高中数学公式大全(高中生必须掌握)
-
初高中数学常用公式及常用结论
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U
A
x<
/p>
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
< br>U
A
C
U
B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
< br>U
A
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4.
容斥原理
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA
cardB
ca
rdC
card
(
< br>A
B
)
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
c
ard
(
C
A
)
card
(
A
B
C
)
.
5
．
集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
个；
真子集有
2
–
1
个；
非空子集有
2
–
1
个；非空的真子集有
2
–
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
<
/p>
c
(
a
0)
;
(2)
顶点
式
f
(
x
)<
/p>
a
(
x
h
)
2
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
7.
解连不等式
N
f
(
< br>x
)
M
常有以下转化形式
n
n
n
n
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
<
/p>
M
][
f
(
x
)
N
]
0
M
N
M
< br>
N
f
(
x
)
N
|
0
|
f
(
x
)
2
2
M
< br>f
(
x
)
1
1
.
f
(
x
)<
/p>
N
M
N
8.
方程
f
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
,
与
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不等价
,
前者是后
者的一个必要而
不是充分条件
.
特别地
,
方程
ax
bx
c
0
(
a
0
< br>)
有且只有一个实根在
2
(
k
1
,
k
2
)
内
,
等价于
f
(
k
1
)
f
(
< br>k
2
)
0
,
或
f
(
k
1
)
0
且
k
1
k
1
k
2
b
< br>
k
2
.
2
2
a
9.
闭区间上的二次函数的最值
k
k
2
b
1
,
或
f
(
k
2
)
0
< br>且
2
a
2
二次函数
f
(
x
)
ax
< br>2
bx
c
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
上
的最值只能在
x
< br>间的两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0
时，
若
x
b
< br>处及区
2
a
< br>
；
b
b
p
,
q
，
()
n<
/p>
m
f
(
,
)
()
f
x
则
f
x
i
2
a
< br>2
a
x
m
a
x
m
a
(
f
,
)
p
()
f
q
b
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(<
/p>
q
)
.
2
a
b
p
,
q
，
则
f
< br>(
x
m
(2)
< br>当
a<0
时
，
< br>若
x
)
i
m
i
n
f
p
(
)
f
q
(
若
)
,
，
n
2
< br>a
b
x
p
,
q
，则
f<
/p>
(
x
)
max<
/p>
max
f<
/p>
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
< br>a
x
10.
一元二次方程的实根分布
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
依据
：若
f
(
m
)
f
(
n
)
0
，则方程
f<
/p>
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个
实根
.
设
f
(
x
)
x
2
px
q
，则
<
/p>
p
2
4
q
0
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
< br>内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
；
m
< br>
2
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
（
2
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
< br>内有根的充要条件为
f
(
m
)
f
(
n
)
0
或
p
2
< br>4
q
0
m
p
n
2
f
(
m
)
0
f
(
< br>n
)
0
或
或
；
af
(<
/p>
n
)
0
af
(
m
)
0
p
2
4
< br>q
0
（
3
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
.
m
2
11.
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
< br>
,
，
,
，
,
不同）
上含参数
的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
min
0(
x
L
)
.
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立
的充要条件是
f
(<
/p>
x
,
t
)
man
0(
x
L
)
.
a
0
a
0
4
2
(3)
f
(
x
)
ax
bx
c
0
恒成立的充要条件是
b
0
或
2
.
c
< br>0
b
4
ac
0
12.
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
是
不是
至少有一个
都是
不都是
至多有一个
大于
不大于
至少有
n
个
小于
不小于
至多有
n
个
对所有
x
，
存在某
x
，
p
或
q
成立
不成立
对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
p
且
q
成立
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有
< br>（
n
1
）
个
至少有
（
n
1
）
个
p
且
q
p
或
q
14.
四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
15.
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q<
/p>
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
16.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
< br>0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是增
函数；
x
1
x
2
f
(<
/p>
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
< br>(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
x
1
< br>
x
2
(2)
< br>设函数
y
f
< br>(
x
)
在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为增函数；如果
f
(<
/p>
x
)
0
，则
f
(
x
)
为减函数
.
17.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(<
/p>
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
< br>)
也是减
函数
;
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上都是减函数
,
则复合函数
y
< br>f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)<
/p>
f
(
x
2
)
0
18
．奇偶函数的图
象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，
如果一个函数的图
象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；<
/p>
如果一个函数的图象关于
y
轴对称，
那么这个函
数是偶函数．
19.
若函数
y
f
(
x
)
是偶函数，
则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
；
若函数
y
f
(
x
a<
/p>
)
是偶函
数，则
f
(
x
a<
/p>
)
f
(
x
a
)
.
20.
对于函数<
/p>
y
f
(
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
< br>)
f
(
b
x
)
恒
成立
,
则函数
f
(
x
)
的对称轴是
< br>函数
x
a
b
a
b
;
两个函数
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
对称<
/p>
.
2
2
a
21.
若
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
< br>则
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
关
于
点
(
,
0
)
对
称
;
若
2
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
则函
数
y
f
(<
/p>
x
)
为周期为
2
a
的周期函数
.
22
．多项式函数
P
(
x
)
a
n
x
a
n
1
x
n
n
1
<
/p>
a
0
的奇偶性
多项式函数
P
(
x
)
是
奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
多项式函数
P
(
x<
/p>
)
是偶函数
P
(
x
)
的奇次
项
(
即偶数项
)
的系数全为零
.
23.
函数
y
f
(
x
)
的图象的对称性
<
/p>
(1)
函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)<
/p>
f
(
a
x
)
f
(2
a
x
)
< br>f
(
x
)
.
(2)
函数
y
< br>
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
b
对称
f
(
a
mx
)
f
(
b
m
x
)
2
<
/p>
f
(
a
b
mx
)
f
(
mx
)
.
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
24.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x<
/p>
a
b
对称
.
2
m
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
(
x
< br>)
的图象关于直线
y=x
对称<
/p>
.
25.
若将函数
y
f
(
x
)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的图
象；
若将曲线
f
(
x
,
y
)
0
的图象右移
a
、
上移
b
个单位，
得到曲线
f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图
象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
27.
若
函
数
y
f
(
kx
b
)
存
在
反
函
数
,
则
其
反
函
数
为
y
1
1
[
f
(
x
< br>)
b
]
,
并
不
是
k
y
[
f
1
(
kx
b
)
,
而函数
y
[
f
1
(
kx
b
)
< br>是
y
1
[
f
(
x
)
b
]
的反函
数
.
k
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
< br>)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(<
/p>
x
)
f
(
y
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
x
,
f
(
x
y
)
f
(
x
< br>)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),<
/p>
f
(
a
)
1(
a
0,
a
1)
.
(4)
幂函数
f<
/p>
(
x
)
x
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
< br>f
(
y
),
f
'
(1)
.
(5)
余弦函数
f
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
x
)
sin
x
，
f
(
x
< br>
y
)
f
(
x
)
f
(
y
)
g
(
x
)
g
(
y
)
，
f
(0)
1,lim
x
0
g
(
x
)
1
.
x
29.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)<
/p>
，则
f
(
x
)
的周期
T=a
；
（
2
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
< br>0
，
1
(
f
(
x
)
0
)
，
f
(
x
)
1
或
f
(
x
a
< br>)
(
f
(
x
)
0)
,
f
(
x
)
1
2
或
f
(
x
)
f
(
x
)
< br>f
(
x
a
),(
f
(
x
)
0
,1
)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=2a
；
2
1
(
f
(
x
)
0
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=3a
；
(3)
f
(
x
)
1
f
(
x
a
< br>)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)
且
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
1<
/p>
,0
|
x
1
x
2
|
2
a
)
，则
1
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
f
(
x<
/p>
)
的周期
T=4a
；
(5)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a
)
f
(
x
< br>
3
a
)
f
(
x
4
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
< br>(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
,
则
f
(
x
< br>)
的周期
T=5a
；
(6)
f
(
x
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=6a.
或
f
(
x
a
)
30.
分数指数幂
(1)
a
m
n
1
< br>n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
给自己一个理由，去改变自己成就梦
想！
初高中数学常用公式及常用结论
(2)
a
m
n
1
a
m
n
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
< br>）
.
31
．根式的性质
< br>（
1
）
(
n
a
)
n
a
.
（
2<
/p>
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
当
n
为偶数时，
n
a
n
|
a
|
32
．有理指
数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
r
)
s
a<
/p>
rs
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
r
a
r
b
r
(
a
0,
b
< br>0,
r
Q
)
.
p
注：
若<
/p>
a
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用
.
