，
图像下降；
在
< br>
2
k
,
2
k
,
k
Z
上函数单调递增
，
2
2
<
/p>
图像上升„„
练习中强化数形结合思想
：我们来看一个例题：两个单位圆的圆心距为
1
，
在第一个圆上取点
A
.
在第
二个圆上取关于连心线对称的两个点
B
1
,
B
2
，求
AB
1
2
A
B
2
2
的最小值
.
3
解：设两个圆的圆心分别
为
Q
1
,
Q<
/p>
2
；以
Q
2
为原点，建立平面直角坐标系，如
图
2.1
.4
例题图形
.
则圆
< br>Q
1
：
x
1
y
2
2
1
，圆
Q
2
：
x
y
1
；
2
2
图
2.1.4
例题图形
令
A
x
0
,
y
0
< br>,
B
1
x
1
,
y
1
,
B
2
x
1
,
y
1
则：
AB
1
2
AB
2
2
x
< br>0
x
1
y
0
y
1
x
0
x
1
y
0
< br>
y
1
2
2
2
(
x
0
y<
/p>
0
)
2
4
x
0
x
1
2
2
2
x
1
(
x
1)
0
0
2
4
x
0
x
1
2
2
2
2
=2
4
x
0
4
x
0
x
1
2
<
/p>
4
x
0
1
x
1
2
故
AB
1
2
< br>AB
2
2
的最小值是
2.
从以上教材内容片断和例题中，
我们能感受到教材的编写意图，
也能体会到
数形
结合的妙处
.
在此，我结合杨光老师的四点教学策略
[6]
提出以下几点建议：
第一：教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣
.
这要做到
以下两点：
（
1
）展现数学美本身所蕴含的数形美感
.
（
2
）重视“数形结合”基础阶段的引导
.
第二：
教师要重视对数形结合教材内容的充分挖掘利用，
< br>让学生在数形结合
的环境中耳濡目染
.
< br>以下五方面要引起重视：
（
1
）在函数教学中重视数形结合思想
.
（
2
）在方程教学中渗透数形结合思想
.
（
3
）在不等式的教学中妙用数形
结合思想
.
（
4
）在复数教学中强化数形结合思想
.
（
< br>5
）在解析几何教学中巧用数形结合思想
.
第三：日常教学中强化数形结合思想的运用是培养学生数形结合思想的关
键
.
4
第
四：
在渗透数形结合思想的教学过程中，
指明数形结合是应注意
的问题是
培养数形结合思想的关键
.
（
1
）
数形转化结合过程中应注意三个
原则：转化等价原则，数形互补原则，
求解简单原则
.
（
2
）要善于观察图形，以揭示图形中蕴含的
数量关系
.
（
3
）培养学生正确绘制图形的能力，以反映图形中相应的数量关系
.
（
4
）确实把握数与形的对应关系，养成见数思形，见
形思数的习惯
.
2.2
函数方程思想
2.2.1
函数方程思想的概念意义
李国华老师总结出了函数方程思想的含义
.
[7]
函数与方程思想是中学数学教
学的基本思想，
函数的思想是用运动和变化的观点，
集合与对应的思想去挖掘和
分析数学问题中的数量关系建立和构造函数，
从而在解题中分析转化和处理问题
.
方程的思想就是挖
掘数学问题中的等量关系构造方程，
运用方程的性质去分析转
化
和解决问题
.
函数思想与方程思想是密切相关的，函数方程思想
就是从问题的
数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（函数，方程
，不
等式，或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系
通过适当设元建立起方程（组）或者不等式（组）然后通过解方程（组）或者不
等式（组）来使问题获解的思维方式，有时还实现函数与方程的相互转化
.
2.2.2
函数方程思想的教学必要性
考试中心对考试大纲的说明中指出：
< br>“高考把函数与方程的思想作为七种思
想方法的重点来考查，
使用选择题和填空题考察函数与方程思想的基本运算，
而
在
解答题中，则从更深的层次，
在知识的网络的交汇处，
从思想方
法与相关能力
相综合的角度进行考查
.
