数学_常用公式性质
-
中考数学常用公式及性质
1
．
乘法与因式分解
①(
a
＋
b
)(
< br>a
－
b
)
＝
a
2
－
b
2
；②(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±2
ab
＋
b
2
；③
(
a
＋
b
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
＋
b
3
；
2
2
3
3
2
2
2
2
2
④(
a
－
b
)(
a
＋
ab
＋
b
)
＝
a
－
b
；
a
＋
b
＝
(
a
＋
b<
/p>
)
－
2
ab
；
(
a
－
b
)
＝
(
a
＋
b
)
< br>－
4
ab
。
2
．
幂的运算性质
a
n
a
n
①
a
×
a
＝
a<
/p>
；②
a
÷
a
＝
a
；③(
a
)
＝
a
；④(
ab
)
＝
a
b
；⑤(
)
＝
n
；
b
b
m
n
m
+
n
m
n
m
-
n
m
n
mn
n
n
n
⑥
a
-
n
＝
1
，特别：
(<
/p>
)
-
n
＝
(
)
n
；⑦
a
0
＝
1(
a
≠0)。
n
a
＝丨
a
丨；③
＝
×
；④
＝
(
a
＞
0
，
b
≥0)。
3
．
二次根式
①
(
)
2
＝
a<
/p>
(
a
≥0)；②
4
．
三角不等式
|a|-
|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）
；
<
/p>
加强条件：
||a|-
|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其
中
a
，
b
分别为向量
a
和向量
b
）
|a+b|≤|a|+|b|；
|a-<
/p>
b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>
-
b≤a≤b ；
|a-
b|≥|
a|
-|b|
；
-
|a|≤a≤|a|；
5
．
某些数
列前
n
项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9
+…+n=n(n+1)/2；
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n
2
；
2+4+6+8+10+12+1
4+…+(2n)=n(n+1)；
1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
< br>2
=n(n+1)(2n+1)/6
；
< br>
1
+2
+3
+4
+5
+6
+…n
=n
(n+1)
/4
；
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n
(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；
6
．
一元二次方程
2
对于方程：
ax
＋
bx
＋
c
＝
0
：
3
3
3
3
3
3
3
2
2
b<
/p>
b
2
4
ac
①
求根公式<
/p>
是
x
＝
，其中△
＝
b
2
－
4<
/p>
ac
叫做根的判别式。
2
a
当△＞
0
时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝
0
时，方程有两个相等的实数根；
当△＜
0
时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，
方程有实数根。
②若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，则二次三项式
ax
2
＋
bx
＋
c
< br>可分解为
a
(
x
－
x
1
)(
< br>x
－
x
2
)
。
③以
a
和
b
为根的一元二次方程是
x
2
－
(
a
＋
b
)
< br>x
＋
ab
＝
0
。
7
．
一次函数
一次函数
< br>y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)的图象是一条直线<
/p>
(
b
是直线与
y
轴的交点的纵坐标，称为截距
)
。
①当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
(
直线
从左向右上升
)
；
< br>②当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小
(
直线从左向右下降
)
；
③特别地：当
b
＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
≠0)又叫做正比例函数
(
y
与
x
成正比例
)
，图象必过原点。
8
．
反比例函数
反比例函数
y
＝
(
k
< br>≠0)的图象叫做双曲线。
①当
k
＞
0
时，双曲线在一、三象限
(
在每一象限内，从左向右降
)
；
②当
k
＜
0
时，双曲线在二、四象限
(
在每一象限内，从左向右上升
)
。
9
．
二次函数
（
1
）
.
定义：
一般地，如果
y
ax
bx
c
< br>(
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函
数。
（
2
< br>）
.
抛物线的三要素：
开口方向
、对称轴、顶点。
①
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a
0
时，开口向上；当
a
0
时，开口向下；
2
a
相等，抛物线的开口
大小、形状相同。
②平行于
y
轴（或重合）的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作直线
x
<
/p>
0
。
（
3
）
.
几种特殊的二
次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
（
0,0
）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y
ax
2<
/p>
y
ax
2
k
y
a
x
h
< br>
2
x
0
（
y
轴）
x
0
（
y
轴）
当
a
0
时
开口向上
当
a
0
时
开口向下
x
h
x
h
b
x
2
a
y
a
x
< br>
h
k
2
y
ax
bx
c
（
4
）
.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
b
4
ac
b
2
，
(
)
2
a
4
a
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2<
/p>
2
（
，
）
①公式法
：
y
ax
bx
c
<
/p>
a
x
，
∴顶点是
，
对
2
a
4
a
2
a
4
a
< br>称轴是直线
x
2
b
。
2
a
2
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y
a
x
h
< br>k
的形式，得到顶点
为
(
h
,
k
)
，对称轴是直线
x
h<
/p>
。
③运用抛
物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交
点是顶点
。
(
x
2<
/p>
,
y
)
（及
y
值相同）
< br>若已知抛物线上两点
(
x
1
,
y
)
、
，则对称轴方程可以表示为：
x
x
1
x
< br>2
2
2
y
ax
bx
c
中，
a
,
b
,
c<
/p>
的作用
（
5<
/p>
）
.