33.
指数式与对数式的互化式
a
,
a
0
.
a
,
a
0
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
34.
对数的换底公式
log
m
N
(
a
0
,<
/p>
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
n
推论
lo
g
a
m
b
<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
log
a
N
35
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
< br>1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
M
log
a
M
log
a
N
;
N
(3)
log
a
< br>M
n
n
log
a
M
(
n
R
)
.
(2)
log
a
36.
设函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
2
< br>
bx
c
)(
a
0
)
,
记
b
4
ac<
/p>
.
若
f
(
x
)
的定义域为
2<
/p>
R
,
则
a
0
，且
0
;
若
f
(
x
)
< br>的值域为
R
,
则
a
0
，且
< br>
0
.
对于
a
0
的情形
,
需要
单独检验
.
37.
对数换底不等式及其推广
1
,
则函数
y
log
ax
(
bx
)
a
1
1
(1)
当
a
b
时
,
在
(0
,
)
和
(
,<
/p>
)
上
y
log
ax
(<
/p>
bx
)
为增函数
.
a
a
1
1
)
和
(
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为减函数
.
，
(2)
当
a
b
时
,
在
(0,
a
a
若
a
0
,
b
0
,
x
0
,
x
推论
:
设
n
m
1
，
p
0
，
a
0
，且
a
1
，则<
/p>
（
1
）
log
m
p
(
n
p
)
log
m
n
.
（
2
）
log
a
m
log
a
n
log
a
2
m
n
.
2
38.
平均增长率的问题
如果原来产值的基
础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
< br>y
N
(1
p
)
x
.
39.
数列的同项公式与前
n
项的和的关系
n
1
s
1<
/p>
,
(
数列
{<
/p>
a
n
}
的前
n
项的和为
s
n<
/p>
a
1
a
2
a
n
).
a
n
s
s
,
n
2
n
n
1
40
.
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N<
/p>
*
)
；
其前
n
项和公式为
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
na
1
d
2
< br>2
d
1
n
2
(
a
1
d
)
n
.
2
2
s
n
41.
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
n
1
<
/p>
a
1
n
q
(
n
N
*
)
；
q
其前
n
< br>项的和公式为
a
1
(1
q
n
)
,
q
< br>
1
s
n
1
q
na<
/p>
,
q
1
1
a
1
a
n
q
,
q
1
或
s
n
1
<
/p>
q
.
na<
/p>
,
q
1
1
42.
等比差数
列
a
n
<
/p>
:
a
n
1
qa
n
d
,
a
1
b
(
< br>q
0)
的通项公式为
b
(
n
1)
d
,
q
1
a
n
bq
n
(
d
b
)
q
n
1
d
；
,
q
< br>1
q
1
其前
n
项和公式为
nb
< br>
n
(
n
1)
d
,(
q
1)
s
n
.
d
1
q
n
d
(
b
1
q
)
q
< br>1
1
q
n
,(
q
1)
43.
分期付款
(
按揭贷款
)
ab
(1
b
)
n
每次还
款
x
元
(<
/p>
贷款
a
元
,
n
次还清
,
每期利
率为
b
).
(1
b
)
n
1
44
．常见三角不等式
（
1
）若
x
(0,
(2)
若
x
(0,
2
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
45.
同角三角函数的基本关系式
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
<
/p>
sin
2
<
/p>
cos
2
<
/p>
1
，
tan
<
/p>
=
46.
正弦、余弦的诱导公式
n
n
(
< br>1)
2
sin
,
sin(
)
< br>n
1
2
(
1)
2
co
s
,
sin
，
tan
c
ot
1
.
cos
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
s
,
n
(
1
)
co
co
s
(
)
< br>n
1
2
(
1
)
2
s
i
n
,
n
2
47.
和角与差角公式
sin(
)
< br>sin
cos
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
tan
tan(
)
.
1
tan
tan
sin(
< br>
)sin(
)
sin
2
sin
2
(
平方正弦公式
);
cos(
)cos(
)
c
os
2
s
in
2
.
a
sin
b
cos
=
b
定
,
tan
).
a
48.
二倍角公式
a
2
b
2
sin(
)
(
辅
< br>助
角
所
在
象
限
由
点
(
a
,
b
)
的
象
限
决
sin
2
sin
cos
.
cos
2<
/p>
cos
2<
/p>
sin
2<
/p>
2cos
2
1
1
2sin
2<
/p>
.
2
tan
tan
2
.
1
<
/p>
tan
2
49
.
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin
sin(
)s
in(
)
.
3
3
cos3
4cos
3
< br>
3cos
4cos
cos(
)cos(
<
/p>
)
3
3
.
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(
)
tan(
)
.
2
1
3tan
3
3
50.
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
< br>∈
R(A,
ω
,
为常数，
且
A
≠
0
，
ω
< br>＞
0)
的周期
T
2
；函数
y
tan(
x
< br>)
，
x
k
2
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
，
ω
＞
0)<
/p>
的周期
T
51
.
正弦定理
.
a<
/p>
b
c
2
R
.
sin
A
sin
B
sin
C
52.
余
弦定理
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
a<
/p>
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
< br>cos
B
;
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
.
53.
面积定理
1
1
1
ah
a
bh
b
< br>
ch
c
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别
表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
1
1
（
2
）<
/p>
S
ab
sin
C
bc
si
n
A
ca
s
in
B
.
2
2
2
2
2
1
(|
OA
|
|
OB
|)
(
OA
OB
)
.
(3)
< br>S
OAB
< br>2
（
1
）
S
54.
三角形内角和定理
在△
ABC
中
，有
A
B
C
C
(
A
B
)
C
< br>
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
55.
简单的三角方程的通解
<
/p>
sin
x
a<
/p>
x
k
(
1)
k
arcsin
a<
/p>
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
c
o
s
x
a<
/p>
x
2
k
arccos
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
tan<
/p>
x
a
x
k
arctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
< br>Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
56.
最简单的三角不等式及其解集
sin
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
arcsin
a
),
k
Z
< br>.
sin
x
a
(|
a
|
< br>
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
< br>
arcsin
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
arccos
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
2
arccos
a
),<
/p>
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x<
/p>
(
k
arctan
a
,
k
2
),
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
< br>
2
,
k
a
rctan
a
),
k
< br>
Z
.
57.
实数与向量的积的运算律
设
λ
、
μ
为实数，那么
(1)
结合律：
λ
(
μ
a
)=(
λ
μ
)
a
;
(2)
< br>第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a;
(3)
第二分配律：
λ
(
a
+
b
)=
λ
a
+
λ
b
.
58.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b=
（
a
·
b
）
=
a
·
b<
/p>
=
a
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+b
）
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
59.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数
λ
1
、
λ
2
，使得
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
< br>．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
60
．向量平行的坐标表示
设
a
=
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
< br>b
0
，则
a
b(b
0)
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
53.
a
与
b
的数量积
(
或内积
< br>)
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
θ
．
61.
a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|
a
|
与
b
在
a
的方向上的投影
|
b
|cos
θ
的乘积．
62.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
<
/p>
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(
4)
设
a
=
(
x
,
y
),<
/p>
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
< br>)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a<
/p>
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
63.
两向量的夹角
公式
(2)
设
a
=
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
< br>a-b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
cos
x
1
x
2
y<
/p>
1
y
2
x
y
x
y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,<
/p>
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
).
64.
平面两点间的距离公式
<
/p>
d<
/p>
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
< br>2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
65.
向量的平行与垂直
设
a
=
(
x
1
,
y
< br>1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且<
/p>
b
0
，则
A
||
b
b
=
λ
a
x
1
y
2
x
< br>2
y
1
0
.
a
b(a
0)
a
·
b=
0
x
1
x
2<
/p>
y
1
y
2
0
.
66.
线段的定比分公式
设
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
< br>)
，
P
(
x
,
y
)
是
线段
PP
1
2
的分点
,
是实数，且
PP
1
< br>PP
2
，则
< br>x
1
x
2
x
OP
< br>
1
1
OP
2
OP
y
y
1
2
y
1
1
< br>
< br>
1
t
（
）
.
(1
t
)
OP
< br>OP
tOP
1
2
1
67.
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)<
/p>
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)<
/p>
,
则△
ABC
的
重心的坐
标是
G
(
x
1
x
2
x
3
y<
/p>
1
y
2
y
3
,
)
.
