初中数学常用公式和定理大全
-
初中数学常用公式定理
1
、整数
(
包括：正整数、
0
、负整数
)
和
分数<
/p>
(
包括：有限小数和无限环循小数
)
都是
有理数
．如：－
3
，
0.231
，
< br>0.737373
…，
，
．无限
不环循小数叫做
无理数
．如：π，－
，
，
0.1010010001
…
(
两个
1
之
间依次多
1
个
0
)
．有理数和无理数统称为
实数．
2
、绝对值
：
a
≥
0
丨
a
丨＝
a
；
a
≤
0
丨
a
丨＝－
a
．如：丨－
丨＝
；丨
3.14
－π丨
＝π－
3.14
．
< br>3
、
一个
近似数
，从左边笫一个不是
0
的数字起，到最末一个数字止，
所有的数字，都叫做这个近似数的
有
效数字
．如：
0.05972
精确到
0.
001
得
0.060
，结果有两个有效
数字
6
，
0
．
4
、
把一个
数写成±
a
×
10
n
的形式
(
其中
< br>1
≤
a
＜
10
，
n
是整数
)
，这种记数法叫做
科学记数法．
如：－
40700
10
－
5
．
＝－
4.07
×
10
5
，
0.000043
＝
4
.3×
5
、乘法公式
(
反过来就是因式分解的公式
)
：①
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－
b
2
．②
(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±
2
ab
＋
< br>b
2
．③
(
a
＋
b
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
＝<
/p>
a
3
＋
b
3
．
a
2
＋
b
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
2
ab
，
④
(
a
－
b
)(<
/p>
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
－
b
3
；
(
< br>a
－
b
)
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
4
ab
．
6
、幂的运算性质：
①
a
m
×
a
n
＝
a
m
＋
n
．②
a
m
÷
a
n
＝
a
m
－
n
．③
(
a
m
)
< br>n
＝
a
mn
．④
(
ab
)
n
＝
a
n
b
n
．⑤
(
)
n
＝
n
．
⑥
a
n
＝
－
1
－
，
特别：
(
)
n
＝
(
)
< br>n
．
⑦
a
0
＝
1
(
a
≠
0
)
．
如：
a
3
×
a
2
＝
a
5
，
a
6
÷
a
2
＝
a
4
，
(
a
3
)
2
＝<
/p>
a
6
，
(
3
a
3
)
3
＝
27
a
9
，
n
a
< br>＝
，
(
)
－
2
＝
(
)
2
＝
，
(
－
3.14
)
º<
/p>
＝
1
，
(
＝丨
a
丨，③
＝－<
/p>
a
＝
．④
×
－
，④
)
0
＝
1
．
＝
(
a
＞
0
，
b
≥
0
)
．如：
(
－
3
)
－
1
＝－
，
5
－
2
＝
7
、二次
根式
：①
(
①
(
3
)
2
＝<
/p>
45
．②
)
2<
/p>
＝
a
(
a
≥
0
)
，②
＝
6
．③
a
＜
0
时，
的平方根＝
4
的平方根＝±
2
．（平方
根、立方根、算术平方根的概念）
< br>8
、
一元二次方程
：对于方程：
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
：
2
b
b
4
ac
①
求根公式
是
x
＝
，其中△＝
b
2
－
4
ac
叫做根的判别式．
2
a
当△＞
0
时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝
< br>0
时，方程有两个相等的实数根；
当△＜
0
时，方程没有实数根．注意：当△≥
0
时，方程有实数根．
②
若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，并且二次三项式
a
x
2
＋
bx
＋
c
可分解为
a
(
x
－
x
1<
/p>
)(
x
－
x
2
)
．
③以
a
和
b
为根的一元二次方程是
x
2
－
(
a
＋
b
)
x
＋
ab<
/p>
＝
0
．
9
、
一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠
0
)
的图象是一条直线
(
b
是直线与
y
轴的交点的纵坐标即一次函
数在
y
轴上的截
距
)
．当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
(
直线从左向右上升<
/p>
)
；当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小
(
直
线从左向右下
降
)
．特别：当
b
＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
≠
0
)
< br>又叫做正比例函数
(
y
与
x
成正比例
)
，图象
必过原点．
10
、
< br>反比例函数
y
＝
(
k
≠
0
)
< br>的图象叫做双曲线．当
k
＞
0<
/p>
时，双曲线在一、三象限
(
在每一象限内
，从左向
右降
)
；当
< br>k
＜
0
时，双曲线在二、四象限
(
在每一象限内，从左向右上升
)
．因此，它的增减性与一次函数
相反．
<
/p>
11
、
统计初步
：
（
1
）概念
：①所要考察的对象的全体叫做
总体
，其中每一个考察对象叫做
个体．
从总体
1
中抽取的一部份个体叫做总体的一个
样本
，样本中个体的数目叫做
样本容量．②
< br>在一组数据中，出现次数
最多的数
(
有时不止一个
)
，叫做这组数据的
众数
．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数
(
或两个数的平均数
)
叫做这组数据的<
/p>
中位数．
（
2
）公式：
设有
n
个数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，那么：
①平均数为：
x
=
x
1
+
x
2
+
......
+
x
n
；
n
②极差：
用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，
用这种方法得到的
差称为极差，
即：
极差
=
最大值
-
最小值；
③方差：
2
1
轾
数据
x
1
、
x
2
……<
/p>
,
x
n
的方差
为
s
，
则
s<
/p>
=
(
x
1
-
x
)
+
犏
n
臌
2
2
(
x
2
-
x
)
+
.....
