高中数学常用公式大全
-
高中数学常用公式大全
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U<
/p>
A
x
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
I
B
)
C
U
A
U
C
U
B
;
C
U
(
A
U
B
)
C
< br>U
A
I
C
U
B
.
3
．集合
{
a
1
,
a
2
,
L<
/p>
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–
1
个；非空子集有
2
n
–
1
个；非空
的真子集有
2
n
–
2
个
.
4.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
bx
c<
/p>
(
a
0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)
<
/p>
a
(
x
h
)
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
< br>
x
2
)(
a
0)
.
5.
方程
f
(
x
)
0
在
(
k
1
,<
/p>
k
2
)
上有且只
有一个实根
,
与
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)<
/p>
0
不等价
,<
/p>
前者是后者的一个必
要而不是充分条件
.
特别地
,
方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
有且只
有一个实根在
(
k
1
< br>,
k
2
)
内
,
等价于
2
2
2
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
,
或
f
(
k
1
)
< br>
0
且
k
1
6.
闭区间上的二次函数的最值
k
<
/p>
k
2
k
k
2
b
b
1
k
2
.
< br>,
或
f
(
k
2
)
0
且
1
2
a
2
2
2
a
二次函数
f
(<
/p>
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
2
b
处及区间的两端
2
a
点处取得，具体如下：
（可画图解决问题）
(1)
当
a>0
时，若
x
b
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
min
f
(
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
2
a
b
p
,
q
< br>，
f
(
x
)
max
max
< br>
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(<
/p>
x
)
min
<
/p>
min
f
(<
/p>
p
),
f
(
q
)
.
2
a
b
b
(2)
当
a<0
时，若<
/p>
x
p
,
q
，则
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
，若
< br>x
p
,
q
，则
2
a
2<
/p>
a
x
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
< br>x
)
min
< br>min
f
(
< br>p
),
f
(
q
)
.
7.
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
1
/
15
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
真
8.
常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，
成立
对任何
x
，
不成立
真
真
真
假
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
真
假
假
假
原结论
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有
n
个
至多有
n
个
至多有
（
n
1
）
个
至少有
（
n
1
）
个
存在某
x
，
p
或
q
不成立
存在某
x
，
p
且
q
成立
p<
/p>
且
q
p
或
q
9.
四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
10.
充要条件
（
1
）
充分条件：若
p
q
< br>，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
11.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
< br>)
f
(
x
2
)
0
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
< br>x
)
在
a
,
b
上
是增函数；
x
1
x
2
f
(
x
1
)
<
/p>
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
x
1
x
< br>2
2
/
15
(2)
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x<
/p>
)
为增函数；如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为减函数
.
12.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是减函数
; <
/p>
如果
函数
y
<
/p>
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域
上都是减函数
,
则复合函数
y
f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
13
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，如果一个函数的图象关于原点
对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y
< br>轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)<
/p>
同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线
y=x
对称。
15.
几个函
数方程的周期
(
约定
a>0)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=a
；
16.
分数指数幂
(1)
a
m
n
1
n
a
m
1
m
n
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
(2)
a
m
n
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
< br>
1
）
.
a
17
．根式的性质
n
（
1
）
(
n
a
)
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
当
n
为偶数时，
a
< br>n
|
a
|
n
a
,
a
0
.
a
,
a
0
18
．有理指数幂的运算性质
< br>
(1)
a
a
a
r
< br>s
rs
r
s
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
)
a
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
a
b
(
a
0,
b
0,
r
Q
)
.
注：
若
a
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
表示一个确定的
实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无
理数指数幂都适用
.
19.
指数式与对数式的互化式
3
/
15
p
r
r
r
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
20.
对数的换底公式
log
a
N
log
m
N
(
a
0
,
且
a
1
< br>,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
推论
log
a
m
b
n<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
21
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
< br>1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
(2)
log
a
M
log
a
M
log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M
n
log
a
M
(
n
R
)
.
< br>22.
数列的同项公式与前
n
项
的和的关系
n
1
s
1
,
(
数列
{
a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
a
1
a<
/p>
2
L
a
n
).
a
n
s
s
,
n
2
n
n
1
*
23.
等差数列的通项公式
a<
/p>
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
)
；
其前
n
项和公式为
s
n
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d<
/p>
1
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
< br>n
.
2
2
2
2
n
1
24.
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
a
1
n
q
(
n
N
*
)
；
q
<
/p>
a
1
(1
q
n
)
a
1
a
n
q
,
q
< br>
1
,
q
1
其
前
n
项的和公式为
s
n
1
q
或
s
n
1
q
. <
/p>
na
,
q
1
na
,
q
1
1
1
25.