3
3
68.
点的平移公式
'
注
:
图形
F
上的任意一点
< br>P(x
，
y)
在平移后图形
F
上的对应点为
P
(
x
,
y
)<
/p>
，且
PP
的
坐标
为
(
h
,
k<
/p>
)
.
'
'
x
'
x
h<
/p>
x
x
'
h
'
OP
OP
PP
.
'
'
< br>
y
y
k
y
y
k
'
'
'
69.
“按向
量平移”的几个结论
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
< br>,
k
)
平移后得到点
P
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
< br>(
x
)
的图象
< br>C
按向量
a
=
< br>(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
则
C
的函数解析式
为
y
f
(
x
h
)
k
.
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
'
'
'
初高中数学常用公式及常用
结论
(3)
图象
< br>C
按向量
a
=
< br>(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解析式
y
f
(
x
)
,
则
C
的函数
解析式为
y
f
(
x
< br>h
)
k
.
'
'
(4)
曲
线
C
:
f
(
x
,
y<
/p>
)
0
按
向
量
a
=
(
h
,
k
)
平
移
后
得
到
图
象
C
,
则
C
的<
/p>
方
程
为
'
'
f
(
x
h
,
y
k
)
0
.
(5)
向量
m
=
(
x
< br>,
y
)
按向量
< br>a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(
x
,
y
)
.
70.
三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为<
/p>
a
,
b
,
c
，则
2
2
2
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
O
A
OB
O
C
0
.
< br>
（
3
）
O
< br>为
ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB<
/p>
cOC
0<
/p>
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
a
OA
bOB
cOC
.
71.
常用不等式：
2
2
（
1
）
a
,
b
R
a
<
/p>
b
2
ab
(
当且仅当
a
＝<
/p>
b
时取“=”号
)
．
a
b
ab
(
当且
仅当
a
＝
b
时
取“=”号
)
．
2
（
3
）
a
3
b
3<
/p>
c
3
3
abc
(
a
0,
b
0,
c
0).
（
2
）
a
,
b
R
（
4
）柯西不等式
(
a
2
b
< br>2
)(
c
2
d
2
)
(
ac
b
d
)
2
,
a<
/p>
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
b
a
b
a
b
.<
/p>
72.
极值定理
已知
x
,
y
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
（
2
）若和
x
y
是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
推广
已知
x
,
y
R
，则有
(
x
y
)
(
x
y
)
2
xy
（
1
）若积
xy
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
x
y
|
最大；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
x
y
|
最小
.
（
2
）若和
|
x
y
|
是定
值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
xy
|
最小；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
xy
|
最大
.
7
3.
一
元
二
次
不
等
式
ax<
/p>
2
bx
c
0(
或
0)
(
a
0,
b
2
4
ac
0)
，
如
果
a
与
2
2
1
2
s
.
4
ax
2
bx
c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
bx
c
异号，则其解集在两根之
间
.
简言之：同号两根之外，异号两根之间
.
x
1
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
< br>
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
；<
/p>
x
x
1
,
或
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0
(
x
1
x<
/p>
2
)
.
74.
含有绝对值的不等式
当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
a
x
a
.
2
x
a
x
< br>2
a
2
x
a
或
x
a
.
75.
无理不等式
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
（<
/p>
1
）
（
2
）
（
3
）
f
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
g<
/p>
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
0
f<
/p>
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
< br>
g
(
x
)
0
或
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
g
(
x
)
0
f
(
x
)
0
<
/p>
.
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
< br>
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]<
/p>
2
76.
指数
不等式与对数不等式
(1)
当
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x<
/p>
)
;
f<
/p>
(
x
)
0
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
(2)
当
0
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
g<
/p>
(
x
)
;
f
(
x
)
0
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
< br>)
g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
77.
斜率公式
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(<
/p>
x
2
,
y
2
)
）
.
x
2
x
1
78.
直线的五种方程
k
（
1
）点斜式
y
<
/p>
y
1
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，且斜率为
)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
2
<
/p>
y
1
x
2
x
1
x
y
(4)
截距式
1
(
a
、
b
分别为直线的横
、纵截距，
a
、
b
0
)
a
b
（
5
）一
般式
Ax
By
C
0
(
其中
A
、<
/p>
B
不同时为
0).
（
3
）两点式
79.
两条直线的平行和垂直
(1)
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
< br>k
2
x
b
2
①
l
1
||
l
2<
/p>
k
1
k
2
,
b
1
b
2
;
②
l
1
< br>
l
2
k
1
k
2
1
.
(2
)
若
l
1
:<
/p>
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C<
/p>
2
0
,
且
A
1
、
A
2
、
B
1
、
B
2
都不为零
,
A
1
B
1
C
1
；
A
2
B
2
C<
/p>
2
②
l
1
l
2
A
；
1
A
2
B
1
B
2
0
①
l
1
||
l
2
80.
夹角公式
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
k<
/p>
2
k
1
|
.
1
k
2
k
1
(
l
1
:
< br>y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
< br>
1
)
A
B
A
2
B
1
(2)
tan
|
1
2
|
. <
/p>
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
:
A
).
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2<
/p>
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0<
/p>
直线
l
1
l
2
时，直线<
/p>
l
1
与
l
2
的夹角是
.
2
81.
l
1
到
l
2
的角
公式
k
k
1
(1)
t
an
2
.
1
k
2
k
1
(
l
1
:
y
k
1
x
< br>b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
A
< br>B
A
2
B
1
(2)
tan
< br>
1
2
.
A
1
A
2
B
1
B<
/p>
2
(
l
1
:
A
).
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y<
/p>
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
直线
l
1
l
2
时
，直线
l
1
到
l
2
的角是
.
2
(1)
tan
< br>
|
82
．四种常用直线系方程
(1)
定
点直线系方程：经过定点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为
y<
/p>
y
0
k
(
x
x
0
)
(
除直线
x
x
0
),
其
中
< br>k
是
待
定
的
系
数
;
经
过
定
点
P<
/p>
0
(
x
0
,
y
0
)
的
直
线
系
方
程
为
A
(
x
x
0
)
B
(<
/p>
y
y
0
)
0
,
其中
A
,
B
是待定的系数．
(2)
共
点直线系方程：
经过两直线
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
<
/p>
B
2
y
C
2
0
的交点
的直线系方程为
(
A
1
x
B<
/p>
1
y
C
1
)
(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
(
除
l<
/p>
2
)
，其中
λ<
/p>
是待定的系数．
(3)
平行直线系方程：直线
y
k
x
b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线<
/p>
系方程．与直线
Ax
< br>By
C
0
平行的直线系方程是
Ax
By
0
(
0
)
，
λ
是
参变量．
(4)
垂直直线系方程：与直线
Ax
By
C
< br>0
(A
≠
0
< br>，
B
≠
0)
垂直的直线系方程是
Bx
Ay<
/p>
0
,
λ
是参变量．
83.
点到直线的距离
A
B
84.
Ax
<
/p>
By
C
0
或
0
所表示的平面区域
设直线
l
:
Ax
By
C
0
，则
Ax
By
C
0
或
0
所表示
的平面区域是：
若
B
0
，
当
B
与
Ax
By
C
同号时，
< br>表示直线
l
的上方的区域；
当<
/p>
B
与
Ax
By
C
异号时，
表示直线
l
的下方的区域
.
简言之
,
同号在上
,
异号在下
.
若<
/p>
B
0
，
当
A
与
Ax
By
C
同号时，
表示直线
l
的右
方的区域；
当
A
与
Ax
By
C
异号时，表示直线
l
的左方的区
域
.
简言之
,
同号在右
,
异号在左
.
0
所表示的平面区域<
/p>
85.
(<
/p>
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
< br>2
y
C
2
)
0
或
设曲线
C
:
(
A
，则
1<
/p>
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
< br>
C
2
)
0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
0
）
d
|
Ax
0
By
0
C
|
< br>2
2
(
点
P
(
x
0
,
y
0
)
,
直线
l
：
Ax
By
C
0
).
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
< br>2
x
B
2
y
C
2
)
0
或
0
所表示的平面区域是：
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
所表示的平面区域上下两部分；
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
(<
/p>
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
< br>2
y
C
2
)
0
所
表示的平面区域上下两部分
.
86.
圆的四种方程
（
1
）圆的标准方程
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
.
（
2
）圆的一般方程
< br>x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
(
D
E
4
F
＞
0).
