(新)高中数学所有公式(非常有用)
-
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
高中数学常用公式及常用结论
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U
A
x<
/p>
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
< br>U
B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
U
A
< br>
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4
．集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
< br>的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–<
/p>
1
个；
非空子集有
2
n
–
1
个；非空的真子集有
2
n
–
2
个
.
5.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
<
/p>
c
(
a
0)
;
(2)
顶点
式
f
(
x
)<
/p>
a
(
x
h
)
2
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
6.
闭区间上的二次函数的
最值
二次函数
f
(
x
)
ax
2
bx
c
(
a
<
/p>
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
b
处
2
a
及区间的两端点处取得，具体如下：
b
b
(1)
当
a>0
时，
若
x
p
,
q
，
则
f
(
x
)
min
f
(
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
< br>；
2
a
2
a
b
若
x
<
/p>
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
< br>(
x
)
min
< br>
min
f
< br>(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
b
(
2)
当
a<0
时，若
< br>x
p
,
q
，则
f
(
x<
/p>
)
min
mi
n
f
(
p<
/p>
),
f
(
q
)
，
2
a
b
若
x
< br>
p
,
q
，则
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
7.
定区间上
含参数
的二次
不等式
恒成立
的条件依据
(1)
在给定区间
,
上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要
条件是
f
(
x
,
t<
/p>
)
min
0(
x
L
)
(2)
在给定区间
,
上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
< br>为参数
)
恒成立的充要
条件是<
/p>
f
(
x
,
t
)
man
0(
x
L
)
.
a
0
a
0
4
2
b
0
f
(
x
)
<
/p>
ax
bx
<
/p>
c
0
(3)
恒成立的充要条件是
或
2
.
b
4
ac
< br>0
c
0
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津
时，你对梦想的偏执。
8.
四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
9.
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且<
/p>
q
p
，则
p
是
q
充要条件<
/p>
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
10.
函数的
单调性
(1)
设
x
1
x
< br>2
a
,
b
,
x
1
x
2
那么
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b<
/p>
上是增函数；
x
1
x
2
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
< br>x
)
在
a
,
b
上
是减函数
.
(
x
1
x
2
)
f
(
x<
/p>
1
)
f
(
x
2
)
0
x
1
x
2
(2)
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
<
/p>
0
，则
f
(
x
)
为增函数；如
果
f
(
x<
/p>
)
0
，则
f
(
x
)
为减函数
.
11<
/p>
．
奇偶
函数的图象特征
< br>
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，如果一
< br>个函数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；
如
果一个函数的图象关于
y
轴对称，那么这个函数是偶函数．
12.
对于函
数
y
f
(<
/p>
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
)
f
(
< br>b
x
)
恒成立
,
则函数
f
< br>(
x
)
的对称轴
a
b
是
函
数
x
;
两
个
函
数<
/p>
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的
图
象
关
于
直
线<
/p>
2
a
b
x
对称
.
2
13.
两
个
函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
a
b
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x
对称
.
2
m
(
x
1
x
< br>2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津
时，你对梦想的偏执。
(3)
函数<
/p>
y
f
(
x
)
和
y
f
1
(
x
)
的图象关于直线
y=x
对称
.
14
.
若将函数
y
f
(
x
)
的
图象右移
a
、上移
b
< br>个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的
图
象
；
若
将
曲
线
f
(
x
,
y
)<
/p>
0
的
图
象
右
移
a
、
上
移
b
个
单
位
，
得
到
曲
线
f
(
x
a<
/p>
,
y
b
)
0
的图象
.
15.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y<
/p>
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
x
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
< br>x
)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a<
/p>
1)
.
(4
)
幂函数
f
(
x
)
x
<
/p>
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
'
(1)
.
16
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
r
)
s
a
rs
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
< br>ab
)
r
a
r
b
r
(
a
0,
b
0,
r
<
/p>
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上述有理指
数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
.
17.
指数式与对数式的互化式
b
log
a
N
b
a
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
18.
对数的换底公式
log
m
N
log
a
N
(
a
0
,
且
a
1
< br>,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
推论
log
a
m
b
n
<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
19
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
1
< br>，
M
＞
0
，
N
＞
0
，
则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
M
(2)
log
a
log
a
M
log
a
N
;
N
(3)
log
a
M
n
n
log
a
M
(
n
R
)
.
< br>20.
等差
数列的通项公式
<
/p>
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
*
)
；
其前
n
项
和公式为
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
s
n
na
1
d
2
2
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
3
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津
时，你对梦想的偏执。
d
2
1
n
(
a
1
d
< br>)
n
.
