高考数学所有公式及结论总结大全
-
高考数学常用公式及结论
< br>200
条
集合
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U<
/p>
A
x
A
.
德摩根公式
C
U
(
A
B
)
C
U<
/p>
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
.
包含关系
A
B
A
<
/p>
A
B
B
A
B
C
U
B
C
U
A
A
C
U
B
<
/p>
C
U
A
B
R
容斥原理
card
< br>(
A
B
)
cardA
< br>cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA
cardB
cardC
card
(
A
B
)
card
(
A
B
)
c
ard
(
B
C
)
card
(
C
A
)
card
(
A
B
C<
/p>
)
.
n
n
n
集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–
1
个；非
空子集有
2
–
1
个；非空的
真子集有
2
–
2
个
.
集合
A<
/p>
中有
M
个元素，集合
B
中有
N
个元素，则可以构造
M*N
个从集合
A
到集合
B
的映射；
二次函数，二次方程
二次函数的解析式的三种形式
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2<
/p>
bx
c
(
a
0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)
a
(
x
h
)
2
k
(
a
< br>0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
< br>
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
解连不等式
< br>N
f
(
x
)
M
常
有以下转化形式
n
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)<
/p>
M
][
f
(
x
)
N
]
0
M
N
< br>M
N
f
(
x
)
N
|
0
|
f
(
x
)
2
2
M
< br>
f
(
x
)
1
1
.
f
(
x
)
N
M
N
方程
f
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
,
与
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不等价
,
前者是后者的一个必
要而不是充分条件
.
特别地
,
方程
ax
bx
c
< br>
0
(
a
0
)
有且只有一个实根在
(
k
1
,
k
2
)
内
< br>,
等价
于
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)<
/p>
0
,
或
f
(
k
1
)
0
且
k
1
闭区间上的二次函数的最值
2
二次函数
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
<
/p>
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
2
k
k
2
k
k
2
b
b
1
k
2
.
,
或
f
(
k
2
)
0
且
1
2
a
2<
/p>
2
2
a
b
处及区间的两端点处取
2
a
< br>得，具体如下：
(1)
当
a>0
时，若
x
b
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
min
f
(
),
f
(
x
)
< br>max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
2
a
高考数学常用公式及结论
200
条
1
b
<
/p>
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
< br>f
(
x
)
min
min
< br>f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
b
b
p
,
q
，
则
f
(
x
)
mi
n
min
(2)
当
a<0
时
，
若
x
，
f
(
p
),
f
< br>(
q
)
若
x
p
,
q
，
则
2
a
2
a
f
(
x
)
< br>ma
x
max
q
)
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
f
(
p
),
f
(
，
x
一元二次方程的实根分布
< br>依据：若
f
(
m
)
f
(
n
)
0
，则方程
< br>f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内
至少有一个实根
.
设
f
(
x
)
x
2
< br>px
q
，则
< br>
p
2
4
q
0
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
；
<
/p>
m
2
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
f
(
m<
/p>
)
0
（
2
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内有根的充要条件
为
f
(
m
)<
/p>
f
(
n
)
0
或
p
2
4
q
0
或
af
(
n
)
0
m
p
n
2
f
(
n
)
< br>0
或
；
af
(
m
)
0
<
/p>
p
2
4
q
0
（
3
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
.
m
2
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
<
/p>
,
)
的子区
间
L
（形如
,
，<
/p>
,
，
,
不同）上含参数的二次不等式
f
(
< br>x
,
t
)
0
(
t
为
参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
min
0(
x
L
)
.
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t<
/p>
)
man
0(
x
L
)
.
a
0
a
0
4
2
b
0
(3)
f
(
x
)
ax
bx
c
0
恒成立的充要条件是
或
2
.
b
4
ac
0
c
0
2
高考数学常用公式及结论
200<
/p>
条
简易逻辑
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有
n
个
至多有
（
n
1
）
个
小于
不小于
至多有
n
个
至少有
（
n
1
）
个
对所有
x
，
存在某
x
，
成立
不成立
p
或
q
p
且
q
对任何
x
，
存在某
x
，
不成立
成立
p
且
q
p
或
q
四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
< br>是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
. <
/p>
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
高考数学常用公式及结论
200
条
3
函数
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,<
/p>
x
1
x
2
那么
f
(
x
1
)
f
(
x
< br>2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是增函数；
x
1
x
2
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
< br>
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
(
x
1
x
2<
/p>
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
x
1
x
2
(2)
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间内可导，
如果
f
(
x
)
0
，
< br>则
f
(
x
)
为增函数；
如果
f
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
(<
/p>
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
为减函数
.
