浅谈正定二次型的判定方法
-
浅谈正定二次型的判定方法
摘
要
二次型与其矩阵具有一一对应关
系
,
可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性
及其应用
.
本文主要通过正定二次型的定义，实
矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相
应的推导性质来判定二次型的正定性。
关键词
二次型
矩阵
正定性
应用
1
引
言
在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和
二次曲面方程为标准形的问题
.
现在二次型常常出现在许多实际
应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学
的许多分支中用到，而且在物
理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊
的位置
.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系
.
因此
,
二次型的正定性判
别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因
此，对正定矩阵的讨论有重要的意义
.
2
二次型的相关概念
2.1
二次型的定义
设
p
是一个数域，
a
ij
p
，
n
个文字
x
1
,
x
2
,
…，
x
n
的二次齐次多项式
n
n
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
a
x
< br>
2
a
12
x
1
x
2
2
a
13
x
1
x
3
a
x
2
11
1
2
nn
n
a
x
x
ij
i
i
1
< br>j
1
j
(
a
ij
a
ji
,
i
,
j
1
,
2
,...,
n
)
称为数域上
p
的一个
n
元二次型，
简称二次型
.
当
a
ij
为实数时，
f
称
为实二次型
.<
/p>
当
a
ij
为复数时
,
称
f
为复二次型
.
如果二次型中只含有文字的平方项，即
f
(
< br>x
1
,
x
2
,...,
x
n
< br>)
=
d
1
x
1
2
d
1
x
2
2
...
d
n
x
n
2
称
f
为标准型
.
定
义
1
在
实
数
域
上
，
任
意
一
个
二
次
< br>型
经
过
适
当
的
非
退
化
线
性
替
换
可
以
变
成
规
范
性
2
2
2
2
f
< br>的正惯性指数，负平方
z
1
<
/p>
z
2
……
z
2
p
z
p
1
……
z
r
,
其中正平方项的个数<
/p>
p
称为
项的个数称为的
< br>f
负惯性指数
.
第
1
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1
页
2.2
二次型的矩阵形式
二次型
f
(
x
1
,
x
2
,...,
x
n
)
可唯一表示成
f
(
x
1
,
< br>x
2
,...,
x
n
)
=
x
< br>T
Ax
，其中
x
(
x
1
,
x
2
,...,
x
n
)
T
，
A
(
a
ij
)
n
n
为对称矩阵，
称上式为二次型的矩阵
形式，
称
A
为二次型的矩阵
（必是对称矩阵）
，
称
A
的秩为二次型
f
的秩
< br>.
2.3
正定二次型与正定矩阵的概念
定义
2.3.1
设
f
(
x
1
,
x
2
,.
..,
x
n
)
=
x
T
Ax
是
n
元实二次型（
A
为实对称矩阵）
，如果对任意不
全为零的实数
c
1
,
c
< br>2
,...,
c
n
都有
f
(
c
1
,
c
2
,...
c
n
)
< br>
0
，则称
f
< br>为正定二次型
,
称
A
为正定矩阵；如
果
f
(<
/p>
c
1
,
c
2
,...
c
n
)
0
，则称
f
为半正定二次型，称
A
< br>为半正定矩阵
;
如果
f
(
c
1
,
c
2
,...
c
n
)
0
，
则称
f
为负定二次型，
称
A
为负定矩阵
;
如果
f
(
c<
/p>
1
,
c
2
,...
c
n
)
0
，
称
f
为半负定二次型，
称
A
为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定
的二次型，称
A
为不定矩阵
.
定义
2
另一种定义
具有对称矩阵
A
的二次型
f
X
T
AX
,
(1)
如果对任何非零向量
X
,
都有
X
T
AX
0
（或
X
T
AX
0
）成立，则称
f
X
T
AX
为正
定（负定）二次型，矩阵
A
称为正定矩阵（负定
矩阵）
.
(2)
如果对任何非零向量
X
,
都有
X
T
AX
0
（或
X
T
AX
0
）
T
成立，且有非零向量
X
0
，使
X
0
AX
0
0
，则称
f
X
T
AX
为半正定（半负定）二次型，矩阵
A
称为半正定
矩阵（半负定矩阵）
.
注
:
二次型的正定
(
负定
)
、半正定
(
半负定
)
统称为二次型及其矩阵
的有定性
.
不具备有定
性的二次型及其
矩阵称为不定的
.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有
一一对应关系
.
因此
,
二次型的正定性判别可
转化为对称矩阵的正定性判别
.
定义
3
n
阶矩阵
A
(
a
ij
)
的<
/p>
k
个行标和列标相同的子式
a
i
1
i
1
a
i
2
i
1
a
i
k
i
1
称为
A
的一个
k
阶
主子式
.
