初二数学所有公式
-
、单独的一个数或一个字母也是单向式。
<
/p>
2
、单向式中的数字因数叫做这个单向式的系数。
3
、一个单向式中，所有
字母的指数的和叫做这个单向式的次数。
< br>4
、几个单向式的和叫做多项式。在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其<
/p>
中，不含字母的项叫做常数项。
5
、一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数
。
6
、单项式和多项式统称整式。
7
、所含字母相同，并且相同字母的
指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也
是同类项。
8
、吧多项式中的同类项合并成一项
，即把它们的系数相加作为新的系数，而字
母部分不变，叫做合并同类项。
9
、几个整式相加减，
通常用括号吧每个整式括起来，再用加减号连接：然后去
括号，合并同类项。
10
、幂的乘方，底
数不变，指数相同。
11
、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
<
/p>
12
、幂的乘方，底数不变，指数相乘。
13
、积的乘方，等于把积的每一个
因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
14
、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个
单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式。
15
、单向式与多项式相乘，就是用
单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积
相加。
16
、多项式与多项式相乘，先用一
个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加。
17
、两个数的和与这两个数的
差的积＝这两个数的平方差。这个公式叫做（乘
法的）平方差公式。
18
、两数和（或差）的平方
＝它们的平方和，加（或减）它们积的
2
倍。这两
个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
19
、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括
号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
20
、同底数幂相加，底数不变，指
数相减。
21
、任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1.
2
2
、单向式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式
里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
23
、多项式除以单向式，先把这个
多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加。
24
、吧一个多项式化成了几个整式
的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个
多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因
式。
25
、
ma+mb+mc
，它的各项都有一个公共的因式
m
，我们把因式
M
叫做这
个多
项式各项的公因式。
由
m(a+b+c)=ma+mb+mc
，可得
ma+mb+mc=m(a+b+c)
这样就把
ma+mb+mc
分解成两个因式乘积的形式，<
/p>
其中一个因式是各项的公因
式
m
，另一个因式（
a
＋
b
+c
）是
ma+mb+mc
除以
m
所得的商，像这种分解因
式的方法叫做提公
因式法。
26
、两个数的平方，等于这两个数的和与这两个数差的积。
27
、两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
2
倍，等于这两个数的和
（或差）的平方。
十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话
那就是利用
x^2+(p+q)x+
pq=(x+q)(x+p)
其中
PQ
为常数。
x^2
是
X
< br>的平方
1.
因式分解
即和差化积，
其最后结果要分解到不能再分为止。
而且可以肯定一个多项式要能
< br>分解因式，
则结果唯一，
因为：
数域
F
上的次数大于零的多项式
f(x
),
如果不计零
次因式的差异，那么
f
(x)
可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x
)*,
其中
α
是
f(x)
的最高次项的系数，
P1(x),P2(x)……P
i
（
x
）是首
1
互不相等的不可约多项式，并且
Pi(x)(I=1,2…,
t)
是
f(x)
的
Ki
重因式。
（
*
）或叫
做多项式
f(x)
的典型分解式。证明：可参见《高代》
P52-53
初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等
要求为：要分到不能再分为止。
2.