如果函数
f
(
x
)
和<
/p>
g
(
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
< br>(
x
)
也是减函数
;
如果函
数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上都是减函数
,
则复合函数
< br>y
f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关
于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧
函数相反；
，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y
轴
对称，那么这个函数是偶函数，如果一个
奇函数的定义域包括
0
，则必有
f(0
)=0;
若函数
y
f
(
x
)
是偶函数，则
f
(
x
a
< br>)
f
(
x
a
)
；若函数
y
f
(
x
a<
/p>
)
是偶函数，则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
.
对
于
函
数
y
f
(
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
)
f
(
b
x
)
恒
成
立
,
则
函
< br>数
f
(
x
)
的
对
称
轴
是
函
数
a
b
a
b
x
;
两个函数
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
对称
.
2
2
a
若
f
(
x
)
f<
/p>
(
x
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
的图象关于点
(
,
0
)
对称
;
若
f
(
x
)
f
(
x
< br>a
)
,
则函
2
数
y
f
(
x
)
为周
期为
2
a
的周期函数
< br>.
多项式函数
P
(
x
)
a
n
x
n
a
n
1
x
n
<
/p>
1
a
0
的奇偶性
多项式函数
P
(
x
)
是奇函数
P
(
x
)
的偶
次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
多项式函数
P<
/p>
(
x
)
是偶函数
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶
数项
)
的系数全为零
.
函数
y<
/p>
f
(
x
)
的图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
的
图象关于直线
x
a
< br>对称
f
(
a
x
)
f
(
a
<
/p>
x
)
f
(2
a
x
)
f
(
x
)
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
< br>的图象关于直线
x
a
b
对称
f
(
a
mx
)
f
< br>(
b
mx
)
2
f
(
a
b<
/p>
mx
)
f
(
mx
)
.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
a
< br>b
对称
.
2
< br>m
(
x
)
的图象关于直线
y=x
对称
.
若将函数
y
f
(
x<
/p>
)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
< br>b
的图象；若将曲线
f
(
x
,
y
)
0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
< br>f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图象
.
互为反函数的两个函数的关系
4 <
/p>
高考数学常用公式及结论
200
条
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
若函数
y
f
(
kx
b<
/p>
)
存在反函数
,
则其反函数为
y
而函数
y
[
f
< br>
1
1
1
[
f
(
x
)
b
]
,
并不是
y
[
f
1
(
kx
b
)
,
k
(
kx
b
)
< br>是
y
1
[
f
(
x
)
b
]
的反函
数
.
k
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
f
(
x
<
/p>
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
x
,
f
(
x
y
< br>)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a
1)
.
(4)
幂函数
f
(
x
)
x
,
f
(
xy
)
< br>
f
(
x
)
f
(
y
)
,
f
'
(1)
.
(5)
余弦函数
f
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
< br>x
)
sin
< br>x
，
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
)
g
(
x
)
g
(
y
< br>)
，
f
(0)
1,lim
x
0
g
(
< br>x
)
1
.
x
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=a
；
（
2
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)<
/p>
0
，或
f
(
x
a
)
或
f
(
x
a
< br>)
T=2a
；
1
(
f
(
x
)
0
)
，
<
/p>
f
(
x
)
1
1
(
f
(
x
)
0)
,
或
< br>2
f
(
x
)
f
(
x
)
f
2
(
x
)
f
(
x
a
),(
f
(
x
)
0,1
)
,
则
< br>f
(
x
)
的
周
期
1
(
f
(
x
)
0
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=3a
；
f
(
x
a
)
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)
且
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
1
,0
|
x
1
x
2
|
2
a
)
，
则
f
(
x
)
的
周
期
1
< br>
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
(3)
f
(
x
)
1
T=4a
；<
/p>
(5)
f
(<
/p>
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
<
/p>
f
(
x
4
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a<
/p>
)
f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=5a
；
< br>
(6)
f
(
< br>x
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=6a.