抛物线
①
a
决定开口方向及开口大小，这与<
/p>
y
ax
中的<
/p>
a
完全一样。
②
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位置
.
由于抛物线
y
ax
<
/p>
bx
c
的对称
轴是直线。
2
2
b
b
，
故：
①
b
0
时
，
对称轴为
y
轴；
②
0
（即
a
、
b
同号）
时，
对称轴在
y
2
< br>a
a
b
轴左侧；③
0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y<
/p>
轴右侧。
a
x
③
c
的大小决定抛物线
y
ax
bx
c
与
y
轴交点的位置。
当
x
0
时，<
/p>
y
c
，∴抛物
线
y
ax
bx
c
与<
/p>
y
轴有且只有一个交点（
0
，
c
）
：
< br>
①
c
0
，
抛物线经过原点<
/p>
;
②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；
③
c
0
,
与
y
轴交于负半轴
.
以上三点中，
当结论和条件互换时，
仍成立
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，
则
（
< br>6
）
.
用待定系数法求二次函数
的解析式
①一般式：
y
ax
bx
c
.
已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常选择一般式
.
<
/p>
②顶点式：
y
a
x
h<
/p>
k
.
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
2
2
2
b
0
。
a
2
③交点式：已知图像与
x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用
交点式：
y
a
x
x
1
x
x<
/p>
2
。
（
7
）
.
直线与抛物线的交点
①
y
轴与抛物线
y
ax
bx
c
得交点为
(0,
c
)
。
②抛物线与
x
< br>轴的交点。
二次函数
y
ax
bx
c
的图像与<
/p>
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2
< br>，
是对应一元二次方程
2
2
ax
2
bx
c
0
的两个实数根
.
抛物
线与
x
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
判别式判定：
a
有两个交点
(
0
)
抛物线与
x
轴相交；
b
有一个交点（顶点在
x
轴上）
(
0
)
抛物线与
x
轴相切；
c
没有交点
(
0
)
抛物线与
x
轴相离。
③
平行于
x
轴的直线与抛物线的交点
同②一样可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为
k
，则横坐标是
ax
bx
c
k
的两个实数根。
④一次函数
y
kx
n
k
0
的图
像
l
与二次函数
y
ax
bx
c
a
0
的图像
G
的交
2
2
点
，由方程组
y
< br>kx
n
y
ax
bx
c
2
的解的数目来确定：
a
方程组有两组不同的解时
l
与
G
有两个交点；
b
方程组只有一组
解时
l
与
G
只有一个交点；
c
< br>方程组无解时
l
与
G
没有交点。
2
⑤
抛
物
线
与
x<
/p>
轴
两
交
点
之
间
的
距
离
：
若
抛
物
线
y
ax
bx
c
与
x
轴
两
交
点
为
A<
/p>
x
1
，
0
，
B
x
2
，
0
，则
AB
x
1
x
2
10
．
统计初步
（
1
）概念
：①所要考察的对象的全体叫做
总体
，其中每一个考察对象叫做
个体．
从总体中抽
取的一部份个体叫做总体的一个
样本
，样本中个体的数目叫做
样本容量．②
在一组数据中
，出
现次数最多的数
(
有时不止一个<
/p>
)
，叫做这组数据的
众数
．③将一组数据按大小顺序排列，把处
在最中间的一个数
(
或两个数的平均数
)
叫做这组数据
的
中位数．
（
2
）公式：
设有
n
< br>个数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，那么：
①平均数为：
x
=
x
1
+
x
2
+
......
+
x
n
；
n
②极差：
用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，
用这种方法
得到的差称为极差，即：极差
=
最大值
-
最小值；
③方差：数据
x
1
、
x
2
……,
x
n
的方差为
s
，<
/p>
2
1
轾
则
s
=
(
x
1
-
x
)
+
犏
n
臌
2
2
(
x
2
-
x
)<
/p>
+
.....
+
2
(
x
n
-<
/p>
x
)
2
④标准差：方差的算术平方根。
数据
x
1
、
x
2
……,
x
n<
/p>
的标准差
s
，
则
s
=
2
1
轾
x
-
x
+
(
)
犏
1
n
臌
< br>(
x
2
-
x
)
+
.....
< br>+
2
(
x
n
-
x
)
2
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
11
．
频率与概率
（
1
）频率
频率
=
频数
，
各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于
1
，频率分
布直方图中
总数
各个小长方形的面积为各组频率。
（
2
）概率
①如果用
P
表示一个事件
A
发生的概率，则
0≤P（
A
）≤1；
P
（必然事件）
=1
；
P
（不可能事件）
=0
；
<
/p>
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的
概率。