2
2
21
.
等比
数列的通项公式
a
a
n
a
1
q
n
1
1
q
n
(
n
N<
/p>
*
)
；
q
其前
n
项的和公式
为
a
1<
/p>
(1
q
n
)
,
q
1
s
n
1
< br>q
na
,
q
1
1
22
．常见三角不等式
（
1
）若
x
(0,
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
2
(2)
若
x
(0,
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
23.
同角三角函数的基本关系式
sin
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
，
tan
c
ot
1
.
cos
24.
正弦、余弦的
诱导公式
奇变偶不变
符号看象限
25.
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
<
/p>
tan
tan(
)
1
tan
tan
a
sin
b
cos
=
a
2
b
2
sin(
<
/p>
)
(
辅
助
角
所
在
象
限
由
点
(
a
,
b
)
的
象
限
决
b
定
,<
/p>
tan
).
a
26.
二倍角公式
sin
2
sin
cos
.
cos
2
cos
2
sin
2
2cos
2
1
1
2sin
2
.
2
tan
tan
2
.
1
tan
2
.
27.<
/p>
三角函数的
周期
公式
函数
y
sin(
x
< br>
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
∈
R(A,
ω
,
为常数，
2
且
A
≠
0
，ω＞
0)
的周期
< br>T
；
函数
y
tan(
x
)
，
x
k
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
，ω＞
0)
2
放弃
很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
4
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
.
28.
正弦定理
< br>a
b
c
2
R
.
（
R
是外接圆的半径）
sin
A
sin
B
sin
C
29.
余弦定理
a
2
b
2
c
2
<
/p>
2
bc
cos
A
;
b
2
<
/p>
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
.
30.
面积定理
1
1
1
（
1
）
S
ah
a
bh
b<
/p>
ch
c
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
1
1
（
2
）
S
ab
sin
C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
2
2
31.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A
B
)
< br>
C
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
32.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b=
（
a
·
b
）
=
a
·
b<
/p>
=
a
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+b
）
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
33.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得<
/p>
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
．
不共线的向量
e
< br>1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
< br>
34.
a
与
b
的
数量积
(
或内积
)
a
·
b
=|
< br>a
||
b
|cos
θ．数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|
a
|
与
b
在
a
的方向上的投影
<
/p>
|
b
|cos
θ
的乘积．
35.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1
x
2
,
y
1
<
/p>
y
2
)
.
的周期
T
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
< br>则
AB
OB
< br>
OA
(
x
2
x
1
,
y
2
<
/p>
y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x
,
y
),
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
< br>x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
< br>2
)
.
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
5
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津
时，你对梦想的偏执。
36.
两向量的夹角
公式
x
1
x
2
y
1
y
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
).
cos
2
2
2
2
x
1
y
1
x
2
y
2
37.
平面
两点间的距离公式
d
A
,
B
=
|
AB<
/p>
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
38.
向量的
平行与垂直
设
a
=
(
x
1<
/p>
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
< br>
0
，则
a
||
b
b
=
λ
a
x
1
y
2<
/p>
x
2
y
1
0
.
a
b(a
0)
a
·
b=
0
x
1
x
2
< br>y
1
y
2
0
.
39.
线段的
定比分点公式
设
P
PP
2
，则
1
P
2
的分点
,
是实数，且
PP
1
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，
P
(
x
,
y
)
是线段
P
1
x
1
<
/p>
x
2
x
OP
1
1
OP
2
OP
< br>
1
y
y
2
y
1
1
1
t
（
）
.
(1
t
)
< br>OP
OP
< br>tOP
1
2
1
< br>
40.
< br>三角形的
重心
坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△
ABC
的重
x
x
x
y
y
y
3
< br>心的坐标是
G
(
1
2
3
,
1
< br>2
)
.
3
3
O
为
ABC
的重心
OA
< br>
OB
OC
< br>
0
.
41.
点的平移公式
'
'
< br>
x
x
h
x
x
h
'
'
OP
OP
PP
.
'
'
y
y
k
y
y
k
注
:
图形
F
上的任意一点
P(x
，
y)
在平移后图形<
/p>
F
'
上的对应点为
P
'
(
x
'
,
y
'
)
，
且
PP
'
的坐标为
(
h
,
k
)
.
42.