指数与对数
分数指数幂
(1)
a
m
n
1
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.(2)
a
m
n
1
a
m
n
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
根式的性质
（
1
）
(
n
a
)
n
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
n
a<
/p>
n
a
；当
n
为偶数时，
a
|
a
|
n
n
a
,
a
0
.
a
,
a
0
有理指数幂的运算性质
(1) <
/p>
a
a
a
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
r
s
rs
(2)
(
a
)
a
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
高考数学常用公式及结论
200
条
5
r
s<
/p>
r
s
(3)
(
ab
)
r
a
r
b
r
(
a
0,
b
0,
r
Q
< br>)
.
p
注：
若<
/p>
a
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理
数指数幂都适用
.
指数式与对数式的互化式
log
a
N
b
a
b
N
(
a
< br>
0,
a
1,
N
0)
.
对数的换底公式
log
m
N
(
a
0
,<
/p>
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
n
推论
lo
g
a
m
b
<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
log
a
N
对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
< br>a
≠
1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
<
/p>
(1)
log
a
(
MN
)
l
og
a
M
l
og
a
N
;(2)
< br>log
a
(3)
log
a
M
n
n
log
a
M
(
n
R
< br>)
.
2
设函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
2
bx
c
)(
a
0
)
,
记
b
4
ac
.
< br>若
f
(
x
)
的定义域为
R
,
< br>则
a
0
，
M
log
a
M
log
a
N
;
N
且
0
;<
/p>
若
f
(
x
)
的值域为
R
,
则
a
0
，且
0
.
对于
a
0
的情形
,
需要单独检验<
/p>
.
对数换底不等式及其推广
1
,
则函数
y
log
ax
(
bx
)
a
1
1
(1)
当
a
b
时
,
在
(0
,
)
和
(
,<
/p>
)
上
y
log
ax
(<
/p>
bx
)
为增函数
.
a
a
1
1
)
和
(
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为减函数
.
，
(2)
当
a
b
时
,
在
(0,
a
a
若
a
0
,
b
0
,
x
0
,
x
推论
:
设
n
m
1
，
p
0
，
a
0
，且
a
1
，则<
/p>
（
1
）
log
m
p
(
n
p
)
log
m
n
.
（
2
）
log
a
m
log
a
n
log
a
平均增长率的问题
x
如果原来产值的基础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产
值
y
，有
y
N
(1
p<
/p>
)
.
39.
数
列的同项公式与前
n
项的和的关系
<
/p>
2
m
n
.
2
n
1
s
1
,
(
数列
{
a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
a
1
a
2
a
n
).
a
n
s
n
s
n
1
,
n
2
< br>数列
等差数列的通项公式
a
n
a
< br>1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
)
；
其前
n
项和公式为
s<
/p>
n
*
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
< br>d
1
na
1
d
n
2
(
a<
/p>
1
d
)
n
.
2
2
2
2
6
高考数学常用
公式及结论
200
条
a
等比数
列的通项公式
a
n
< br>a
1
q
n
1
1
q
q
n
(
n
N
*
)
；
其前
n
项的和公式为
a
n
1
(1
q
)
a
1
a
n
q
s
,
q
1
,
q
1<
/p>
n
1
q
或
s
n
1
q
.
< br>
na
1
,
q
1
na
1
,
q
1
等比差数列
a
n
:
a
n
1
qa
n
d
,
a
1
b
(
q
0)
< br>的通项公式为
a
b
(
n
1)
d
< br>,
q
1
n
b
q
n
(
d<
/p>
b
)
q
n
1
d
q
1
,
q
1
；
其前
n
项和公式为
< br>nb
n
(
n
1)
d
,(
q
1)
s
n
d
1
q
n
(
b
1
q
)
q
< br>1
d
1
q
n
,(
q
1)
.
分期付款
(
按揭贷款
)
每次还款
x
ab
(1
b
)
< br>n
(1
b
)
n
1
元
(
贷款
a
元
,
n
次还清
,
每期利率为
b
).
