初中数学竞赛：二元一次不定方程的解法
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初中数学竞赛：二元一次不定方程的解法
<
/p>
我们知道，
如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，
它的解往往是不确定
的，例如方程
x-2y=3
，
方程组
等
，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．
不定方程
(
组
)
是数论中的一个古老分支，
其内容极其丰富．
我国对不定方程的研究已延
续了数千年，
“百鸡问题”
等一直流传至今，
“物不知其数”
的解法被称为
中国剩余定理．
近
年来，
不定方程的研
究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，
而且可以
< br>培养思维能力，提高数学解题的技能．
我们先看一个例子．
例
小张带了
5
角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块
3
分
，铅笔每支
1
角
1
分，问
5
角钱刚
好买几块橡皮和几
支铅笔？
解
设小张买了
x
块橡皮，
y
支铅笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50
．
这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个
x
值，就可以得到一个
y
值，
所以
它的解有无数多组．
但是这个问题要求的
是买橡皮的块数和铅笔的支数，
而橡皮的块数与铅笔的支数只能是
正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．
因为铅笔每支
1
角
1
分，
所以
5
角钱最多只能买到
4
支铅笔，
因此，<
/p>
小张买铅笔的支数
只能是
0
，
1
，
2
< br>，
3
，
4
支，即
y
的取值只能是
0
，
1
，
2
，
3
，
4
这五个．
若
< br>y=3
，则
x=17/3
，不是
整数，不合题意；
若
y=4
，则
x=2
，符合题意．
所以，这个方程有两组正整数解，即
也就是说，
5
角钱刚好能买
2
块橡皮与
4
支铅笔，或者
13
块橡皮与
1
支铅笔．
像这个例子，
我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，
那么它的解就确定了
．
但
是否只要把解限制在非负整数时，
二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！
现举例
说明．
例
求不定
方程
x-y=2
的正整数解．
解
我们知道：
3-1=2
，
4-2=2
，
5-3=2
，„，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是
其中
n
可以取一切自然数．
因此，所要解的不定方程有无
数组正整数解，它的解是不确定的．
上面关于橡皮与铅笔的例
子，
我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，
但是<
/p>
这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．
那么能不能找
到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问
题，先给出一个定理．
定理
如果
a
，
b
是互质的正整数，
c
是整数，且方程
ax+by=c
①
有一组整数解
x
0
，
y
0
则此方程的一切整数解可以
表示为
其中
t=0
，±
1
，±
< br>2
，±
3
，„．
证
因为
< br>x
0
，
y
0
是方程①的整数解，当然满足
a
x
0
+by
0
=c
，
②
因此
a(x
0
-bt)+b(y
0
+at)=ax
0
+by
0
=
c
．
这表明
x=x
0
-bt
，
y=y
0
+at
也是方程①的解．
设
x
＇，<
/p>
y
＇是方程①的任一整数解，则有
ax
＇
+bx
＇<
/p>
=c.
③
③
-
②得
<
/p>
a(x
＇
-x
0
)=b
＇
(y
＇
-y
0
)
．
④
由于<
/p>
(a
，
b)=1
，所以
a
｜
y
＇
-y
0
，即
y
＇
=y
0
+
at
，其中
t
是整数．将
y
＇
=y
0
+at
代入④，
即得
x
＇
=x
0
-bt
．
因此
x
＇
，
y
＇
可以表示成
x=x
0
-bt
，
y=y
0
+at
< br>的形式，
所以
x=x
0
-bt
，
y=y
0
+at
表示方程①的一切整数解，命题得证．
有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．
例
1
求
11x+15y=7
的整数解．
解法
1
将方程变形得
因为
x
是整数，
所以
7-15y
应是
11
的倍数
．
由观察得
x
0
=2
，
y
0
=-1
是这个方程的一组整
数解，所以方程的解为
解法
2
先考
察
11x+15y=1
，通过观察易得
11
×
(-4)+15
×
(3)=1
，
所以
11
×
(-4
×
7)+15
< br>×
(3
×
7)=7
，
可取
x
0
=-28
，
y
0
=21
．从而
可见，
二元一次不定方程在无约束条
件的情况下，
通常有无数组整数解，
由于求出的特
解不同，
同一个不定方程的解的形式可以不同，
但它
们所包含的全部解是一样的．
将解中的
参数
t
做适当代换，就可化为同一形式．
例
2
求方程
6x+22y=90
的非负整数解．
解
因为
(6
，
22)=2
，所以方程两边同除以<
/p>
2
得
3x+11y=45
．
①
由观察知，
x1=4
，
y1=-1
是方程
3x+11y=1
②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
由于
t
是整
数，由③，④得
15
≤
t
≤
16
，所以只有
t=15
，
t=16
两种可能．
当
t=15
时，
x=15
，
y=0
；当<
/p>
t=16
时，
x=4
，
y=3
．所以原方程的非负整数解是
例
3
求方程
7x+19y=213
的所有正
整数解．
分析
这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用
逐步
缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．
解
用方程
7x+19y=213
①
的最小系数
7
除方程①的各项，并移项得
因为
x
，
y
是整数，故
3-5
y/7=u
也是整数，于是
5y+7u=3
．Ｔ儆
*5
除此式的两边得
2u+5v=3
．
④
由观察知
u=-1
，
v=1
是方程④的一组解．
将
u=-1
，
v=1
代入③得
y=2
．
y=2
代入②得
x=25
．
于
是方程①有一组解
x
0
=25
，
y
0
=2
，所以它的一切解为
由于要求方程的正整数解，所以