同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
sin
，
cos
27.
正弦、余弦的诱导公式：
奇变偶不变，符号看象限。
28.
和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
cos(
<
/p>
)
cos
<
/p>
cos
m
si
n
sin
;
4
/
15
< br>tan(
)
tan
tan
.
1
m
tan
tan
a
sin
b
cos
=
a
2
b
2
sin(
)
(
辅助角
所在象限由点
(
a
,
b
)
的象限决定
,
tan
29.
二倍角公式
b
).
a
sin
2
sin
cos
.
cos
2
< br>
cos
2
< br>
sin
2
< br>
2cos
2
1
1
2sin
2
< br>.
tan
2
2
tan
.
1
tan
2
30.
三角函数的周期
公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
∈
R(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
，ω＞
0)
的
周期
T
2
；
函数
y
tan(
x
)
，
x<
/p>
k
2
a
b
c
31.
正弦定理
2
R
.
sin
A
sin
B
sin
C<
/p>
32.
余弦定理
,
k
Z
(
A,
ω
,
为
常数，且
A
≠
0
，ω＞
0)
的周期
T
.
< br>a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
;
b
2
<
/p>
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
< br>2
ab
cos
C
.
33.
面积定理
1
1
1
ah
a
bh
b
ch
c
（
h
a
、
h
< br>b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
< br>1
1
（
2
）
S
ab
sin
C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
< br>2
2
（
1
）
S
34.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A
B
)
sinC=sin
(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)
35.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1)
结合律：λ
(
μ
a
)=(
λμ
)
a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
;
(3)
第二分配律：λ
(
a
+
b
)=
λ
a
+
λ
b
.
36.
向量的数量积的运算律：
5
/
15
(1)
a
·
b
=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b
=
（
a
·
b
）
=
a
·
b
=
a
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+
b
）
·
c
=
a
·
c
+
b
·
c
.
37.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实
数λ
1
、λ
2
，使得<
/p>
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
．
38
．向量平行的坐标表示
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
0
，则
a
P
b(b
0)
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
39. a
与
b
的数量积
(
或内积
)
a
·
b=|a||b|cos
θ．
40. a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|a|
与
b<
/p>
在
a
的方向上的投影
|b|cos
θ的乘积．
41.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b
=
(
x
2
,<
/p>
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1<
/p>
x
2
,
y
1
y
2
)
.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
< br>u
u
r
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
< br>)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB<
/p>
OB
OA<
/p>
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a=
(
x
,
y
),
< br>
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a=
(
x
1
,
y<
/p>
1
)
,b=
(<
/p>
x
2
,
y
2
)
，则
a
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
42.
两向量的夹角公式
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
y
2
1<
/p>
2
1
2
2
2
2
(a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
).
43.
平面两点间的距离公式
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
< br>1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B<
/p>
(
x
2
,
y
2
)
).
44.
向量的平行与垂直
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
0
，则
A||b
< br>
b=
λ
a
< br>
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
6
/
15
a
b(a
0)
a
·
b=0
x
1
x
2
y
1<
/p>
y
2
0
.
45.
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△
ABC
的重心的坐标是
G
(
x
1
x
2<
/p>
x
3
y
1
y
2
y
3
,
)
.
3
3
46.
三角形四“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为<
/p>
a
,
b
,
c
，则
u
u
u
r
2
u
u
u
r
< br>2
u
u
u
r
2
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0
.
u
u
u
r
u
u
< br>u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
（
3
）
O
为
ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
（
4
）
O
为
<
/p>
ABC
的内心
aOA
bOB
cOC
0
.
47.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
b
<
/p>
2
ab
(
当且仅
当
a
＝
b
时取
“=”号
)
．
（
2
）
a
,
b
R
3
3
3
2
2
a
b
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
．
2
（
3
）
a
b
c
3
abc
(
a
0,
< br>b
0,
c
0).
（
4
）
a
b
a
b<
/p>
a
b
.
48.
均值定理
已知
x
,
y<
/p>
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
（
2
< br>）若和
x
y
< br>是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
4
2
2
49.
一元二次不等式
a
x
bx
c
0(
或
<
/p>
0)
(
a
0,
b
4
ac
0)
，如果
a
与
ax
bx
c
同
号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
bx
c
异号，则其解集
在两根之间
.
简言之：同号两根之
外，
异号两根之间
.
2
x
1
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
；
7
/
15