初等数论：不定方程与高斯函数
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初等数论：不定方程与高斯函数
一、不定方程
不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受
到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数
论的
重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都
有较为密切的
联系。
其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，
是培养思维
能
力的好材料，
它不仅要求对初等数论的一般理论、
方法有一定了解，
而且更需要
讲究思想、方法与技
巧，创造性的解决问题。
1
．不定方程问题的常见类型：
（
1
）求不定方程的解；
< br>
（
2
）判定不定方程是否有解
；
（
3
）判
定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）
。
2
．解不定方程问题常用的解法：
<
/p>
（
1
）代数恒等变形：如因式分解、配方
、换元等；
（
2
）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，
进而求解；<
/p>
（
3
）同余法
：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析）
，缩小变量的范围或性
质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（
4
）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方
程有无穷多解；
（
5
）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：
（一）二元一次不定方程（组）
定义
.
形如
ax+by=c(a,b,
c
∈
Z,a,b
不
同时为零
)
的方程称为二元一次不定方程
定理
1
.
方程
ax+by=c
有解的充要条件是
(a,b)|c
；
定理
2
.
若
(a,b)=1
，且
x
0
，
y
0
为
ax+by=
c
的一个解，则方程全部解可以表示成
x
x
（
t
为任意整数
)
。
0
b
t
,
y=y
0
a
t
定理
2
’
.
.
元一次不定方程
a
< br>1
x
1
+
a
2
x
2
+
…
a
n
x
n
=c(a
1
,a
2
,
…
a
n
,c
∈
N
)
有
解的充要条件是
(a
1,
…
,a
n
)
|c.
方法与技巧：
1
．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求
ax+by=0
一个特解，
从而写出通解。
当不定方程系数
不大时，
有时可以通过观察法求得其
解，即引入变量，逐渐减小
系数，直到容易得其特解为止；
2
．
解
元一次不定方程
a
1
x
1
+
a
< br>2
x
2
+
…
a
n
x
n
=c
时，可先顺次求出
，……，
.
若
1 / 9
，则方程无解；若
|
，则
方程有解，作方程组：
求出最后一个方程的一切解
，
然后把
的每一个值代
入倒数第二个方
程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3
．
m
个
n
元一次不定方程组成的方程组，其中
m
，可
以消去
m-1
个未知
数，从而消去了<
/p>
m-1
个不定方程，将方程组转化为一个
n-m+1
元的一次不定方
程。
（二）高次不定方程（组）及其解法
1
．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后
对比两边，转而求解若干个方程组；
2
．同余法：如果不定方程
F(x
1,
…
x
n
< br>)=0
有整数解，则对于任意
m
∈
N
，其整
数解
(x
1,
…
x
n
)
满足
F(x
1,
…
x
n
)
≡
0
(mod m)
，利用这一条件，同余可以作为探究不
定方程整
数解的一块试金石；
3
．不等式估计
法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分
别求解；
4
．无限递降法：若关于正整数
的命题
P(n)
对某些正整数成立，设
n
0
是使
成立的最小正整数，可以推出
：存在
不定方程无正整数解。
方法与技巧：
1
．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解
定理，
分解法作为解题的一种手段，
没有因定的程序可循，
应具体的例子中才能
有深刻地体会；
2
．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或
求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3
．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当
方程的实数
解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验
，
，使得
成立，适合证明
2 / 9
求出全部解；
若方程的实数解是无界的，
则着眼于整数，
利用整数的各种性质产
生适用的不等式；
4
．无限递降法论证的核心是设法构造出
方程的新解，使得它比已选择的解
“严格地小”
，
由此产生矛盾。
定理
3
方程
x
1
+
…
+x
n
=k
（
k
∈
N
+
）
n
1
（
1
）非负整数解有
C
n
k
1
组
1
（
2
）当
k
≥
n
时，正整数解有
C
k
n
1
组
例题
1
．求不定方程
x
4
+y
4
+z
4
=2x<
/p>
2
y
2
+2y<
/p>
2
z
2
+2z<
/p>
2
x
2
+24<
/p>
的所有正整数解。
2
．设
k
是给定的
正整数，
k
≥
2
，求证：连续
3
个正整数的积不能是整数的
< br>k
次幂
4
4
3
．确定方程
x
1
4
x
2
...
x
14
1999
的全部非负整数解
4
．求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和
< br>
（
1
）
385
97
（
2
< br>）
366
17
5
．正整数
n
不能被
2
，
3
整除，且不存在非负整数
a
，
b
，使得
|
2
a
3
b
|
n
，
求
n
最小值
3 / 9
6
．求
x
2
y
2
328
的全部正整数解
7
．求<
/p>
x
2
23
xy
2
1989
y
2
0
的整数解
8
．试证
x
2
2
xy
2
5
z
3
0
无整数解
9.
试求所有的正整数
a
，
b
，
< br>c
，使
(
a
1)(
b
1)(
c
1)
< br>|
(
abc
< br>1)
10
．试证
x
2
y
2<
/p>
z
2
2
xyz
无非零整数解
4 / 9