2
2
x
a
r
cos
（
3
）圆的参数方程
.
y
<
/p>
b
r
sin<
/p>
（
4
）圆的直径式方程
(
x
x
(
圆
的直径的端点是
1
)(
x
x
2
)
< br>
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
<
/p>
0
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
).
87.
圆系方程
(1)
过点
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
,
y
2
)
的圆系方程是
(<
/p>
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
< br>)(
y
y
2
)
[(
x
x
1
)(
y
1
<
/p>
y
2
)
(
y
y
1
)(
x
1
x
2
)]
0
c
0
是
直
线
(
x<
/p>
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
(
ax
by
c
)
0
,<
/p>
其
中
a
x
b
y
AB
的方程
,
λ
是待定的系
数．
(2)
过直线
< br>l
:
Ax
By
C
0
与圆
C
:
x
2
y
2<
/p>
Dx
Ey<
/p>
F
0
的交点的圆系方程
是
x
2
y
2
Dx
Ey
F
(
Ax
By
C
)
0
,
λ
是待定的系数．
2
2
(3)
过圆
C
1
:
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
< br>0
与圆
C
2
:
x
y
D
2
x
<
/p>
E
2
y
F
2
0
的交
2
2
点的圆系方程是
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
< br>
(
x
y
D
2
x
E
2
y
F
2
)
0
,
λ
是待定的
系数．
88.
点与圆的位置关系
点
P
(
x
0
,
y
0
)
与圆
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
的位置关系有三种
若
d
(
a<
/p>
x
0
)
2
(
b
y
0
)
2
，则
d
< br>
r
点
P
在圆外
;
d
r
点
P
在圆上
;
d
r
点
P
在圆内
.
89.
直线与圆的位置关系
2
2
2
直线
Ax
By
C
0
与圆
(
x
a
< br>)
(
y
b
)
r
的位置关系有三种
:
d
r
相离
0
;
d
r
相切
0
;
d
r
相交
<
/p>
0
.
其中
d
Aa
Bb
C
A
B
2
2
.
90.
两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
，
O
2
，半径分别为
r
1
，
r
< br>2
，
O
1
O
2
d
d
r
1
r
2
外离
4
条公切线
;
d
r
1
r
2
外切
3
条公切线
;
r
1
r
2
d
r
1
< br>
r
2
相交
2
条公切线
< br>;
d
r
1
r
2
内切
1
条
公切线
;
0
d
r
1
r
2
内含<
/p>
无公切线
.
91.
圆的切线方程
(1)
已知圆
x
y
Dx
Ey
F
0
．
①若已知切点
(
x
0
,
y
0
)
在圆上，则切线只有
一条，其方程是
2
2
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
D<
/p>
(
x
0
x
)
E
(
y
0
y
)
F
0
.
2
2
D
(
x
0
x
)
E
(
y
0
y
)
F
0
表示过两个切点
当
(
x
0
,
y
0
)
圆外时
,
x
0
x
y
0
y
2
2
x
0
x
y
0
y
<
/p>
的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方
程可设为
y
y
0
k
(
x
x
0
)
，再利用相切条件求
k
，
< br>这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于
y
轴的切线．
③斜率为
k<
/p>
的切线方程可设为
y
< br>kx
b
，再利用相切条件求<
/p>
b
，必有两条切线．
< br>(2)
已知圆
x
2
y
2
< br>r
2
．
2
①过圆上的
P
点的切线方程为
;
(
x
,
y
)
x
x
y
y
r
0
0
0
0
0
②斜率为
k
< br>的圆的切线方程为
y
kx
r
1
k
2
.
x
a
cos
x
2
y
2
92.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的参数方程是
.
a
b
y
b
sin
x
2
y
2
< br>93.
椭圆
2
2
1(
a
< br>
b
0)
焦半径公式
a
b
a
2
a
< br>2
PF
1
e
(
x
)
，
PF
2
e
(
x
)
.
c
c
94
．椭圆的的内外部
x
2
y
2
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的内部
a
b
x
2
y
2
（
2
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的外部
a
b
95.
椭圆的切线方程
2
2
x
0
y
0
1
.
a
2
b
2
2
2
x
0
y
0
2
1
.
2
a
b
x
x
y
y
x
2
y
2
(1)
椭圆
< br>2
2
1(
a
b
0)
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)
处的切线方程是
< br>0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x<
/p>
2
y
2
<
/p>
（
2
）过椭圆
2
2
1(<
/p>
a
b
0)
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
a
b
x
< br>0
x
y
0
y
2
1
.
2
a
b<
/p>
x
2
y
2
（
3
）
椭
圆
2
2
1(
a
b
0)
< br>与
直
线
Ax
By
C
0
相
切
的
条
件
是
a
b
A
2
a
2
B
2
b
2
c
< br>2
.
x
2
y
2
96.
双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的焦半径公式
a
b
< br>a
2
a
2
PF
1
|
e
(
x
)<
/p>
|
，
PF
2
|
e
(
x
)
|
.
c
c
97.
双曲线的内外部
x
2<
/p>
y
2
(1)
点<
/p>
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的内部
a
b
x
2
y
2
(2)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
< br>
2
1(
a
0,
b
0)
的外部
a
b
98.
双曲线的方程与渐近线
方程的关系
2
2
x
0
y
0
2
1
.
2
a
b
2
2
x
0
y
0
1
.
a
2
b
2
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
x<
/p>
2
y
2
x
2
y
2
b
(1
）若双曲线方程为
2
2
1
<
/p>
渐近线方程：
2
2
0
y
x
. <
/p>
a
b
a
a
b
x
y
x
2
y
2
b
(2)
若渐近线方程为
y
x
0
双曲
线可设为
2
2
.
a
b
a
a
b
x<
/p>
2
y
2
x
2
y
2
(3)
若双曲线与
2
2
1
有公共渐近线，可设为
2
2
（
0
，焦点在
x
a
b
a
b
轴上，
0
，焦点在
y
轴上）
.
99.
双曲线的切线方程
x
x
y
y
x
2
y
2
< br> (1)
双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
上一点
P
(
x
0
,
y
< br>0
)
处的切线方程是
0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x
2
y
2
< br>（
2
）过双曲线
2
2
1(
a
0,
b
< br>
0)
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
所引两条切线的切点弦方程
是
a
b
x<
/p>
0
x
y
0
y
2
1
.
a
2
b
x
2
y
< br>2
C
0
相
切
的
条
件
是
（
3
）
双
曲
线
2
2
1(
a
0,
b
0)
与
直
线
A
x
B
y
a
b
A
2
a
2
B
2<
/p>
b
2
c
2
.
100. <
/p>
抛物线
y
2
<
/p>
2
px
的焦半径公式
p
抛物线
y
2
2
px
(
p
0)
焦半径
CF
x
0
.
2
p
p
过焦点弦长
CD
< br>
x
1
x
2
x
1
x
2
p
.
2
2
2
y
2
101.
抛物线
y
2
px
上的动点可设为
P
(
,
y
)
或<
/p>
P
(
2
pt
2
,
2
pt
)
或
P
(
x
,
y
)
，其中
2
p
y
< br>2
2
px
.
b
2
4
ac
b
2
(
a
0)
的图象是抛物线：
102.
二次函数<
/p>
y
ax
bx
c
a
(
x
)
（
1
）
顶
2
a
4
a
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b<
/p>
2
1
,
)
；
,
)
；
点坐标为
(
（
2
）焦点的坐标为
(
（
3
）准线
方程是
2
a
4
a
2
a
4
a<
/p>
4
ac
b
2
1
y
.
4
a
2
103.
抛物线的内外部
(1)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在抛物线
y
2
2
px
(
p
0)<
/p>
的内部
y
2<
/p>
2
px
(
p
0)
.
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在抛物线
y
2
px
(
p
0)
的外部
y
2
px
(
p
0)
.
(2)
点
P
(
x
0
,
< br>y
0
)
在抛物线
y
2
px
(
p
0)
的内部
y
2
px
(
p
0)
.
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在抛物线
y
<
/p>
2
px
(
p
0)
的外部<
/p>
y
2
px
(
p
0)
.
(3)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在抛物线
x
2
py
(
p
0)
的内部
x
2
py
(
p
0)
.
点
P
(
< br>x
0
,
y
0
)
在抛物线
x
2
py
(
p
0)
的外部
x
2
py
(
p
0
)
.
(4)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在抛
物线
x
2
p
y
(
p
0)
的内部
x
2
py
(
p<
/p>
0)
.
