同余法解不定方程(1)
-
同余法解不定方程
1.
求证
:
方程
x
2
xy
5
z
3<
/p>
0
无整数解
.
证明
:
由
x<
/p>
2
xy
5
z
3
0
得
(
x
y
)
< br>
y
5
z
3
.
由于
0
0<
/p>
(mod
5
)
；
0
0
(mod
5
)
；<
/p>
1
2
1
(mod
5
)
；
< br>
1
4
1
(mod
5
< br>)
；
2
2
4
(mod
5
)
；
2
4
1
(mod
5
)
；
3
4
(mod
5
)
；<
/p>
3
1
(mod
5
)
；<
/p>
4
2
1
(mod
5
)
；
< br>
4
4
1
(mod
5
)
.
因此
,
对任意的整数
y
都有<
/p>
y
5
z
3
2
或
3
(mod
5
)
.
<
/p>
但
,
对任意的整数
x
,
y
,
都
有
(
x
y<
/p>
)
0
或
1
或
4
(mod
5
)
.
故
,
原方程无整数解
.
2.
求证
:
方
程
x
1
x<
/p>
2
x
14
1999<
/p>
无整数解
.
证明
:
由于对任意整数
k
,
都有
(
2
k
1
)
16
k
(
k
1
)
8
k
(
k
1
)
1
1
(mod
16
)
,
对任意整数
k
,
都有
(
2
k
)
16
k
0
(mod
16
)
.
因此
,
对任意整数
x
,
都有
x
0
或
1
(mod
16
)
.
所以
,
对任意整数
x
1
,
x
2
,
,
x
14
,
都有
x
1
x
2
<
/p>
x
14
0
,
1
,
2
,
,
14
(mod
16
)
.
但
,
1999
15
(mod
16
)
< br>.
故
,
原方程无整数解
.
3.
求证
:
方程
x
y
z
2012
无整数解
.
证明
:
由于
(
3
k<
/p>
)
9
(
3
k
)
0
(mod
9
)
；
(
3
k
1
)
< br>
9
(
3
k
3
k
k
)
1
1
(mod
9
)
；
(
3
k
2
)
9
(<
/p>
3
k
6
k
4
k
)
8
1
(mod
9
)
.
因此
,
对任意整数
x
,
都有
x
0
,
1
,
1
(mod
9
)
.
所以
,
对任意整数
x
,
y
,
z
,
都有
x
y
z
0
,
1
,
2
,
3
,
<
/p>
1
,
2
,
3
(mod
9
)
,
也即是对任意整数
x
,
y
,
z
,
都有
x
y
z
0
,
1
,
2
,
3
,
6
,
< br>7
,
8
(mod
9
)
.
但
,
2012
< br>5
(mod
9
)
.
故
,
原方程无整数解
.
第
1
页
共
4
页
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
2
3
< br>3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
2
2
4
4
4
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
< br>2
4
2
4
4
4.
求方程
3
4
5
的所有正整数解
.
解
:
由
3
< br>4
0
1
1
(
mod
3
)
得
5
(
1<
/p>
)
1
(mod
3
)
,
故
z
为偶数
,
可设
z
2
m
,
m
N
.
由
5
1
(mod
4
)
得
3
4
(
1
)
0
1
(mod
4
)
,
故
x
为偶数
,
可设
x
2
n
,
n
N
.
故可
得
4
(
5<
/p>
3
)(
5
3
)
.
m
n
5
3
2
又由于
(
5
3
,
5
3
)
(
5
3
,
2
3<
/p>
)
2
,
因此有
m
.
n
2
y
1
5
3
2
< br>x
y
z
x
y
z
z
*
z
x
y
x
*
y
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
n
< br>
从而有
3
2
又由于
(
2
y
1
n
2
y
< br>2
1
(
2
y
1
1
)(
2<
/p>
y
1
1
)
.
y
1
1
,
2
1
< br>)
(
2
y
1
y
1
2
1
1
1
,
2
)
1
,
< br>因此有
y
< br>1
.
解得
y
2
,
n
1
.
n
2
1
3
所以<
/p>
,
方程有唯一的正整数解
x
2
,
y
< br>
2
,
z
2
.
5.
求方程
8
15
17
的所有正整数解
.
解一
:
由
17
1
(mod
4
)
得
8
15
0
(
1
)
1
(mod
4
)
,
< br>故
y
为偶数
,
< br>可设
y
2
k
,
k
N
.
由于
3
3
(mod
7
)
；
< br>3
2
(mod
7
)
；
3
6
(mod
7
)
；
3
4
(mod
7
)
；<
/p>
3
5
(mod
7
)
；
3
1
(mod
7
)
,
以及
8
15
2
(mod
7
)
,
因此有
17
< br>3
2
(mod
7
)
.
故
z
6
n
2
,
n<
/p>
N
.
故可得
8
(
17
x
3
n<
/p>
1
x
y
z
z
x
y
y
*
1
2
3
4
5
6
x
y
z
z
15
k
)(
17
3
n
1
15
k
)<
/p>
.
3
n
1
k
17
15
2
3
n
1
k
3
n
< br>
1
k
3
n
1
k
3
n
1
15
,
17
15
)
(
17
15
,
2
17
)
2
,
因此有
3
n
1
又由于
(
17
.
k
3
x
1
17
15
2
从而有
15
2
k<
/p>
3
x
2
1
.
又由于
15
k
0
(mod
3
)
,
因此可得
2
3
x
2
1
(mod
3
)
,
故
3
x
2
为偶数
,
于
*
k
3
x
2
是可设
3
x
2
2
m
,
m
N
.<
/p>
因此
,
有
15<
/p>
2
m
m
m
1
2
2
m
1
(
2
m
1
)(
2
m
1
)
.
m
m
k<
/p>
2
1
1
2
1
3
又由于
(
2
1
,
2
1
)
(
2
1
,
2
)
1
,
因此
有
m
或
<
/p>
m
.
k
k
2
1
15
2
1
5
m
m
k
2
1
1<
/p>
2
1
3
而<
/p>
m
无整数解
,
且由
m
解得
m
2
,
k
1
.
k
k
2
1
15
2
< br>
1
5
所以
,
方程有唯一的正整
数解
x
2
,
y
2
,
z
2
.
第
2
页
共
4
页