高二数学常用公式大全
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第八章
圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。
双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。
抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。
考试要求：
(1)
< br>掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。
(2)
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
(3)
掌握抛物线的定义、标准方程和抛
物线的简单几何性质。
(4)
了解圆锥曲线的初步应用。
一、椭圆
1
．定义
|
PF
1
|
|
PF
2
|<
/p>
2
a
|
F
1
F
2
|
|
PF<
/p>
1
|
|
PF
2
|
e
1
d
1
d
2
< br>注意：当
2
a
|
F
1
F
2
|
轨迹为线段
F
1
F
2
< br>
2
a
|
F
1
F
2
|
轨迹为
2
2
2
2
．方程与性质：
a
b
0,
a
b
c
（
1
）标准方程
（
2
）焦点
（
3
）准线
（
4
）顶点
（
5
）范围
（
6
）焦半径
x
2
y
2
2
1
2
a
b
y
< br>2
x
2
2
1
2
a
b
F
(
C
,0)
a
2
x
c
F
(0,
C
)
a
2
y
< br>
c
(
a
,0)
(0,
< br>b
)
|
x
|
a
,|
y
|
b
(0
,
a
)
(<
/p>
b
,0)
<
/p>
|
x
|
b
,|
y
|
a
|
PF
1
|
a
ex
0
< br>|
PF
2
|
a
ex
0
|
PF
1
|
a
ey
0
|
PF<
/p>
2
|
a
ey
0
（
7
）到焦点最远距离
a
+
c
，最近距离
a-c
2
2
x
0
y
0
x
2
y
2
内<
/p>
2
2
1
（
8
）点
P
(
x
0
,
y
< br>0
)
在椭圆
2
< br>
2
1
a
b
a
b
b
2
b
2
a
2
c
（
9
）
e
,
通径
2
，焦准距
，准线距
2
a
c
c
a
x
2
y
2
（
10
）
< br>2
2
1
上的点可设为
P
(
a
cos
,
b
sin
)
a
b
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a
2
c
,
F
(
C
,0)
e
完全一致才是标
准方程
注：①只有准线
x
c
a
②建立
a
,
b
,
c
的齐次方程或不等式即可求
e
的值或范围
A
< br>,
B
0
x
2
y
2
1
表示椭圆
③
A<
/p>
B
A
B
④
|
PF
1
|
|
PF
2
|
d
1
,
d
2
e
e
二、双曲线
1
．定义
1
|
PF
1
|
|
PF
2
|<
/p>
2
a
2
a
右支
2
a
|
F
1
< br>F
2
|
2
a
左支
注意：
2
a
|
F
1
F
2
|
是两射线
2
a
|
F
1
F
2
|
无轨迹
定义
2
|
PF
1
|
|
P
F
2
|
<
/p>
e
1
d
1
d
2
|
PF
1
|
d
1
e
2
< br>|
PF
2
|
d
2
e
2
2
2
．方程与性质
< br>c
a
b
x
2
y
2
y
2
x
2
（
1
）方程
2
2
1
2
2
1<
/p>
a
b
a
b
（
2
）焦点
（
3
）顶点
（
4
）范围
F
(
C
,0)
A
(
a
,0)
|
x
|
a
F
(0,
C
)
A
(0,
a
)
|
y
|
< br>a
（
5
）渐近线
y
b
x
a
y
a
x
令“
1
”为
0
即可
b
|<
/p>
PF
1
|
|
ey
0
a
|
|
PF
2
|
|
ey
0
a
|
（
6
）焦半径
|
PF
1
|<
/p>
|
ex
0
a
|
|
PF
2
|
|
ex
0
a
|
b
2
< br>b
2
a
2
c
（
7
）
e
，实轴长
=2
a
，虚轴长
=2
b
< br>，焦准距
，通径
2
，准线距
2
c
a
c
a
（
8
）等轴双曲线
a
=
b
,
e
2
2
2
x
0
y
0
（
9
）
p
(
x
< br>0
,
y
0
)
在不含焦点的区域
2
2
1
a
b
2
2
注意：①
Ax
By
c
表示双曲线
AB
0
C
0
x
2
y
2
n
②已知渐近线
y
< br>x
，可设双曲线方程
2
2
k
m
n
m
③双曲线的切线<
/p>
只有一个
交点
直线与双曲线交点只有一个
<
/p>
切线，平行于渐近线的直线
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三、抛物线
1
．
定义<
/p>
|
PF
|
d
2
．
方程<
/p>
y
2
px
3
．
焦点
F
2
y
2
2
px
x
2
< br>2
py
x
2
2
py
p
,
0
2
<
/p>
p
F
,0
2
p
F
< br>0,
2
p
F
0,
2
4
．
准线
x
p
2
x
p
2
p
2
y
|
PF
|
p
2
y
p
2
p
2
|
PF
|
p
y
0
2
5
．
焦半径
|
PF
|<
/p>
x
0
6
．
通径
2
P
p
x
0
2
|
PF
|
y
0
2
7
．
P
在内部
y
0
2
px
0
< br>
0
2
y
0
2
px
0
0
2
x<
/p>
0
2
py
0
0
2
x
0
2
py
0
0
注意①与抛物线只交于一点的直线
切线，平行于对称轴的直线
②焦点弦问题
2
（
i
）
y
1
y
2
<
/p>
p
（
ii
）
|
AB
|
|
AA
1
|
|
BB
1
|
x
1
x
2
p
（
iii
）
A
1
FB
1
9
0
（
iv
）
以
AB
为直径的圆与
A
1
B
1
相切
< br>
（
v
）
|
AB
|
（
vi
）
2
p
sin
2
1
1
2
|
AF
|
|
BF
|
p
四、直线与圆锥曲线主要问题
1
．弦长问题
l
|
x
1
x
2
|
1
< br>
k
2
|
y
1
y
2
|
1
焦点弦长
|
AB
|
|
A
F
|
|
BF
|
ed
1<
/p>
ed
2
1
1
k
2
2
k
|
a
< br>|
OA
OB
< br>
x
1
x
2
y
1
y
2
0
OA
OB
0
2
．垂直问题
AMB
为钝角
MA
MB
0
AMB
为锐角
MA
MB
0
1
．
对称问题：五式法，也可用违达定理（求出中点坐标，代
入区域内）
4
、
范围问题：先建立等式，再由等式到不等式