点<
/p>
P
(
x
0
,
y
0
)
在抛物线
x
2
py
(
p
0)
的外部
x
2
py
(
p
0)
.
104.
抛物线的切线方程
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
初高中数学常用公式及常用结论
(1)
抛物线
y
2
2
px
上一点<
/p>
P
(
x
0
,
y
0
)
处的切线方程是
y
0
y<
/p>
p
(
x
x
0
)
.
（
2
）
过抛物线
y
2
2
px
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
< br>y
p
(
x
x
0
)
.
（
3
）抛物线
y
2
2
px
(
p
0)
与直线
Ax
By
C
0
相切的条件是
pB
2
2
< br>AC
.
105.
两个常见的曲线系方程
(1)
过曲线
f
1
(
x
,
y
)
0
,
f
2
(
x
,
y
)
< br>0
的交点的曲线系方程是
f<
/p>
1
(
x
,
y
)
f
2
(
x
,
y
)
0
(
为参数
).
x
2
y
2
2
1
,
其
中
k<
/p>
max{
a
2
,
b
2
}
.
当
(2)
共
焦
点
的
有
心
圆
锥
曲
线
系
方
程
< br>2
a
k
b
k
k
min{
a
2
,
b
2
}
时<
/p>
,
表示椭圆
;
当
min{
a
2
,
b
2
}
k
max{
a
2
,
b
2<
/p>
}
时
,
表示双曲
线
.
106.
直线与圆锥曲线相交的
弦长公式
AB
(
x
1
x
2
)
2
<
/p>
(
y
1
y
2
)
2
或
AB
(1
k
2
)(
x
2
< br>x
1
)
2
|
x
1
x
2
|
1
tan
2
|
y
1
y
2
|
1
co
t
2
（
弦
端
点
A
(
x
1
,
y
1<
/p>
),
B
(
x
2
,
y
2
)
，
由方程
y
kx
b
2
消去
y
得到
ax
bx
c
0
，
0
,
为直线
F
(
x
,
y
)
<
/p>
0
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）
.
107.
圆锥曲线的两类对称问题
<
/p>
（
1
）曲线
F<
/p>
(
x
,
y
)
0
关于点
P
(
x
0
,
y
0
)
成中心对称的曲线是
F
(2
x
0
-
x
,2<
/p>
y
0
y
)
0
.
（
2
）曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于直线
Ax
By
C
0
成轴对称的曲线是
F
(
x
2
A
(
Ax
By
C
)
2
B
(
Ax
By
C
)
,
< br>y
)
0
.
2
2
2
2
A
B<
/p>
A
B
2
108.
“四线”一方程
对于一般的二次曲线
Ax
2
Bxy
Cy
2
Dx
Ey
F
0
，
用
x
0<
/p>
x
代
x
，
用
y
0
y
代
y
2
，
用
x
0
y
xy
0
x
x
y
y
代
xy
，用
0
代
x
，用
0<
/p>
代
y
即得方程
2
2
2
x
y
xy
0
x
x
y
y
Ax
0
x
B
< br>0
Cy
0
y
D
0
E
0<
/p>
F
0
，曲线的切线，切点弦，中点
2
2
2
弦，弦中点方程均是此方程得到
.
109
．证明直线与直线的平行的思考途径
（
1
）转化为判定共面二直线无交点；
（
2
）转化为二
直线同与第三条直线平行；
（
3
）转化为线面平行；
（
< br>4
）转化为线面垂直；
（
5
）转化为面面平行
.
< br>110
．证明直线与平面的平行的思考途径
（
1
）转化为直线与平面无公共点；
（
2
）转化为线线平行；
（
3
）转化
为面面平行
.
111
．证明平面与平
面平行的思考途径
（
1
）转化为判定二平面无公共点；
（
2
）转化为线面平行；
（<
/p>
3
）转化为线面垂直
.
112
．证明直线与直线的垂直的思考途径
（
1
）转化为相交垂直；
（
2
）转化为线面垂直；
（
3
）转化为线与另
一线的射影垂直；
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
（<
/p>
4
）转化为线与形成射影的斜线垂直
.
113
．证明直线与平面垂直的思考途径
（
1
）转化为该直线与平面内任一
直线垂直；
（
2
）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（
3
）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（
4
）转化为该直线垂直于另一个平行平面
；
（
5
）转
化为该直线与两个垂直平面的交线垂直
.
114
．证明平面与平面的垂直的思考途径
（
1
）转化为判断二面角是直二面角；
（
2
）转化为线面垂直
.
115
.
空间向量的加法与数乘向量运
算的运算律
(1)
加法交换律：
a
＋
b
=
b
＋
a
．
(2)
加法结合律：
(<
/p>
a
＋
b
)
＋
c
=
a
＋
(
b
＋
c
)
．
(3)
数乘分配律：
λ
(
a
＋
b
)=
λ
a
＋
λ
b
．
116.
平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点
相同且不在同一个平面内的三个向量之和，
等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量
.
117.
共线向量定理
对空间任意两个向量
a
、
b
(
b
≠
0
)
，
a
∥
b
存在实数
λ
使
a
=
λ
b
．
P
、
A
、
B
三点共线
<
/p>
AP
||
AB
AP
t
AB
OP
(1
t
)
OA<
/p>
tOB
.
< br>AB
||
CD
AB
、
CD
共线且
AB
、
CD
不共线
AB
tCD
且
AB
、
CD
不共线
.
推论
空间一点
P
位于平面
MAB
内的
存在有序实数对
x
,
y
,
使
M
P
xMA
yMB
，
或对空间任一定
点
O
，有序实数对
x
< br>,
y
，使
OP
< br>
OM
xMA
yMB
.
119
.
对
空间
任一
点
O
和
不共
线
的
三点
A
、
B
、
C
，满
足<
/p>
OP
xOA
yOB
zOC
（
x
y
z
k
）
，则当
k
1
时，对于空间任一点
O
，总有
P
、
A
、
< br>B
、
C
四点共面；当
k
1
时，若
O
平面
ABC
，则
P
、
A
、
B
、
C
四点共面；若
O
平面
ABC
，则
P
、
A
、
B
、
C
四点不共
面．
118.
共面向量定理
向量
p
与两个不共线的向量
a
、
b
共面的
存在实数对
x
,
< br>y
,
使
p
ax
by
．
< br>
A
、
B
、
C
、
D
四点
共面
AD
与
AB
、
AC
共面
AD
xAB
yAC
OD
(1
x
y
)
OA
xOB
yOC
（
O
平面
ABC
）
.
120.
空间向量基本定理
如果三个向量
a
、
b
、
c
不共面，那么对空间任一向量<
/p>
p
，存在一个唯一的有序实数组
x
，
y
，
z
，使
p
＝
x
a
＋
y
b
< br>＋
z
c
．
推论
设
O
、
A
、
B
、
C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存在唯一的三个有序实
<
/p>
数
x
，
y
，<
/p>
z
，使
OP
<
/p>
xOA
yOB
zOC
.
121.
射影公式
< br>
'
已知向量
AB
=
a
和轴
l
，
e
是
l
上与
l
同方向的单位向量<
/p>
.
作
A
点在
l
上的射影
A
，作
B
'
点在
l<
/p>
上的射影
B
，则
'
'
A
B
|
AB
|
cos
〈<
/p>
a
，
e
〉
=
a
·
e
122.
向量的直角坐标运算
设
a
＝
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
，
b
＝
(
b
1
,
b<
/p>
2
,
b
3
)
则
(1)
a
＋
b
＝
(
a
1
b
1
,
a
2
b
2
,
a
3
b<
/p>
3
)
；
(2)
a
－
b
＝
(
a
1
b
1
,
a
2
b
2
,
a
3
b
3
)
；<
/p>
(3)
λ
a<
/p>
＝
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
(
λ
< br>∈
R)
；
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
(4
)
a
·
b
＝<
/p>
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
；
123.
设
A
(
< br>x
1
,
y
1
,
z
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
，则
124
．空间的线线平行或垂直
AB
OB
OA
=
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1
,
z
2
z
1
)
.
r
r
设
a
(
x
1
,
y
1
,
z<
/p>
1
)
，
b
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
，则
< br>
x
1
x
2
r
r
r
r
r
r
a
P
b
a
b
(
b
< br>
0)
y
1
y
2
；
<
/p>
z
z
2
1
r
r
r
r
a
b
a
b
0
x
1
x
2<
/p>
y
1
y
2
z
1
z
2
0
.