而子式
a
i
1
i
2
a
i
2
i<
/p>
2
a
i
k
i
2
a
i
1
i
k
a
i
2
i
k
a
i
k<
/p>
i
k
(
1
i
1
i
2
i
k
n
)
第
2
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2
页
a
11
a
|
A
k
|
21
a
k
1
a
12
a
22
a
k
2
a
1
k
a
2
k
a
kk
(
k
1
,
2
,
,
n
)
称为
A
的
k
阶顺序主子式
.
3
实二次型正定的判别方法及其性质
定理
1
实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)<
/p>
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型的充要条件是它的
正惯性指数等于
n
证明
设实
二次型
f
(
x
1
,
x
2
,<
/p>
,
x
n
)
X
AX
经线形替换
X
PY
化为标准形
2
2
(
1
)
<
/p>
f
d
1
y
1
2
d
2
y
2
d
n
y
n
其中
d
i
R
,
i
1
,
2
,
,
n
.
由于
p
为可逆矩阵
,
所以
x
1
,
x
2
,
,
x
n
不全为零时
y
1
,
y
2
,
,
y
n
< br>也不全为零
,
反之亦然
.
(
)
如果<
/p>
f
是正定二次型
,
那么当
x
1
,
x
2
,
,
x
n
不全为零
,
即
y
1
,<
/p>
y
2
,
,
y
n
不全为零时<
/p>
,
有
2
2
2
f
d
1
y
1
d
2
y
2
d
n
< br>y
n
0
(
2
)
若有某个
d
i
(<
/p>
1
i
n
),
比方说
d
n
0
.
则对
y
1
y
2
y
n
1
0
,
y
n
1
这组
不全为
零的数
,
代入
< br>(
1
)
式后得
< br>f
d
n
0
.
这与
f
是正定二次型矛盾
.
因此
,
必有
d
i
0
.(
i
1
,
2
,
,
n
)
即
f
的
正惯性指数等于
n
(
)
如果
f
< br>的正惯性指数等于
n
,
则
d
i
0
,
(
i
1
,
2
,
,
n
)
于是当
x
1
,
x
2
,
,<
/p>
x
n
不全为零
,
即当
y
1
,<
/p>
y
2
,
,
y
n
不全为零时<
/p>
(
2
)
式成立<
/p>
,
从而
f
是正定
型
定理
2
< br>实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
<
/p>
AX
(
A
A
)
是正定二次
型的充要条件是对任
A
X
0
何
n
维实的非零列向量
X
必有
X<
/p>
证明
(
)
由假设
f
是正定二次型
,
故存在实的非退化的线形替换
X
QY
,
使
第
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2
2
(
1
)
X
AX
y
1
2
y
2
y
n
A
X
0
对
X
0
,<
/p>
因
Q
非奇异
,<
/p>
故
Y
0
,
于是由
(
1
)
可知
X
(
)
设
X
AX
的秩与正惯性指数
分别为
r
与
p
,
先证
r
p
,
如
p
r
,
则由惯性定理
,
存在非退化的线形替换
X
QY
,
使得
2
2
X
'
AX
y
1
2
y
2
p
y
p
1<
/p>
y
r
(
2
)
AX
0
,
但对列向量
由假设
,
对任何
X
0
,
X
X
Q
(
0
,
,
0
,
1
,
0
,
,
< br>0
)
0
（因
Q
是非奇异阵
,1
是
X
< br>的第
p
1
个分量）却有
A
X
1
< br>0
< br>X
这与假设矛盾
.
故
r
p
.
再证
r
< br>n
.