5
、
最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题
6
、
定值问题：先利用特殊探求定值再证明
7
、
向量问题：实现向量语言的转化，充分利用向量的坐标工具
8
、
轨迹问题：
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第九章
直线、平面、简单几何体
（
A
）考试内容：
平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。
平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。
直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面
的距离，斜线在平面上的射影，直线和
平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。
平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个
平面垂直的判定与性质。
多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球。
考试要求：
(1)
< br>理解
平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画
出空间两条直线、直线和平
面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系
。
(2)
掌握两条直线平行与垂直的
判定定理和性质定理，
掌握两条直线所成的角和距离的概念，
对
于异面直线的距离，
只要求会计算已给出公垂线时的距离。
<
/p>
(3)
掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平
面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上
的射影、直线和平面所成的角、直线和
平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理。
(4)
掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的
距离的概念，掌
握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
(5)
会用反证法证明简单的问题。
(6)
了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。<
/p>
(7)
了解棱柱的概念，掌握棱柱的性
质，会画直棱柱的直观图。
(8)
了
解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
(
9)
了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
一、平面的性质
1
、
公理<
/p>
1
，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有
点都在这个平面内
作用：证明直线在平面内
2
、
公理<
/p>
2
，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这
些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
作用：
（
1
）证两平面相交
（
2
）点在直线上
（
3
）三点共线或三点共线<
/p>
3
、
公理
3
，经过不在同一直线上的三点，有且只
有（确定一个）一个平面
推论
1
，经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有（确定一个）一个平面
推论
2
，经过两条相交直线，有且
只有（确定一个）一个平面
推论
3<
/p>
，经过两条平行直线，有且只有（确定一个）一个平面
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作用：
（
1
）确定一个平面
<
/p>
（
2
）证两平面重合
二、空间两条直线
1
、位置关系：
（
1
）相
交
有且只有一个公共点
（
2
）平行
在同一平面内，没有公共点
共面
（
3
）异面，不同在任何一个平面内，没有
公共点
2
、公理
4
：
a
//
b
,
b
//
c
a
//
c
3
、等角定理：如果一个角的两边和
另一个角的两边分别平行并且方向相同那么这两个角相等
推论
：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（直角）相等
4
、
异
面直线所成的角（
1
）平移（
2
）相交（
3
）锐角（直角）
< br>0
5
、
异面直线间的距离、公垂线段的长度
2
常常转化为线面距离、面面距离、再用等积法
三、直线与平面位置关系
1
相交：
a
A
2
平行：
< br>a
//
3
直线在平面内：
a
四、直线与平面平行
1
．
定义：
a
//
<
/p>
a
2
．判定定理：如果平面外一条直线和
这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
3<
/p>
．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这
条直线和交线平行
五、直线与平面垂直
1
．定义：
a
对于
任意
l
,
a
l
2
．判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那
么这条直线垂直于这个平面
3
．性质
定理：如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行
4
．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直
5
．三垂线逆定理，
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
6
．重要结论
（
1
）正方体的体对角线与异面的面对角线垂直
（
2
）从平面外一点引斜
线
①斜线段相等
< br>射影长相等
②斜线段较长
<
/p>
射影长较长
③斜线段
< br>>
垂线段
（
< br>3
）直线与平面所成的角的范围是；
[0,
2
]
< br>（
4
）最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和
这个平面经过斜足的直线所成的一切角中最小的角