三角函数
常见三角不等式
（
< br>1
）若
x
(0,
2
)
，则
sin
x
< br>
x
tan
< br>x
.(2)
若
x
(0,
2
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
sin
cos
，
tan
cot
1
.
正弦、余弦的诱导公式
n
sin(
n
(n
为偶数
)
2
)
(
1)
2
sin
,
n
1
(
1)
2
co
s
,
(n
为奇数
)
(n
为偶数
)
n
co<
/p>
s(
n
(n
为奇数
)
2
)
(
1)
2
co
s
,
n
1
(
< br>
1)
2
sin
,
和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
cos(<
/p>
)
cos
cos<
/p>
sin
<
/p>
sin
;
t
an(
)
tan
tan
1
tan
tan
.
sin(
)sin(
)
sin
2
sin
2
(
平方正弦公式
);
cos(
)cos(
)
cos
2
sin
2
.
高考数学常用公式及结论
200
条
7
a
sin
b
cos
=
a
2
b
2
sin(
<
/p>
)
(
辅助角
所在象限由点
(
a
,
b
)
的象限决定
,
tan
< br>
半角正余切公式：
tan
二倍角公式
b
).
a
2
sin
sin
,cot
< br>
1
cos
1
cos
2
tan
.
1
tan
2
sin
2
sin
cos
.
cos
2
cos
2
sin
2
2cos
2
1
1
< br>
2sin
2
.
tan
2
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin
sin(
)sin
(
)
.
3
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
3
3
.
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(
)
tan(
)
.
1
3tan
2
3
3
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
∈
< br>R(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
，
ω
＞
0)
的周
期
T
2
；
函数
y
tan(
x
)
，
x
k
2<
/p>
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，
且
A
≠
0
，
ω
＞
0)
的周期
T
.
正弦定理
余弦定理
a
b
c
<
/p>
2
R
.
sin
A
sin
B
s
in
C
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
< br>a
2
b
2
2
ab
cos
C
.
面积定理
1
1
1
ah<
/p>
a
bh
b
ch
c
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
1
1
（
2
）
S
ab
< br>sin
C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
2
2
2
2
1
(|
OA
|
|
OB
|)
(
OA
OB
)
.
(3)
S
OAB
2
（
1
）
S
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A
< br>
B
)
C
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
< br>
在三角形中有下列恒等式：
①
sin(
A
B
)
<
/p>
sin
C
②<
/p>
tan
A
ta
n
B
tan
C
tan
A
.tan
B
.tan
C
简单的三角方程的通解
<
/p>
sin
x
a<
/p>
x
k
(
1)
arcsin
a
(<
/p>
k
Z
,|
a
|
1)
.
co
s
x
a
<
/p>
x
2
k
arccos
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
k
tan<
/p>
x
a
x
k
arctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
< br>Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
最简单的三角不等式及其解集
8 <
/p>
高考数学常用公式及结论
200
条
sin
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k<
/p>
arcsin
a
),
k
Z
.
s
in
x
a
(
|
a
|
1)
x
(2<
/p>
k
arcsin
a
,
2
k
ar
csin
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
< br>1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
arccos
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a<
/p>
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
<
/p>
2
arcc
os
a
),
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(<
/p>
k
arct
an
a
,
k
2
),<
/p>
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
< br>,
k
arctan
a
),
k
Z
.
2
2
(
)
(
<
/p>
)
角的变形：
2
<
/p>
(
)
(
)
(
)
向量
实数与向量的积的运算律
设
λ
、
μ
为实数，那么<
/p>
(1)
结合律：
λ
(
μ
a
)=(
λ
μ
)
a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a;
(3)
第二分配律：
λ
(
a
+
b
)=
λ
a
+
λ
< br>b
.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交
换律）
;(2)
（
< br>a
）
·
b=
< br>
（
a
·
b
）
=
a
·
b
=
a<
/p>
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+b
）
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任一向量，有且只有一对实数
λ
1
、
λ
2
，使得
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
．
不共线
的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
向量平行的坐标表示
设
a
=
(
x
1<
/p>
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
< br>
0
，则
a
b(b
0)
< br>
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
a
与
b
的数量积
(
或内积
)
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
θ
．
a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
a
的长度<
/p>
|
a
|
与
b
在
a
的方向上的投
影
|
b
|cos
θ
的乘积．
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
< br>1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则<
/p>
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
<
/p>
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1<
/p>
)
.
