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2021年2月13日发(作者：马达加斯加的企鹅电影)

利用不定方程求解问题

1.

< br>某儿童艺术培训中心有

5

名钢琴教师和

< br>6

名拉丁舞教师，

培训中心将所有的钢琴学员

< p>
和拉丁舞学员共

76

人分别平均地分给各个老师带 领，刚好能够分完，且每位老师所带的学

生数量都是质数。

后来 由于学生人数减少，

培训中心只保留了

4

名钢琴教师和

3

名拉丁舞教

师，但每 名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？【

2012

国家】

A.36

B.37

C.39

D.41

【题干分析】此题给出的等量关系较少，很难利用数 量关系直接推断结果，但涉及到

的属性量较多，需借助不定方程思想解题。借助其中的< /p>

76

名学员的分配可列不定方程来求

解每 名教师所带学生人数。题中提到质数，敏感的想到“

2

”这个数 字。

【答案】Ｄ。解析：根据题干可设每位钢琴教师带

x

名学生，每位拉丁舞教师带

y

名学

生，且

x

、

< p>
y

为质数，由此列出不定方程

5

< br>x

＋

6

y

＝

76

。对于此不定方程，先根据奇偶性缩小

范围：

6

y

是偶数，

76

是偶数，则

5

x< /p>

为偶数，即得

x

为偶数，然而

< p>
x

又为质数，根据“

2

是

唯一的偶质数”可知，

x

为

< p>
2

，代入不定方程得

ｙ＝

11

。则最终学员人数为

4×

2+3×

11=41

，

答案选

< br>D

。

【

总结

】

对于等量关系少，

属性量多的 题目常用基本方法即不定方程法。

列不定方程较

为简单，

关键是如何能快速解出不定方程。

解决不定方程的常用方法就是同余特 性中的整除、

奇偶、

质合、尾数法等特性。奇偶性是遇到不定方 程首先想到的方法，

如果未知数系数的尾

数为

< br>0

或

5

，

需要结合尾数法解题，

若方程中除某量外都是某数的倍数，

则 要想到整除特性。

另外需要注意，不定方程中涉及到质合性时经常考查“

2

是唯一的质偶数”这个特性。

1

．

一个质数的

3

倍与另一个质数的

2

倍之和等于

20

，

那么这两个质数的和是

（

）

。

【< /p>

2011

吉林】

A.9

B.8

C.7

D.6

【答案】

A

< br>。解析：设这两个质数分别为

x

、

y

，则根据题干可列方程

3x+2y=20

< br>。其中

2

y

为偶数，

< p>
20

为偶数，则

3

x

必为偶数，

x

为偶数，又知

x

是质数，所以

x

只能为

2

，代入

不定方程可得

y=

7

，则

x+y

=9

。故答案为

A

。

2.

某单位向希望工程捐款，

其中部门领导每人捐

50

元，

普通员工每人捐

20

元，

某部门

所有人员共捐款

320

元，

< br>已知该部门总人数超过

10

人，

问该部门可能有几名部门领导？

【

2013

山东】

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】

B

。解析：设领导有

x

人，普通员工

y

人，则根据题意有

< p>
50

x

+20

y

=320

，化简

得

5< /p>

x

+2y=32

。其中

< br>2

y

是偶数，

32

为偶数，则

5

x

必然是偶数 ，

x

为偶数，排除

A

< br>、

C

。若领

导为

4

人，

则普通员工为

(320 -

50×4)÷20=6

人，总人数没有超过

< br>10

，故领导为

2

人，答案

选

B

。

3.

一个三位自然数，把它十位上的数字去掉后变成的两位数是原来三位 数的七分之一。

问这样的三位数有几个？【

2013

< p>
甘肃贵州】

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】Ｂ。解析：设这个三位数百、十、个位分别为

a

，

b

，

c

，则根据题 干可列方程

7×

（

10

a

＋

c

）＝

< br>100

a

＋

10

b

＋

c

，整理得

3

c

＝

5

< br>（

3

a

＋

b

），等式右边为

5

的倍数，则

3

c

必为

5

的倍数，故

c

只能取

5

，于是可得

3=3

a

+

b

，由于

a

不能为

0

，易得

b

< p>
=0

，

a

=1

< p>
。所以只有

105

这一个数能满足题干条件。答案 选

B

。

4.

甲、乙两种笔的单价分别为

7

元、

3

元。某小学用

60

元钱买这两种笔作为学科竞赛

一、二等奖奖品，钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支 数是：（

）

【

2013

江苏

C

< br>】

A.12

B.13

C.16

D.18

【答案】

C

。解析：设买

7

元和

3

元的笔的数量分别

x

、

y

支，则

7

x

＋

3

y

＝

6 0

。

3y

和

6 0

能被

3

整除，则

x

也应该能被

3

整除。要想买的支 数最多，则

x

要尽量小，

x

< p>
最小为

3

，此

时

y

＝

13

。则最多可买

3

＋

13

＝< /p>

16

支。答案选择

C

。

5.