如果
r
n
,
则
(
2
)
式应化为
X
AX
y
1
y
2
<
/p>
y
r
,
r
n
(
3
)
于是取
X
Q
(
0
,
,
0
,
1
)
0
'
2
2
2
< br>A
X
0
,
又与假设矛盾
,
故
r
n
p
,
即
f
是正定二次型
由
(
< br>3
)
即得
X
定理
3
实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型的充要条件是
f
的
2
2
2
规范形为
f
(
x
1
,
x
< br>2
,
,
x
n
)
y
1
y
2
y
n
证明
(
)
实二次型
f
(
x<
/p>
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
< br>
A
)
是正定二次型
,
则由定理
1
可知
f
的正惯性指数为
n
，则二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x<
/p>
n
)
X
AX
可经过非退化实线形替换成
2
2
2
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
y
1
< br>
y
2
y
n
2
2
(
)
f
的规范形为
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
y
1
2
< br>
y
2
,
则
f
的正惯性指数为
n
,
由定
y
n
理
1
可知
f
为正定二次型
定理
4
实二次型<
/p>
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型的充要条件是矩
阵
A
与单位矩阵合同
第
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页
证明
(<
/p>
)
实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型
,
则由定理
3
,
可
2
2
2
知
f
的规范形为
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
y
1
y<
/p>
2
y
n
此即存在非退化线形替换
X
CY
(
< br>其中
C
可逆
),
使得
2
2
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
< br>
X
AX
(
CY
)
A
(
CY
)
Y
C<
/p>
ACY
y<
/p>
1
2
y
2
y
n
所以
C
AC
E
,
因此矩阵
A
单位矩阵合同<
/p>
(
)
矩阵
A
单位矩阵合同
,
则存在可逆矩阵
C
,
使得
C
AC
E
，令
X
< br>
CY
则
2
2
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
< br>
X
AX
(
CY
)
A
(
CY
)
Y
C<
/p>
ACY
y<
/p>
1
2
y
2
y
n
因此
,
由证明
4
,
可知
f
是正定二次型
定理
5
实二次型
< br>f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型的充要条件是矩阵
A
的主子式全大于零
证明
(<
/p>
)
实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型
,
以
A
k
表示
A
的
左上角
k
阶矩阵
,
下证
A
k
0
,
< br>(
k
1
,
2
,
,
n
),
考虑以
A
k
为矩阵的二次型
g
(
x
1
,
x
2
,
,
x
k
)
a
i
1
j
1
k
k
ij
x
i<
/p>
x
j
由于
g
(
x
1
,
x
2
,
,
x
k
< br>)
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
k
,
0
,
,
0
)
所以当
x
1
,
x
2
,
< br>,
x
k
不全为零时
,
由
f
正
< br>定二次型可知
g
0
,
从而
g
为正定二次型<
/p>
,
故
A
k
0
.
(
)
对二次型的元数<
/p>
n
作数学归纳法
2
当
n
1
时
,
f
(
x
1
)
a
11
x
1
,
因为
a
11
0
,
所以
f
正定
,
假设
n
1
,
< br>且对
n
1
元实二次型结
论成立
由于
a
11
a
11
0
,
用
a
1
i
a
乘
A
的第
1
列到第
i
< br>列
,
再用
1
i
乘第
A
的第
1
行到第
i
行
a
11
a
11
(
i
2
,
3
,
<
/p>
,
n
),
经此合
同变换后
,
A
可变为以下的一个矩阵<
/p>
第
5
页
共
5
页
a
11
0
0
0
B
A
1
0
因为矩阵
A
与
B
合同
,
所以
B
是一个
n
阶对称矩阵
.
从而
A
1
也是对称矩
阵
.
上述的变换不改变
A
的主子式的值
,
因此
,
B
的主子式也全大于零
,
< br>而
B
的
k
(
2
k
n
)
阶主子式等于
A
1
的
k
1
阶主子式乘以
a
< br>11
,
并且
a
< br>11
0
于是
< br>A
1
的主子式全大于
零
,
由归纳假设
,
A
1
与
I
n
1
合同
,
所以
A
与单位矩阵合同
,
此即
f
是正定二次型
< br>
定理
6
实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
< br>
,
x
n
)
X
A
X
(
A
<
/p>
A
)
是正定二次型的充要条件是矩阵
A
的顺序主子式全都大于零
证明
(<
/p>
)
实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
X
AX
(
A
A
)
是正定二次型
,
则由定理
5
可知
A
的主子式全大于零
,
所以
A
的顺序主子式也全大于零
.
(<
/p>
)
对二次型的元数
n
作数学归纳法
2
当
n
1
< br>时
,
f
(
x
1
)
a
11
x
1
,<
/p>
由条件知
a
11
0
,
所以
f
(
x
1
)
是正定的
.
假设充分性的判断对于
n
1
元的二次型
已经成立
,
现在来证
n
元的情形
.
a
11
令
A
1
=
< br>a
n
1
,
1
a
1
n
a
1
,
n
1
< br>
a
a
< br>n
1
,
n
1
n
1
,
n
于是矩阵<
/p>
A
可以分块写成：
A
=
A
1
<
/p>
a
nn
则
A
1
的顺序主子式也全大于零
,
由归纳法假定
,
A
1
是正定矩阵
则存在可逆的
n
1
阶矩阵
G
,
使得
G
AG
E
n
1
令
C
1
=
G
0
< br>
0
1
0
A
1
1
< br>a
nn
0
G
于是
C
1
A
C
1
<
/p>
0
G
0
E
n
1
1
G
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