(4)
设
a
=
(
x
,
y
),
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
< br>,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
< br>.
两向量的夹角
公式
< br>(2)
设
a
=
< br>(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
y
< br>2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
< br>y
2
)
).
平面两点间的距离公式
<
/p>
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
高考数学常用公
式及结论
200
条
9
<
/p>
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
向量的平行与垂直
设
a
=
(
x
< br>1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
0
，则
A
||
b
b
=
λ
a
x
1
y
< br>2
x
2
y
1
0
.
a
b(a
0)
a
·<
/p>
b=
0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
线段的定比分公式
设
P
是实数，且
PP
1
2
的分点<
/p>
,
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，
P
(
x
,
y<
/p>
)
是线段
PP
1
PP
2<
/p>
，则
x
1
x
2
<
/p>
x
<
/p>
OP
1
1
OP
2
OP
1
< br>y
y
1
y
2
1
1
t
（
）
.
(1
t
)<
/p>
OP
OP
<
/p>
tOP
1
2
1<
/p>
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三
个
顶
点
的
坐
标
分
别
为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则
△
ABC
的
重
心
的
坐
标
是
G
(
x
1
x<
/p>
2
x
3
y
1
y
2
y
3
,
)
.
3
3
点的平移公式
'
< br>'
'
x
x
h
x
x
h
'
<
/p>
OP
OP
<
/p>
PP
.
'
'
y
y
k
y
y
k
'
< br>
注
:
< br>图形
F
上的任意一点
P(x
，
y)
在平移后图形
F
上的对应点为
P
(
x
,
y
)
，且
PP
'
的坐标为
(
h
,
k
< br>)
.
'
'
'
“按向量平移”的几个结论
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
< br>平移后得到点
P
'
(
x
h
,
y
k
)
.
'
'
(2)
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
C
按<
/p>
向
量
a
=
(
h
,
k
)
平
移
后
得
到
图
象
C
,
则
C
的
函
数
解
析<
/p>
式
为
y
f
(
x
h
)
k
.
(3)
图象
C
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解析式
y
<
/p>
f
(
x
)
,
则
C
的函数解析式
为
'
'
y
<
/p>
f
(
x
h
)
k
.
(4)
曲线
C
:
f
(
x
,
y
)
0
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
则
C
的方程为
f
(
x
h
,
y
k
< br>)
0
.
(5)
向量
m
=
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(
x
,
< br>y
)
.
三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为<
/p>
a
,
b
,
c
，则
'
'
2
2
2
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0<
/p>
.
< br>
O
< br>ABC
（
3
）
< br>为
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB
cOC<
/p>
0
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
aOA
b
OB
cOC
.
不等式
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a<
/p>
b
2
ab
(
当且仅当
a<
/p>
＝
b
时取“=”号
)
．
10
高考数学常用公式及结论
200
条
2
2
a
b
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
．
2
（<
/p>
3
）
a
3
b
3
c
3
3
abc
(
a
0,
b
0,
c
0).
（
2
）
a
,
b
R
（
4
）柯
西不等式
(
a
2
b
2
)
(
c
2
d<
/p>
2
)
(
ac
bd
)
2
,
a
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
b
a<
/p>
b
a
b
.
极值定理
已知
x
,
y<
/p>
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
（
2
< br>）若和
x
y
< br>是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.
4
推广
已知
x
,
y
R
，则有
(
x
y
)
< br>2
(
x
y
)
2
2
xy
（<
/p>
1
）若积
xy
是
定值
,
则当
|
x
y
|
最大
时
,
|
x
<
/p>
y
|
最大；
<
/p>
当
|
x
y
|
最小时
,
|
x
y
|
最小
.
（
2
）若和
|
x
y
|
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
xy
|
最小；
当
|
x
y
|
< br>最小时
,
|
xy
|
最大
.
