数学常用公式及结论
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高考数学常用公式及结论
200
条
1.
解连不等式
N
f
(
x
)
M
常有以下转化形式
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
< br>M
][
f
(
x
)
N
]
0
|<
/p>
f
(
x
)
M
N
M
N
|
2
2
f
(
x
)
N
0
<
/p>
M
f
(
x
)
1
1
.
f
(
x
)
N
< br>M
N
2.
方程
f
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
< br>,
与
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不等价
,
前者是
后者的一个必要而不
2
是充分条件
.<
/p>
特别地
,
方程
ax
bx
c
0
(
a<
/p>
0
)
有且只有
一个实根在
(
k
1
,
k
2
)
内
,
等价于
f
(
k
1
)
f<
/p>
(
k
2
)
0
,
k
k
2
k
k
2
b
b
或
f
(
k
1
)
0<
/p>
且
k
1
,
或
f
(
k
2
)
0
且
1
1
k
2
.
2
a
2
2
2
a
3.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
<
/p>
2
b
处及区间的两端点处取得，
2
a
具体如下：
(1)
当
a>0
时
，若
x
b
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
min
f
(
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
2
a
b
p<
/p>
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
< br>x
)
min
< br>min
f
(
< br>p
),
f
(
q
)
.
2
a
b
b
(
2)
当
a<0
时
，
若
x
p
,
q
，
则
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
，
若
x
p
,
q
，<
/p>
则
2
a
2
a
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
< br>(
x
)
min
< br>
min
f
< br>(
p
),
f
(
q
)
.
x
4
.
一元二次方程的实根分布
依据：若
f
(
m
)
f
(
n
)
0
，则方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个实根
.
设
f
(
x
)
x
2
px
q
，则
p
2
4
q
0
< br>
（
1
）方程
< br>f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
；
m
2
f
(<
/p>
m
)
0
f
(
n
)
0
f
(
m
)
0
（
2
）方程
f
(
x
)
0<
/p>
在区间
(
m
,<
/p>
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
f
(
n
)
0
或
p<
/p>
2
4
q
0
或
或
af
(
n
)
0
< br>
m
p
n
2
f
(
n
)
0
；
af
(
m
)
0
p
2
4
q
0
（<
/p>
3
）方程
f
(<
/p>
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
< br>f
(
m
)
0
或
p
.
m
2
5.<
/p>
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
,
，
,
，
,
不同）上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参
数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
min
0(
x
L
)
< br>.
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
< br>为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
man
0(<
/p>
x
L
)
.
1
a
0
a
0
4
2
(3)
f
(
x
)
ax
bx
c
0
恒成立的充要条件是
b
0
或
2
.
c
0
< br>
b
4
ac
0
6.
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q<
/p>
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
7.
函数的单调性
< br>(1)
设函数
y
f
(
x
)
< br>在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为增函数；如果
f
(
x
)
<
/p>
0
，则
f
(
x
)
为
减函数
.
8.
如果函数
f
(
x
)
和<
/p>
g
(
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
< br>(
x
)
也是减函数
;
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
< br>(
x
)
在其对应的定义域上都是
减函数
,
则复合函数
y
f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
9
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，
偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，
如果一个函数的图象关于原点对称，
那
么这个函
数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y
轴对称，那么这个函数
是偶函数．
10
．分数指数幂
(1)
a
m
n
1
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
<
/p>
1
）
.(2)
a
m
n
1
a
m
n
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
< br>
1
）
.
11
．根式的性质
n
（
1
）
(
n
a
)
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
< br>n
a
n
a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
|
a
|
a
,
a<
/p>
0
.
a
,
a
0
12
．有理指数幂
的运算性质
(1)
a
a
a
r
r
r
r
s
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.(2)
(
a
r
)
s
a
rs
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
a
b
(
a
0,
b
0,
r
< br>
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指
数幂都适用
.
13.
指数式与对数式的互化式
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
14.
对数的换底公式
log
m
N
(
a
0
,<
/p>
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
n
推论
lo
g
a
m
b
<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
log
a
N
15
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
< br>1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
(2)
log
a
M
log
a
M
log
a
N
;(3)
log
a
M
n
n
log
a
M
(
n
R
)
.
N
*
16.
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
)
< br>；
其前
n
项和公式为
s
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
<
/p>
1)
d
1
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
.
< br>2
2
2
2
2