超市将

< br>99

个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装

12

个苹果，小包装盒每个装

5

个

苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？【

2012

国家】

A. 3

B. 4

C. 7

D. 13

【答案】

D

。解析：设大包装盒有

x

个，小包装盒有

y

个，则可列等式< /p>

12

x

＋

5

y

＝

99

，

其中

x

+

y>

10

。

5

y

的尾数只能是

5

、

0< /p>

，那么对应的

12

x

的尾数只能为

4

或者

9

< p>
，而

12

x

为偶

数，故尾数只能为

4

，只有当

< br>x

＝

2

或者

x

＝

7

时满足这一条件。当

x

＝

2

时，

y

＝

15

，

< p>
x

＋

y

＝

17

，正好满足条件，

y

－< /p>

x

＝

13

；当< /p>

x

＝

7

时，

y

＝

3

，

x

＋

y

＝

10

，不符合条件。综上所述，只

能选择

< p>
D

。

6.

小李用

150

元钱购买了

1 6

元一个的书包、

10

元一个的计算器 和

7

元一支的钢笔寄给

灾区儿童，

如果他买的每一样物品数量都不相同，

书包数量最多而钢笔数量最少 ，

那么他买

的计算器数量比钢笔多多少个？【

< br>2011

年北京市考】

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】

B

。解析：设买了

< p>
x

个书包，

y

个计算器和

z

支钢笔，则

16

x

＋

10

y

＋

7

z

＝

1 50

，

由于

16

x

、

10

y

和

150

都是偶数，则

7

z

为偶数，

z

只能为偶数。 由于

z

＜

y

＜

x

，不妨

z

从 最小

的

2

开始代入。当

z

＝

2

时，

< br>16

x

＋

10

< br>y

＋

14

＝

150

，

16

x

< br>＋

10

y

＝

136

。由于

10

y

的尾数为

0

，则

16

x

的尾数只能为

6

， 又因为＝

2

，则

x

只能取

6

（当

x

< br>取更大值时，

y

为负数），此时

y

＝

4

，

满足 题意。故计算器比钢笔多

4

－

2

＝

2

个；若

z

=4

，

16

x

＋

10

y

＋

28

＝

150

，

16

x

＋

10

y

＝

122

。

结合尾数法，且满足

x

＞

z

，

x

只能取

7

，此时

y

为负数，故不满足题意 。综上所述，选择

B

选项。

7.

小王、小李、小张和小周

4

人共为某希望小学捐赠了

25

个书包，按照数量多少的 顺

序分别为小王、

小李、小张、小周。

已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量

之和；小李捐赠的书包数量是小张 和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了多少书包？

【

201 4

国考】

A.9

B.10

C.11

D.12

【答案】

C

。解析：设小张和小周捐的书包数量分别为

x

、

y

，则小李捐赠 数量是

x+y

，

小王的捐赠数量是

2

x

+

y

。

根据题意

4

x

+3

y

=25

，

利用奇偶性可知，

则

y

一定是奇数，

把

y

=1,3,5, 7

依次代入验证，只有当

y

=3

，

x

=4

和

y

=7

，

x

< p>
=1

时等式成立，根据题意，书包的数量：小王

>

小李

>

小张

>

小周，所以只有

y

=3

，

x

=4

满足题意，则小王捐 赠的数量为

2

x

+

y

=11

。因此答案

选择

C

。

8.

< p>
某次射击比赛共有

52

人参加，前

1

，

2

，

3

，

4

，

5

靶未命中的人数分别为

4

，

6

，

10

，

< p>
20

，

39

。

< p>
5

靶中如每人至少射中

1

靶，只中

1

靶的有

7

< br>人，

5

靶全中的有

6

< p>
人，中

2

靶的人

数与中< /p>

3

靶的一样多。问中

4

< br>靶的有几人？（

）【四川

2012

< br>下半年】

A.

20

B.

25

C.

29

D

.

31

< /p>

【答案】

Ｄ。

解析：

由题意可知

52

人参加比赛，

射中

52



5

< /p>

4



6



10



20



39



181

次。设

2

、

3

靶各有

x

人射中，

4

靶有

y

人射中，则

7

< br>

5



6





2



3



x



4

y



181

，整理 可

得

5

x

< /p>

4

y



144< /p>

。

5

x

的尾数是

0

或

5

，则< /p>

4

y

的尾数是

4

或

9

。

4

y

是偶数，所以尾数只能为

4

。观察选项，只有Ｄ项乘以

4

后尾数是

4

，求得

x

＝

4

，

y

＝

< br>31

满足题意。故答案选择

D

。

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