2
2
一元二次不等式
ax
bx
c
0(
或
0)
(
a
0,
b
4<
/p>
ac
0)
，<
/p>
如果
a
与
ax<
/p>
bx
c
同号，
2
则其解集在两根之外；
如果
a
与
ax
bx
c
异号，
则其解集在两根之间
.
简言之：
同号两根之外，
异号两根之间
.
x
1
x
x
2
<
/p>
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
；
2
x
x
1
,
或
x<
/p>
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
< br>0(
x
1
x
2
)
.
含有绝对值的不等式
当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
a
x
a
.
2
x
a
x
< br>2
a
2
x
a
或
x
a
.
75.
无理不等式
< br>
f
(
x
)
0
（
1
）
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
< br>)
0
.
< br>
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
0
f
(
x
)
0
< br>
（
2
）
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
或
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g<
/p>
(
x
)]
2
f
(
x
)
0
（
3
< br>）
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
指数不等式与对数不等式
(1
)
当
a
1<
/p>
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
< br>x
)
g
(
x
)
;
f
(
x
)
0
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
< br>.
f
(
x
)
g
(
x
)
(2
)
当
0
a<
/p>
1
时
,
高考数学常用公式及结论
200
条
11
a
f
(
x
)
a
g
< br>(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
;
f
(
x
)
0
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
f<
/p>
(
x
)
g
(
x
)
直线方程
斜率公式
①
k
y
2<
/p>
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
）
.<
/p>
②
k=tan
α
(
α
为直线倾斜角）
x
2
x
1
直线的五种方程
（
1
）点斜式
y
y
1
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
< br>x
1
,
y
1
)
，且斜率为
k
< br>)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
2
<
/p>
y
1
x
2
x
1
x
y
(4)
截距式
1
(
a
、
b
分别为直线的横
、纵截距，
a
、
b
0
)
a
b
（
5
）一
般式
Ax
By
C
0
(
其中
A
、<
/p>
B
不同时为
0).
（
3
）两点式
两条直线的平行和垂直
(1)
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2<
/p>
x
b
2
①
l
1
||
l
2
k
1
k
< br>2
,
b
1
b
2
;
②
l
1
l<
/p>
2
k
1
k
2
1
.
(2)
若
l
1
:
A
1
x
B
< br>1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
且
< br>A
1
、
A
2
、
B
1
、
B
2
都不为零
,
A
1
B
1
C
1
；
A
2
B
2
C
2
②两直线垂直的充要条件是
A
；即：
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
1
A
2
B
1
< br>B
2
0
①
l
1
||
l
2
夹角公式
k
2
k
1<
/p>
|
.
1
k
2
k
1
(
l
1
:
y
k
1
< br>x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
< br>
A
B
A
2
B
1
(
2)
tan
|
1
2
|
.
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
:
A
).
1
x
B
1
< br>y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
< br>A
2
B
1
B
2
0
直线
l
1<
/p>
l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
.
2
l
1
到
l
2
的角公式
k
k
1
(1)
tan
2
.
1
k
2
k
1
(
l
1
:
y
< br>
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
< br>
1
)
(1)
tan
< br>|
12
高考数学常用公式及结论
200
条
A
1
B
2
A
2
B
1
.
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
:
A
).
1
x
B
1
y
<
/p>
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2<
/p>
B
1
B
2
0
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角是
.