+
2
(
x
n
-
x
)
2
标准差：方差的算术平方根
.
数据<
/p>
x
1
、
x
2
……
,
x
n
的标准差
s
，
则
s
=
2
1
轾
x
-
x
+
(
)
< br>犏
1
n
臌
(
x
2
-
x
)
+
.....
+
2
(
x
n
-
x
)
2
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
12
、频率与概率：
（
1
）频率
=
频数
，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于
1
，频率分布直方图中各个小长
总数
方形的面积为各组频率。
（
2
）概率
①如果用
P
表示一个事件
A
发生的概率，则
0≤P
（
A
）
≤1
；<
/p>
P
（必然事件）
=
1
；
P
（
不可能事件）
=
0
；
< br>
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单
事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
13
、锐角三角函数
：
①设∠
A
是
Rt
△
ABC
的任一锐角，则∠<
/p>
A
的正弦：
sin
A
＝
正切：
tan
< br>A
＝
．并且
sin
2
A
＋
cos
2
A
＝
1
< br>．
，∠
A
的余弦：
cos
A
＝
，∠
A
的
0
＜
sin
A
＜
1
，
0
＜
cos
A
＜
1
，
tan
A
＞
0
．∠
A
越大，∠
A
的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．
②
余角公式
：
sin<
/p>
(
90º
－
A<
/p>
)
＝
cos
A<
/p>
，
cos
(
90
º
－
A
)
＝<
/p>
sin
A
．
<
/p>
sin30º
sin45º
③
特殊角的三角函数值：
＝
cos60º
＝
，
＝
cos45º
＝
＝
1
，
tan60º
＝
．
h
α
l
sin60º
，
＝
cos30º
＝
tan30º<
/p>
，
＝
tan45º
，
铅垂高度
④
斜坡的坡度：
i
＝
＝
．设坡角为α，
则
i
＝
tan
α＝
．
水平宽度
14
、平面直角坐标系中的有关知识：
< br>（
1
）对称性：若直角坐标系内一点
P
（
a
，
b
）
，则
P
关
于
x
轴对称的点为
P
< br>1
（
a
，－
b
）
，
P
关于
y
轴对称的
点为
< br>P
2
（
－
a
，
b
）
，
关于原点对称的点为
P
3
（
－
a
，－
b
）
.
2
（
2
）坐标平移：若直角坐标系内一点
P
（
a
，
< br>b
）向左平移
h
个单位，坐标变
为
P
（
a
－<
/p>
h
，
b
）
，向右平移
h
个单位，坐标变为
P
（
a
＋
< br>h
，
b
）
；向上平移
h
个单位，坐标变为
P<
/p>
（
a
，
b
＋
h
）
，向下平移<
/p>
h
个单位，坐标
变为
P
（
a
，
b
－
h
）
.<
/p>
如：点
A
（
2<
/p>
，－
1
）向上平移
2
个单位，再向右平移
5
个单位，则
坐标变为
A
（
7
，
1
）
.
15
、二次函数的有关知识：
1.
定义：一般地，如果
y
< br>
ax
bx
< br>
c
(
a
,
b
,
c
是
常数，
a
0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数
.
2.
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.
①
a
的符号
决定抛物线的开口方向：当
a
0
时，开口向上；当
a
0
时，开口向下；
2
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
②平行于
y
轴（或重合）的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作直线
x
0
.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
当
a
0
时<
/p>
开口向上
当
a
0
时
开口向下
对称轴
顶点坐标
（
0,0
）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y
ax
2<
/p>
y
ax
k
y
a
x
h
< br>2
x
0
（
y
轴）
x
0
（
y<
/p>
轴）
x
h
2
y
a
x
h
k
< br>2
x
h
x
b
2
a
y
ax
2
bx
c
b
4
ac
b
2
，
(
)
2
a
< br>4
a
4.
求抛物线的顶点、对称
轴的方法
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
2
（
，
）
（
1
）公式法：
y
ax
bx
c
a
x
，∴顶点是
，对称轴是直
2
a
4
a<
/p>
2
a
4
a
线
x
2
b
.
2
a
2
（
2
）配方法：运用配方的方法，将抛物线
的解析式化为
y
a
< br>
x
h
k
的形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
，
对称轴是直线
x
h
.
（
3
）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对
称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
(<
/p>
x
2
,
y
)
（及
y
值相同）<
/p>
若已知抛物线上两点
(
x
1
,
< br>y
)
、
，则对称轴方程可以表示
为：
x
9.
抛物线
y
ax
bx
c
中，
a
,
b
,
c
的作用
（
1
）
a
决定开口方向及开口大小，这与
y
ax
中的
a
完全一样
.
（
2<
/p>
）
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位置
.
由于抛物线<
/p>
y
ax
bx
c
的对称轴
是直线
2
2
2
x
1
x<
/p>
2
2
x
③
b
b
，故：①
b
0
时，对称轴为
y
轴；
②
0
（即
a
、
b
同号）时，对称轴在
y
轴左侧；
2
a
a
b
0
（即
a
、
b
< br>异号）时，对称轴在
y
轴右侧
.
a
2
（
3
）
c
的大小决定
抛物线
y
ax
bx
c
与
y
轴交点的位置
.
3