125.
夹角公式
<
/p>
设
a
＝
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
，
b
＝
(
b
1
,
b
2
,
b
3<
/p>
)
，则
cos
〈
a
，
b
〉
=
a
1
b
1
a
2
b
2
< br>a
3
b
3
a
a
a
2
1
2
2
2
3
b
b
b
2
1
2
2
2
< br>3
.
2
2
2
2
2
推论
(
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
)
2
(
a
< br>1
a
2
a
3
)(
b
1
2
b<
/p>
2
b
3
)
，此即三维柯西不等式
.
126.
四面体的对棱所成的角
<
/p>
四面体
ABCD
中
,
AC
与
BD
所成的角为
,
则
|
(
AB
< br>2
CD
2
)
(
BC
2
DA
2
)
|
cos
.
2
AC
BD
r
r<
/p>
cos
|<
/p>
cos
a
,
b<
/p>
|
r
r
|
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
|
|
a
b
|<
/p>
r
=
r
2
2
2
2
2
2
|
a
|
|
b
|
x
1
y
1
z<
/p>
1
x
2
y
2
z
2
r
r
o
o
b
所成角，
a
,
b
分别表示异面直线<
/p>
a
,
b
的方向向
量）
（其中
（
0
9
0
）为异面直线
a
,
< br>
128.
直线
AB
与平面所成角
AB
<
/p>
m
(
m
为平面
的法向量
).
arc
s
in
|
AB
||
m
|
129.
若
ABC
所在平面若
与过若
AB
的平面
成的角
,
另两边
AC
,
BC
与平面
成的角分别是
1
、
2
,
A
、
B
为
ABC
的两个内角，则
127
．异面直线所成角
sin
2
1
sin
2
2
(sin
2
A
sin
2
B
)sin
2
.
特别地
,
当
ACB
90<
/p>
时
,
有
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
.
130.<
/p>
若
ABC
所在
平面若
与过若
AB
< br>的平面
成的角
,
另两边
AC
,
BC
与平面
'
'
成的角分别是
1<
/p>
、
2
,
A
、
B
为
ABO
的两个内角，则
tan
2
1
tan
2
2
(sin
2
A
'
si
n
2
B
'
)t
an
2
.
特别地
,
当
AOB
90
时
,
有
s
in
2
1
sin
2
2
sin
2
.
131.
二面角
< br>
l
的平面角
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
<
/p>
m
n
m
n
arc
cos
或
arc
cos
（
m
，
n
为平面
，
的法向量）
.
|
m
||
n
|
|
m
||
n
< br>|
132.
三余弦定理
设
AC
是
α
内的任一条直线，且
BC
⊥
AC
，垂足为
C
，又设
AO
与
AB
所成的角为<
/p>
1
，
AB
与
AC
所成的角为
2
，
AO
与
AC
所成的角为
．则
cos
< br>cos
1
cos
2
.
133.
三射线定理
若夹在平面角为
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
< br>
1
,
2
,
与二面
角的棱所成的角是
θ
，则有
sin
2<
/p>
sin
2
<
/p>
sin
2
<
/p>
1
sin
2<
/p>
2
2sin
1
sin
2
cos
;
|
1
2
|
180
(
1
2
)
(
当且仅当
90
时等号成立
).
2
2
2
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
(
y
2
y
1
)
(
z
2
z
1<
/p>
)
.
135.
点
Q
到直线
l
距离
1
2
2
h
(|
a
||
b
|)
(
a<
/p>
b
)
(
点
P
在直线
l
上，直线
l
的方向向量
a
=
PA
，向量
|
a
|
b
=
PQ
).
136.
异面直线间的距离
134.
空间两点间的距离公式
<
/p>
若
A
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
，则
|
CD
n
|
(
l
1
,
l
2
是两异面直线，<
/p>
其公垂向量为
n
，
C
、
D
分别是
l
1
,
l
2
上任一点，
d
为
d
|
n
|
|
AB
<
/p>
n
|
（
n
为平面
的法向量，
AB
是经过面
的一条斜线，
A
）
.
d
|
n
|
l
1
,
l
2
间的距离
).
137.
点
B
到平面
的距离
138.
异面直线上两点距离公式
d
h
2
m
2
n
2
2
mn
cos
.
2
2
2
'
d
h
m
n
< br>2
mn
cos
EA
,
AF
.
d
h
2
< br>m
2
n
2
2
mn
cos
（
E
AA
'
F
）
.
(
两条异面直线
a
< br>、
b
所成的角为
θ
，其公垂线段
AA
的长度为
h.
在直线
a
、
b
上分别取两
'
点
< br>E
、
F
，
A
E
m
,
AF
n
,<
/p>
EF
d
).
139.
三个向量和的平方公式
'
2
2
2
2
< br>
(
a
b
c
)
a
b
c
2
a
b
2
b
c
< br>
2
c
a
2
2
2
< br>a
b
c
2
|
a
|
|
b
|
cos
a
,
b
2
|
b
|
|
c
|
cos
b
,
c
2
< br>|
c
|
|
a
|
cos
c
,
a
140.
长度为
l
< br>的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、
l
2
、
l
3
，夹角分
别为
1
、
2
、
3
,
则有
2
l
2
l
1
2
l
2
l
3
2
cos
2
1
cos
2
2
co
s
2
3
<
/p>
1
sin
2<
/p>
1
sin<
/p>
2
2
sin
2
3
2
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）
.
141.
面积射影定理
S
'
S
.
cos
给自己一个理
由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
(<
/p>
平面多边形及其射影的面积分别是
S
、<
/p>
S
，它们所在平面所成锐二面角的为
<
/p>
).
142.
斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长
是
l
,
侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,
它的直截面的周长和
< br>面积分别是
c
1
和
S
1
,
则
< br>
①
S
斜棱柱侧
c
1
l
.
②
V
斜棱柱
< br>
S
1
l
.
143
．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行
.
144
．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，
那么所得的截面与底面相似，<
/p>
截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比<
/p>
（对应角相等，
对应边对应成比例的多边形是相
< br>似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）
；相应小棱锥与小棱锥的
侧面积的
比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.
欧拉定理
(
欧
拉公式
)
V
F
E
2
(
简单多面体的顶点数
V
、棱数
E
和面数
F).
（
1
）
E
=
各面多边形边数和的一半
.
特别地
,
若每个面的边数为
n
的多边形，则面数
F
与棱数
E
的关系：
E
'
1
nF
；
2
1
mV
.
2
（
2
）若每
个顶点引出的棱数为
m
，则顶点数
V<
/p>
与棱数
E
的关系：
E
146.
球的半径是
R
，则
4
R
3
,
3
2
其表面积
S
4
R
< br>．
其体积
V
< br>
147.
球的组合体
(1)
球与长方体的组合体
:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长
.
(2)
球与正方体的组合体
:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长
,
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长
,
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
.
(3)
球与正四面体的组合体
:
棱长为<
/p>
a
的正四面体的内切球的半径为
148<
/p>
．柱体、锥体的体积
6
6
a
,
外接球的半径为
a
.
12
4
1
V
柱体
Sh
（
S
是柱体的底面
积、
h
是柱体的高）
.
3
1
V
锥体
Sh
（
S
< br>是锥体的底面积、
h
是锥体的高）
.
3
149.
分类计数原理（
加法原理）
N
m
1
m
2
m
n
.
150.
分步计数原理（
乘法原理
）
N
m
1
m
2
m
n<
/p>
.
151.
排列数公式
m
=
n
(
< br>n
1
)
(
n
m
1
)
=
A
n
n
！
*
.(
n
，
m
∈
N
，且
m
n
)
< br>．
(
n
m
)
！
注
:
规定
0
!<
/p>
1
.
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
152.
排列恒等式
m
m
1
< br>(1
）
A
n
;
(
n
m
1)
A
n
n
m
A<
/p>
n
1
;
n
m
m
m
1
（
3
）
A
n
< br>
nA
n
1
;
（
2
）
A
n
m
n
n
1<
/p>
n
（
4
）
nA
n
A
n
A
1
n
;
m
m
m
1
（
5
）
A
n
.
1
A
n
mA<
/p>
n
(6)
1!
2
2!
3
3!
<
/p>
n
n
!
(
n
1)!
1
.
153.