”函数和方程式中学数学中两个总要的基本内容，贯穿
了整个中学的教学，由此在日常教
学和总挖掘和渗透函数方程思想是很有必要
的，它既符合考试理念，又能提升学生的思维
品质
.
2.2.3
函数方程思想的教学策略
函数方程思想在教材中体现在知识网络的交汇点处，
如用待定系
数法列方程
（组）
求解函数解析式的待定系数，
函数图象与坐标轴焦点与方程根的对应关联，
用函数研究方程根与系数的关系，
函数方程的观点处理处理数列问题，
函数方程
< br>与不等式相互转化研究问题„„下面选取部分内容做探究：
首先我们来看几个例题，然后在分析对应的教学策略
.
x
例题：证明不等式
ln
1
x
(
x<
/p>
0)
.
1<
/p>
x
分析：
我们
用证明不等式的常用方法作差法和作商法都难以解决此问题，
再
一
看
，
这
个<
/p>
不
等
式
中
有
我
们
熟
悉
的
初
等
函
数
，
不
妨
构
造
一
个
函
数
5
f
(
x
)
ln
1
x
x
，利用函数单调性来证明此不等式
.
此函数在
[0,
)<
/p>
上连
1
x
续，则在
[0,
)
上可导，若
f
< br>(
x
)
0
，则
f
(
x
)
在
[0,
)
上单调增加，即得证
.
证明：
设函数
f
(
x
)
ln<
/p>
1
x
x
，
因为
f
(
x
)
在
[0,
)
连续，
故当
x
0
时，
1
x
f
(
x
)
1
1
x
x
x
<
/p>
0
，所以<
/p>
f
(
x
)
在区间
[0,
)
上单调增加，又
1
< br>x
1
x
2
1
x
2
x
，得证
.
1<
/p>
x
f
(0)<
/p>
0
，因此当
x
0
时恒有
f
(
x
)
f
(0)
，即
ln
1
x
例题：求证两个相交圆
x
2
y
2
ax
by
c
0
和
x
2
<
/p>
y
2
mx
ny
0
的公共
弦的方程是
(
a
m
)
x<
/p>
(
b
n
)
y
c
0
.
2
2
< br>x
1
y
1
ax
1
by
1
c
0
证明：设两圆的交点为
x
1
,
y
1
和
x
2
,
y
2
则有：
2
两
2
<
/p>
x
1
y
1
mx
1
ny
1
0
式相减得
(
a
m
)
x
1
(
< br>b
n
)
y
1
c
0
；同理得
(
a
m
)
x<
/p>
2
(
b
n
)
y
2
c
0
.
故点
x
1
,
y
1
和
x
2
,
y
2<
/p>
是方程
(
a<
/p>
m
)
x
(
b
n
)
y
c
0
的两个解
.
x
1
< br>,
y
1
和
x
2
,
y
2
是直线
(
a
m
)
x
(
b
n
)
y
c
< br>0
上两个相异的点，
由两点确定一条直线知
道
(
a
< br>m
)
x
(
b
n
)
y
c
0
是两个相交圆公共弦的方程
.
例题：
直线
m
：
y
kx
1
和双曲线
x
2
y
2
1
的左支交于
A
,
B
两点，
直线
l
过
点
P
(
2,0)
和线段
AB
的中点
b
2
M
，求
l
在<
/p>
y
轴的截距
b
的
取值范围
.
解析：
b
的变化是由于
k
的变化而引起的，即对于
k
的任意确定值，
b
有确<
/p>
定的值与以之对应，因此
b
是
k
的函数
.
本题实际为求
此函数的值域
.
y
kx
1
< br>(
x
1)
消去
y
得：
(
k
2
1)
x
2
2
kx
2
<
/p>
0
由
2
2
x
y
1
因为直线
m
与双曲线的左支
有两个交点，所以方程
有两个不相等的负实
< br>
=4
k
2
8(
k
2
1)
0
2
k<
/p>
数根
.
所以<
/p>
x
1
x
2
0
解得：
1
k
2
2
1
k
2
x
x
<
/p>
0
1
2
2
1
k
6