“按向量平移”的几个结论
<
/p>
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到点
P
'
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象
C
按向量
a
=
(
h
,
k
)
< br>平移后得到图象
C
'
,
则
C
'
的函数
解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
6
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津
时，你对梦想的偏执。
(3)
图象
C
'
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
若
C
的
解析式
y
f
(
x
)
,
则<
/p>
C
'
的函数解析式为
y
f
(
x
h
)
<
/p>
k
.
(4)
曲
线
C
:
f
(<
/p>
x
,
y
)
0
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C<
/p>
'
,
则
C
'
的方程为
f
(
x
h
,
y
k
)
0
.
(5)
向量
m
=
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(<
/p>
x
,
y
)
.
43.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
2
b<
/p>
2
2
ab
(
当且仅当
a
＝<
/p>
b
时取“=”号
)
．
（
2
）
a
,
b
R
a
b
2
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)<
/p>
．
（
3
）
a
3
b
3
c
3
3
abc
(
a
0,
< br>b
0,
c
0).
（
4
）柯西不等式：
(
a
2
b
2
)(
c
2
< br>d
2
)
(
ac
bd
)
2
,
a
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
b
< br>a
b
a
b
.
44.
最值定理（
< br>积定和最小
）
已知
x
,
y
都是正数，则有<
/p>
（
1
）若积<
/p>
xy
是定值
p
，
则当
x
y
时
和
x
y
有最
小值
2
p
；
（
2
）若和
x
y
是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
1
4
s
2
.
推广
已知
x
,
y
R
，则有
(
x
y
)
2
(
x
y
)
2
2
xy
（
1
）若积
xy
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
x
y
|
最大；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
x
y
|
最小
.
（
2
）若和
|
x
y
|
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
xy
|
最小；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
xy
|
最大
.
45.
指数不等式与对数不等式
<
/p>
(1)
当
a
<
/p>
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
< br>
g
(
x
)
;
f
(
x
)
0
log
x
)
log
a
f
(
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
(2)
当
0
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
< br>
g
(
x
)
;
f
(
x
)
0<
/p>
log
f
(
x
)
lo
g
(
x
)
<
/p>
a
a
g
g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
46.
斜率公式
k
y
2
y
1
x
x
（
P
1
(
x
1
< br>,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
）
.
2
1
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很
酷！
7
所谓的光辉岁月，并不是以
后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
47.
直线的五种方程
（
1
）点斜式
y
y
1
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
< br>x
1
,
y
1
)
，且斜率为
k
< br>)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
y
y
1
x
x
1
（
3
）两点
式
(
y
1<
/p>
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
< br>(
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2<
/p>
)).
y
2
y
1
x
2
x
1
x
y
(4)
截距式
<
/p>
1
(
a
、
b
分别为直线的
横、纵截距，
a
、
b
< br>
0
)
a
b
（
5
）
一般式
Ax
By
C
0
(
其中
A
、
B
不同时为
0).
48.
两条直线的平行和垂直
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
< br>l
2
:
y
k
2
x
b
2
①
l
1
||
l
2
k
1
k
2
,
b
1
b
2
;
②
l
1
l
2
k
1
k
2
1
.
49.
l
1
到
l
2
的<
/p>
倒角公式
k
k
(1)
t
an
2
1
.
1
k<
/p>
2
k
1
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
<
/p>
b
2
,
k
1
k
2
1
)
50
．两种常用直线系方程
(1)
平
行
直
线
系
方
程
：
与
直
线
Ax
By
C
0
平
行
的
直
线
系
方
程
是
< br>Ax
By
< br>
0
(
0
)
，
λ是参变量．
(2)
垂直直线系
方程：与直线
Ax
By
C
0
< br> (A
≠
0
，
< br>B
≠
0)
垂直的直线系
方程是
Bx
Ay
0
,
λ是参变量．
51.
点到直线的距离
|
Ax
0<
/p>
By
0
C
|
d
(
点
P
(
x
0
,
y
< br>0
)
,
直线
l
：
Ax
By
C
0
).
2
2
A
B
52.
Ax
By
C
0
或
0
所表示的平面区域
设直线
l
:
Ax
< br>By
C
0
，则
Ax
By
C
0
或
0
所
表示的平面区域是：
（
1
）若
B
0
，当
B
与
Ax
By
C
同号时，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax
< br>By
C
异号时，表示直线
l
的下方的区域
.
简言之
,
同号在上
,
< br>异号在下
.
（
2
）若
B
< br>
0
，当
A
与
Ax
By
C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax
By
C
异号时，表示直线
l
的左方的区域<
/p>
.
简言之
,
同
号在右
,
异号在左
.
< br>
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
8