求不定方程整数解的方法浅析
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求不定方程整数解的方法浅析
摘要：
第一章：引言
所谓不定方程，是指未知数的个数
多于独立方程式的个数的方程
或方程组
.
因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解
都是相当困难的，有时甚至是
不可能的或不现实的
.
然而，在现实生
活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；
另外，
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，
每年世界
各地的数学竞赛中，
不定方程问题都占有一席之地；
它
也是培养和考
查学生数学思维的好材料，
数学竞赛中的不定方程
问题，
不仅要求选
手对初等数论的一般理论、
< br>方法要有一定的了解，
而且更需要讲究思
想、方法与技巧
，创造性的解决相关问题
.
数千年来，不定方程问题
一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，
仿佛
它是一块资源丰富的土地，
每个人都能有希望在这占有自己的一席之<
/p>
地
.
也正是由于它具有这样一个特点，不
定方程的类型，以及解各类
不定方程的各种方法层出不穷，
求解
各类不定方程也几乎毫无固定章
法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初
步的探索，
归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，
对解不
定方程具有一定
的指导意义；
并且着重针对中学数学竞赛中的不
定方程整数解问题进
行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自
己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意
义
.
第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法
1
、不等式分析法
其一般操作步骤：
想办法通过构造不等式求出其中某
个（某些）变量的范围；
根据该变量的范围求出该变量的整数解；
分情况
讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值
.
常见的构造不等式的技巧：
注意题中的隐含条件，常见的如：
1
）若给
出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个
“不妨设
x
y<
/p>
z
”的条件
.
2
）若题目要求是正整数解，则有“
x
1
,
y
1
,
z
1
,
”
若要求
是相异的正整数，则有“
x
1
,
y
2
,
z
3
,
”
利用基
本不等式求变元范围，常见的如“
x
y
2
<
/p>
4
xy
”
分离变
量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求
其他变量的范围
.
④
可利用二次方程有整数解的条件，
即“
0
”
，或更强点的
“
为完全平方数”
.
常规应用：
一般在某些对称式中能用到此方法
进行放缩估值；
在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利
用此方法对其他变量进行估值；
对于方程
“
ux
2
v
x
w
0<
/p>
（其中
u,v,w
是常数或者是含其他变
量的式子）
”
可利用关于
x
的方程有整数根的条
件，
即
“
0
”
，
或更强点的“
为完全平方数”对其他变量进行估值；
④
具体能
通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规
不等式进行估值，比如”转化为关于
x+y
与
xy
的表达式，
用
x
y
2
4
xy
等“
例
1
：求不定方程
x
y
2<
/p>
x
3
y
3
的正整数解
.
解：
方法
1
：
由于此不定方程是对称的，这里不妨设
x
y
1
，
则
x
3
y
3
x
y
2
< br>
2
x
2
x
2
(
4
x
)
y
3
y
3
4
x
2
0
x
x
1
,
2
,
3
.
1
）当
x=1
时，
2
1
y
x
(
4
x
)
1
y
1
经检验：
x
,
y
<
/p>
1
,
1
不满足方程；
2
）当
x=2
时，
2
1
y
x
(
4
x
)
2
y
1
，
2
.
经检验
：
x
,
y<
/p>
2
,
1
满足方程，
x
,
y
2
,
2
满足方程；
3
）当
x=3
时，
2
1
y
x
(
4
x
)
3
< br>
y
1
，
2
，
3
.
经检验：
x
,
y
<
/p>
3
,
1
不满足方程，
x
,
y
3
,
2
不满足方程，
x
,
y
3
,
3
不满足方程；
∴综上所述：取消不妨设，由对称性知：
1
,
2
，
2
,
2
.
不定方程的正整数解为
x
< br>,
y
2
,
1
，
方法
2
：
2
已知方程化为
x
y
x
<
/p>
y
x
2
xy
y
2
2
2
x
0
,
y
0
,
x
y
< br>
x
xy
y
令
x
y
t
，
则
2
2
<
/p>
t
2
3
xy
t
)
t
x
xy
y
x
y
3
xy
（即
2
t
2
t
.
xy
3
即
x
y
t
（
t
t
2
t
1
t
t
1
< br>
xy
3
3<
/p>
2
且为整数）
利用不等式：
x
y
4
xy
则：
<
/p>
2
1
2
t
4
t
t
1
3
t
4
,
又
t
为
< br>2
的正整数
.
t
2
,
3
,
4
.
1
）当
t=2
时，
x
y
2
2
xy
3
此方程无正整数解；
2
）
当
t=3
时，
x
y
3
xy
2
x
1
x
2
y
2
，
y
1
3
）
当
t=4
时，
x
y
4
xy
4
∴综上所述：
x
2
y
2
.
1<
/p>
,
2
，
2
,
2
.
不定方程的正整数解为
x
,
y
2
,
1
，
例
2
：求不定方程
yx
2
6
< br>yx
2
x
9
y
1
0
的整数解
.
解：
方法
1
：
2
3
y
1
)
x
9
y
1
0
< br>,
已知方程可化为
:
< br>yx
2
（
则
此方程可看成关于
x
的一元二次方程有整数解的情况
< br>4
3
y
1
)
2
4
y
(
9
y
1
)
∴
（
=4
（
1-5y)