组合数公式
C
m
n
=
< br>A
n
m
n
(
n
1
)
(
n
m
1
)
n
！
*
=
=
(
n
∈
< br>N
，
m
N
，且
m
n
).
m
1
2
<
/p>
m
m
！
(
n
m
)
！
A
m
154.
组合数的两个性质
m
n
m
(1
)
C
n
=
C<
/p>
n
m
m<
/p>
1
m
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n
1
.
0
注
:
规定
C
n
1
.
155.
组合恒等式
n
m
< br>1
m
1
C
n
;
m
n
m
m
C
n<
/p>
（
2
）
C
n
1
;
n
m
n
m
1
< br>m
（
3
）
C
n
C
n
1
;
< br>m
（
1
）
C
n
m
（
4
）
C
r
0
r
r
n
r
n
=
2
;
n
r
r
1
（
5
）
C
C
r
r<
/p>
1
C
r
r
2
C
n
C
n
1
.
0
1
2
r
n
(
6)
C
n
C
n
C
n
C
n
C
n
2
< br>n
.
1
3
5
0
2
4
(7)
C
n
C
n
C
n<
/p>
C
n
C
n
C
n
2
n
1
.
1
2
3
n
(8)
C
n
2
C
n
3
C
n<
/p>
nC
n
n
2
n
1
.
r
0
r
1
1
0
r
r
r
(9)
C
m
C
n
C
m
C
n
<
/p>
C
m
C
n
C
m
n
.
0
2
1
2
< br>2
2
n
2
n
(10)
(
C
n
)
(
C
n
)
(<
/p>
C
n
)
(
C
n
)
C
2
n
.
156.
排列数与组合数的关系
m
m
.
A
n
m
！
C
n
157
．单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个
元素的排列
.
（
1
< br>）
“在位”与“不在位”
①某
（特）元必在某位有
A
n
1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
A
n
1
（补集思想）
1
m
1
m
< br>1
m
1
A
n
1
A
n
1
（着眼位置）
A
n
1
A<
/p>
m
1
A
n
1
（着眼元素）
种
.
m
1
m
m
1
（
2
）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
k<
/p>
m
k
①定位紧
贴：
k
(
k
m
n
)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n
k
种
.
n
k
1
k
②
浮动紧贴：
n
个元素的全排列把
k
个元排在一起的排法有
A
n
k
1
A
k
种
.
注：此类问题
常用捆绑法；
③插空：
两组元素分别有
k
、
h
个（
k
h
< br>
1
）
，把它们合在一起来作全
排列，
k
个的一
h
k
组互不能挨近的所有排列数有
A
h
A
h
1<
/p>
种
.
（
3
）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n
A
m
n
1
当
n
m
1
时，无解；当
n
m
< br>
1
时，有
n
< br>
C
m
1
种排法
.
A
n
n
（
4
）
两组相同元素的排列：
两组元素有
m
个和
n
个，
各
组元素分别相同的排列数为
C
m
n
.
158
．分配问题
< br>（
1
）
(
平均分组有归属问题
)
将相异的
m<
/p>
、
n
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配
方法数共有
N
C
mn
C
mn
n
C
mn
2
n
C
2
n
C
n
n
n
n
n
n
(
mn
)!
.
m<
/p>
(
n
!
)
（
2
）
(
平均分组无归属问题
)
将相异的
< br>m
·
n
个物体等分为无记号或无
顺序的
m
堆，其
分配方法数共有
n
n
n
n
n
C
mn
C
mn
(
mn
)!
n
C
mn
< br>2
n
...
< br>C
2
n
C
n
.
N
m
m
!
m
!
(
n
!
)
（
3
）
(
非平均分组有归属问
题
)
将相异的
P(P=n
1
+n
2
+
+n
m
)
< br>个物体分给
m
个人，物件
必须被
分完，分别得到
n
1
，
n
2
，„，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，„，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则
n
m
n
1
n
2
其分配方法数
共有
N
C
p
C
p
C
n
m
!
n
1
...
m
p
!
m
!
.
< br>n
1
!
n
2
!...
n
m
!
（
4
）
(
非完全平均分组有归属问题
)
将相异
的
P(P=n
1
+n
< br>2
+
+n
m
)
个物体分给
m
个人，
物件必须被分完，分别得到
n
< br>1
，
n
2
，„，
n
m
件，且
< br>n
1
，
n
2
，„，
n
m
这
m
个数中分别有
a
、
b
、
c
、„个相等，则其分配方法数有
N
p
!
m
!
.
a
!
b
!
c
!...
n<
/p>
1
!
n
2
!...
n
m
!(<
/p>
a
!
b
!
c
!...)
（
5<
/p>
）
(
非平均分组无归属问题
)
将相异的
P(P=n
1<
/p>
+n
2
+
+n
m
)
个物体分
为任意的
n
1
，
n
m
n
1
n
2
C
p
C
p
C
n
m
!
n
1
< br>...
m
n
2
< br>，„，
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，„，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配方法数
p
!
有
N
.
< br>
n
1
!
n
2
!...
n
m
!
（
6
）
(
非完全平均分组无归属问题
)
将相异的
P(P=n
1
+n
2
+
+n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，„，
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，„，
n
m
这
m
个数中分别有
a
、<
/p>
b
、
c
、„个相
等，
p
!
则其分配方法数有
N
.
n
1
!
n
2
!...
n
m
< br>!
(
a
!
b
!
c
!...)
< br>（
7
）
(
限定分组有归属问题
)
将相异的
p<
/p>
（
p
n
1
+
n
2
+
+
n
m
）
个物体分给甲、
乙、
丙，
„„
等
m
个人，
物体必须被分完，
如果指定甲得
n
1
件，
乙得
n
2
件，
丙得
n
3
件，
„时，<
/p>
则无论
n
1
，<
/p>
n
2
，„，
n<
/p>
m
等
m
个数是否
全相异或不全相异其分配方法数恒有
n
m
n
1
n
2
N
C
p
C
p
C
n
n
1
...
m
p
!
.
n
1
!
n
2
!...
n
m
!
159
．
“错位问题”及其推广
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
贝努
利装错笺问题
:
信
n
< br>封信与
n
个信封全部错位的组合数为
1
1
1
1
<
/p>
(
1)
n
]
.
2!
3!
4!
n
!
推广
:
n
个元素
与
n
个位置
,
其中至少有
m
个元素错位的不同组合总数为
f
(
n
)
n
![
1
2
3
4
f
(
n
,
m
)
n
!
C
m
(
< br>n
1)!
< br>C
m
(
n
2)!
C
m
(
n
3
)!
C
m
(
n
4)!
(
1)
C
(
n
p
)!
(
1)
C
(
n
m
)!
p
< br>p
m
m
m
m
1
2
3
4
p
m
C
m
C
m
C
m
C
m
p
C
m
m
C
< br>m
n
![1
< br>
1
2
2
4
(
1)
p
(
1)
m
]
.
A
n
A
n
A
n
A
n
A
n
A
n
160
．不定方程
x
1
+
x
2
+
+
x
n
m
的解的个数
(1)
方程
x
1
+
< br>x
2
+
+
x
n
m
（
n
,
m
N
）的正整数
解有
C
n
1
个
.
m
1
(2)
方程
x
1
+<
/p>
x
2
+
+
x
n
m
（
n
,
m
N
）的非负整数解有
C
n
m
1
个
.
(3)
方程
x
1
+
x
2
+
+
x
n
m
（
n
,
m
N
）满足条件
x
i
k
(
k
N
,<
/p>
2
i
n
1
)
的非负整数解有
C
m
<
/p>
1
(
n
2)(
k
1)
个
.
(4)
方程
x
1
+<
/p>
x
2
+
+
x
n
m
（
n
,
m
N
）满足条件
x
i
k
(
k
N
,
2
i
n
1<
/p>
)
n
1
1
n
1
2
n
1
n
2
n
2
n
1
的正整数解有
C
n
< br>
m
1
C
n
2
C
m
n
k
2
C
n
2
C
m
< br>n
2
k
3
(
1)
C<
/p>
n
2
C
m
1
(
n
2)
k
个
.
n
1
n
1
161.
< br>二项式定理
0
n
1
n
1
< br>2
n
2
2
r
n
r
r
n
n
(
a
b
)
n
C
n
a
C
n
< br>a
b
C
n
a
b
C
n
a
b
C
n
b
二项展开式的通项公式
r
n
r
r
1
，
2
，
n
)
.
T
r
1
C
n
a
b
(
r
0
，
162.