方法介绍
2.1
提公因式法：
如果多项式各项都有公共因式，<
/p>
则可先考虑把公因式提出来，
进行因式分解，
注
意要每项都必须有公因式。
例
15x3+10x2+5x
解析显然每项均含有公因式
5x
故可考虑提取公因式
5x
，接下来剩下
x2+2x+1
仍可继续分解。
解：原式
=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2
公式法
即多项式如果满足特殊公式的结构
特征，
即可采用套公式法，
进行多项式的因式
< br>分解，
故对于一些常用的公式要求熟悉，
除教材的基本公
式外，
数学竞赛中常出
现的一些基本公式现整理归纳如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±
2ab+b2=(a±
b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±
3
a2b+3ab2±
b2=(a±
b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2
a1a2+…+2an
-
1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-
bc)
an+bn=(a+b)
(an-1-an-
2b+…+bn
-1)(n
为奇数
)
说明由因式定理，即对一元多项式
f(x)
，若
f(b)=0
，则一定含有一次因式
x-b
。
可判断当
n
为偶数时，
当
a=b,a=-b
时，<
/p>
均有
an-
bn=0
故
an-bn
中一定含有
a+b
，
a-b
因
式。
例
2
分解因式：①
64x6-y12
②
1+x+x2+…+x15
解析各小题均可套用公式
解①
64
x6-y12=
（
8x3-y6
）
(8x3+y6)
< br>=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②
1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多项式分解时，先构造公式再分解。
2.3
分组分解法
当多项式的项数较多时，
可将多项式进行合理分组，
达到顺利分解的目的。
当然
可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。
例
1
分解因式：
x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式
=
（
x15+m12
）
< br>+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例
2
分解因式：
x4+5x3+15x-9
解析可根据系数特征进行分组
解原式
=
（
x4-9
）
+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4
十字相乘法
对于形如
ax2+bx+c
结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法
,
即
x
2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)
当
x2
项系数不为
1
时，
同
样也可用十字相乘进行操
作。
例
3
分解因
式：①
x2-x-6
②
6x2-x-1
2
解①
1x2
1x-3
原式
=
（<
/p>
x+2
）
(x-3)
②
2x-3
3x4
原式
=
（
2x
-3
）
(3x+4)
注：
“ax4+bx2+c”
型也可考虑此种方法。
2.5
双十字相乘法
在分解二次三项式时，十字相乘法
是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，
尤其是某些二次六项式，如
4x2-4xy-3y2-4x+10y-3
，也可以运用十字相乘法分
解因式，其具体步骤为：
（
1
）用十
字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图
（
2
）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个
< br>十字中交叉之积的和等于原式中含
y
的一次项，
同时还必须与第一个十字中左端
的两个因式交叉之积的和等于原式中含<
/p>
x
的一次项
例
5
分解因式
①
4x2
-4xy-3y2-4x+10y-3
②
x2-3xy-10y
2+x+9y-2
③
ab+b2+a-b-2
④
6x2-7xy-3y
2-xz+7yz-2z2
解①
原式
=
（
2x-3y+1
）
(2x+y-3)
2x-3y1
2xy-3
②原式
=
（
x-5y+2
）
(x+2y-1)
x-5y2
x2y-1
③原式
=(b+1)(a+b-2)
0ab1
ab-2
④原式
=
（
2x-3y+z
）
< br>(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
说明：③式补上
oa2,
可用双十字相乘法，当然此题
也可用分组分解法。
如（
ab+a
）
+(b2
-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三个字母满足二次六项式，把
-
2z2
看作常数分解即可：
2.6
拆法、添项法
对于一些多项式，
如果不能直接因式分解时，
可以将其中的某项拆成二项之差或
< br>之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，
可
解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。
例
6
分解因式：
x3+3x2-4
解析法一：可将
-4
拆成
-1
，
-3
即（
x3-1
）
+(3x2
-3)
法二：添
x4,
再减
x4,.
即（
x4+3x2-4
）
+(x3-x4)
法三：添
4x,
再减
4x
即，（
x3+3x2-4x
）
+(4x-4)
法四：把
3x2
拆成
4x2-x2,
即（
x3-x2
）
+(4x2-4)
法五：把
x3
拆为，
4x2-3x3
即
(4x3-4)-(3x3-3x2)
等
解（选择法四）原式
=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2
．
7
换元法
换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此
< br>
种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
例
7
分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用换元法分解此题
解原式
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令
y=x
2+5x+5
则原式
=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令
x2+5x+4=y
或
x2+5x+6=y
或
x2+5x=y
请认真比较体会哪种换法
更简单？
2
．
8
待定系数法
待定系数法
是解决代数式恒等变形中的重要方法
,
如果能确定代数式变形后
的字
母框架
,
只是字母的系数高不能确
定
,
则可先用未知数表示字母系数
,<
/p>
然后根据多
项式的恒等性质列出
n
个含有特殊确定系数的方程
(
组
)
，解出这个方程
(
组
)
求出
待定系数。待定系数法应用广泛
,
在此只研究它的因式分解中的一些应用。
例
7
分解因式：
2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析属于二次六项式，也可考虑用
双十字相乘法，在此我们用待定系数法