等可能性事件的概率
P
(
A
)
m
.
n
163.
互斥事件
A
，
B
分别发生的概率的和
P(A
＋
B)=P(A)
＋
P(B)
．
164.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋
A
2
＋„＋
A
n
)=P(A
1
)<
/p>
＋
P(A
2
)<
/p>
＋„＋
P(A
n
)
．
165.
独立事件
A
，
B
同时发生的概率
P(A
·
B)=
P(A)
·
P(B).
166.n
个独立事件同时发生的概率
P(A
1
·
A
2
·„·
A
n
)=P(A
1
)
< br>·
P(A
2
)
·„·
P(A
n
)
．
167.n
次独立重复试验中某事件恰好发生
< br>k
次的概率
k
k
P
n
(
k
)
C
n
P
(1
P
)
n
k
.
168.
离散
型随机变量的分布列的两个性质
（
1
）
P
,2,
)
;
i
<
/p>
0(
i
1
（
2
）
P
1
P
2
1
< br>.
169.
数学期望
E
x
1
P
1
x
2
P
2
x
n
P
n
<
/p>
170.
数学期望的性质
（
1
）
E
(
a
b
)
aE
(
)
b
.
（
2
）若
～
B
(
n
,
p
)
,
则
E
np
.
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
(3)
若
服从几何分布
,
且
P
(
k
)
g<
/p>
(
k
,
p
)
q
k
1
p
，则
E
171.
方差
1
.
p
D
x
1
E
p
< br>1
x
2
E
p
2
x
n
E
p
n
< br>
172.
标准差
2
2
2
=
D
.
173.
方差的性质
(1)
D
a
b
a
2
D
；
(2
）
若
～
B
(<
/p>
n
,
p
)
，则
D
np
(1
p
)
.
(3)
若
服从几何分布
,
且
P
(
k
)
g
(
k
,
p
)
q
< br>k
1
p
，则
D
q
.
p
2<
/p>
174.
方差与期望的关系
D
E
2
E
.
175.
正态分布密度函数
2
f
x
1
e
< br>2
6
x
2
26
2
,<
/p>
x
,
，式中的
实数
μ
，
（
>0
）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差
.
176.
标准正态分布密度函数
x
1
f
x
e
2
,
x
< br>
,
.
2
6
2
177.
< br>对于
N
(
,
)
，取值小于
x
的概率
x
F
x
.
P
x
1
x
0
x
2
P
< br>
x
x
2
P
x
x
1
2
F
x
2
F
< br>x
1
x
x
1
2
.
< br>
178.
回归直线方程
n
n
x
i
x
y
i
y
x
i
y
i
nx
y
b
i
1
n
i
1
n
2
y
< br>
a
bx
，其中
2
2
.
x
x
x
nx
i
i<
/p>
i
1
i
1
a
y
bx
179.
相关系数
r
x
x
y
y
i
i
< br>i
1
2
2
(
x
x
)
(
y
y
)
i
i
i
1
i
1
< br>n
n
n
x
x
y
<
/p>
y
i
i
i
1
n
(
x
i
2
nx
2
< br>)(
y
i
2
ny
2
)
i
1
i
1
n
n
.
|r|
≤
1<
/p>
，且
|r|
越接近于
1
，相关程度越大；
|r|
越接近
于
0
，相关程度越小
.
180.
特殊数列的极限
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
<
/p>
0
n
（
1
）
lim
q
1
n
不存在
|
q
|
1
q
1
< br>|
q
|
1
或
q
1
.
0
(
k
t
)
a
k
n
k
< br>a
k
1
n
k
1
a
0
a
t
（
2
）
lim
(
k
t
)
.
n
b
n
t
< br>
b
n
t
1
b
b
t
t
1
0
k
不存在
(
k
t
)
（
3
< br>）
S
lim
< br>a
1
1
q
n
1
q
x
x
0
n
a
1
1
q
（
S
无穷等比数列
a
q
(
|
q
|
1
)
的和）
.
n
1
1
181.
函数的极限定理
x
< br>
x
0
lim
< br>f
(
x
)
a
lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
a
.
x
x
0
182.
函数的
夹逼性定理
如果函数
f(x)
，
g(x)
，
h(x)
在点
x
0
的附近满足：
（
1
）
g
(
x
)
f<
/p>
(
x
)
h
(
x
)
;
（
2
）
lim
g
(
x
)
a
,
< br>lim
h
(
x
< br>)
a
（常数）
,
x
x
< br>0
x
x
0
则
lim
f
(
x
)
a
.
x
x<
/p>
0
本定理对于单侧极限和
x
的情况仍然成立
.
183.
几个常用极限
1
0
，
< br>lim
a
n
< br>0
（
|
a
|
1
）
；
n
n<
/p>
n
1
1
（
2
）
lim
x
x
0
，
lim
.
x
x
0
x
x
0
x
x
0
（
1
）
lim
184.
两个重要的极限
（
1
）
lim
sin
x
1
；
x
0
x
x
1
（
2
）
< br>lim
1
< br>
e
(e=2.718281
845
„
).
x
x
185.
函数极限的四则运算法则
若
lim
f
(
x
)
a
，
lim
g
(
x
)
b
，则
x
x
0
x
x
0
(1)
lim
f
x
g
x
a
b<
/p>
；
x
x
0
x
x
0
(2)
lim
f
x
g
x
a
b
;
(3)
lim
< br>x
x
0
f
x
a
b
0
.
g
x
b
n
186.
数列极限
的四则运算法则
若
lim
a
n
a
,
lim
b
n
b
，则
< br>
n
(1)
lim
a
n
b
n
a
b
；
n
n
(2)
lim
a
n
b
n
a<
/p>
b
；
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！
初高中数学常用公式及常用结论
(3
)
lim
a
n
a
b
<
/p>
0
n
b
b
n
n
n
n
(4)
lim<
/p>
c
a
n
lim
c
lim
a
n
c
a
( c
是常数
). <
/p>
187.
f
(
x
)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商）
f
(
x
0
)
y
< br>x
x
0
lim
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
y
lim
.
x
0
x
x
0
x
188.
瞬时速度
s
(
t
)
lim
s
s
(
t
t
)
s
(
t<
/p>
)
lim
.
t
0
t
t
0
t
189.
瞬时加速度
a<
/p>
v
(
t
)
lim
v
v
(
t
t
)
v
(
t
)
lim
.
t
0
t
t
0
t
190.
f
(
x<
/p>
)
在
(
a
,
b
)
的导数
dy
df
y
f
(
x
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
y
<
/p>
lim<
/p>
lim
.
d
x
dx
x
0
x
x
0
x
191.
函数
y<
/p>
f
(
x
)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数
y
f
(
x
)
在点
x
0
处的导数是曲线
y
< br>f
(
x
)
在
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))
处的切线的斜
率
f
(
x
0
)
，相应的切线方程是
y
y
0
< br>
f
(
x
0
)(
x
x
0
)
.
192.
几种常见函数的导数
(1)
C
0
（
C
为常
数）
.
(2)
(
< br>x
n
)
'
nx
n
1
(
n
Q<
/p>
)
.
(3)
(sin
x
)
cos
x
.
(4)
(cos
x
< br>)
sin
x
.
(
5)
(l
n
x
)
<
/p>
1
1
e
x
；
(log
a
)
log
a
.
x
x
(6)
(
e
x
)
e
x
;
(
a
x
)
a
x
ln
a
.
（
1
）
(
u
v
)
u
v
.
（
2
）
(
uv
)
u
v
uv
.
'
'
'
'
'
'
193.
导数的运算
法则
u
'
u
'
v
uv<
/p>
'
(
v
0)
.
（
3
）
(
)
v
v
2
194.
复合函数的求导法则
设函数
u
(
< br>x
)
在点
x
处有导数
u
x
'
< br>
'
(
x
)
，函数
y
f
(
u
)
在点
x
处的对应点
U
处有
'
'
'
导数
y
u
'
f
'
(<
/p>
u
)
，则复合函数
y
f
(
(
x
))
在点
x
处有导数，且
y
x
，或写作
y
< br>u
u
x
f
x
'
(
(
x
))
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f
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(
u
)
'
(
x
)
.
195.
常用的近似计算公式（当
x
充小时）
(1)
1
x
1
(2)
、
1
n
1
x
;
1
x
1
x
；
2
n
1
1
x
；
1
x
(1
x
)
1
x
(
R
)
；
给自己一个理由，去改变自己成就梦想！