2
(2)
tan
四种常用直线系方程
(1)
定点直线系方程：经过定点<
/p>
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为
y
<
/p>
y
0
k
(
x
x
0
)
(
除直线
x
x
0
),
其中
k
是待定的系数
;
经过定点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方
程为
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
0
,
其中
A
,
B
是待定的系数．
(2)
共点直线系方程：经过两直线
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x<
/p>
B
2
y
C
2
0
的交点的直线系方程
为
(
A
1
x
<
/p>
B
1
y
C
1
)
(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
(
除<
/p>
l
2
)
，其中<
/p>
λ
是待定的系数．
(3)
平行直线系方程：
直线
y<
/p>
kx
b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，
表示平行直线系方程．
与直
线
Ax
By
C
0
平行
的直线系方程是
Ax
By
0
(
0
)
，
λ
是参变量．
C
0
(A
≠
0
，
B
≠
0)
垂
直
的
直
线
系
方
程
是
(4)
垂
直
直
线
系
方
程
：
与
直
线
A
x
B
< br>y
Bx
Ay
< br>
0
,
λ
是参变量．
点到直线的距离
< br>A
B
Ax
By
C
0
或
0
所表示的平面区域
设直线
l
:
Ax
By
C
0
，若
< br>A>0,
则在坐标平面内从左至右的区域依次表示
Ax
By
C
0
，
Ax
By
C
0
，
Ax
By
C
0
，
< br>若
A<0,
则在坐标平面内从左至右的区域依次表示
Ax
By
C
0
，
可记为“
x
为正开
口对，
X
为负背靠背“。
（正负指
X
的系数
A
，开口
对指”
<>
，背靠背指
）
0
所表示的平面区域
85.
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
或
设曲线
C
:
(
A
，则
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
（
A
1
A
2
B
1
B<
/p>
2
0
）
d
|
Ax
0
By
0
C
|
2
2
(
点
P
(
x
0
,
y
0
)
,
直线
l
：
Ax
<
/p>
By
C
0
).
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
或
<
/p>
0
所表示的平面区域是：
(
A
1
x
< br>
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B<
/p>
2
y
C
2
)
0
所表示的平面区域上下两部分；
(
A
1
x
< br>B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2<
/p>
y
C
2
)
0
所表示的平面
区域上下两部分
.
圆
圆的四种方程
（
1
）圆的标准方程
(
x
a
)
(
y
b
)
r
.
2
2
（
2
）圆的一般方程
x
< br>
y
Dx
Ey
F
0
(
D
E
4
F
＞
0).
2
2<
/p>
2
2
2
x
a
r
cos
（
3
）圆的参数方程
.
y
<
/p>
b
r
sin<
/p>
（
4
）
圆
的
直
径
式
方
程
(
x
x
圆
的
直
径
的
端
点
是<
/p>
A
(
x
1
,
y
1
)
、
y
)(
y
2
y
)
< br>
(
0
1
)(
x
x
2
)
(
y<
/p>
1
B
(
x
2
,
y
2
)
).
圆系方程
(1)
过点
A
(
x
1
,
y<
/p>
1
)
,
B
(
x
2
,
y
2
)
的圆系方程是
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
[(
x
<
/p>
x
1
)(
y
1
y
2
)
(
y
y
1
)(
x
1
x
2
)]
0
(
x
x
1
)(
x<
/p>
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
< br>
(
ax
by
c
)
0
,
其
中
ax
by
c
0
是直
线
AB
的方程
,
λ
是
高考数学常用公式及结论
200
条
13
待定的系数．
(2)
过
直
线
l
:
Ax
By
C
0
与
圆
C
:<
/p>
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
的
交
点
的
圆
系
方
程
是
x
2
y
2
Dx
Ey
F<
/p>
(
Ax
By
C
)
0
,
λ
是待定的系数．
2
2
(3)
过圆
C
1
:
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
2
< br>0
的交点的圆系方程
1
0
与圆
C
2
:
x
y
D
2
x
< br>
E
2
y
F
2
2
是
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
< br>
(
x
y
D
2
x
E
2
y
F
2
)
0
,
λ
是待定的系数．
点与圆的位置关系
点
P
(
x
0
,
y
0
)
与圆
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
的位置关系有三种
若
d<
/p>
(
a
x
0
)
2
(
b
y
0
)
2
，则
d
r
点
P
在
圆外
;
d
r
点
P
在圆上
;
d
r
点
P
在圆内
.
直线与圆的位置关系
直线
Ax
By
C
0
与圆
(
x
a
< br>)
2
(
y
b
)
2
r
2
的位置
关系有三种
:
d
< br>r
相离
0
;
d
r
相
切
0<
/p>
;
d
r
相交
0
.
Aa
Bb
C
其中
d
.
2
2
A
B
两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心
分别为
O
1
，
O
2
，半径分别为
r
< br>1
，
r
2
，
O
1
O
2
d
d
r
1
r
2
外离
4
条公切线
;
d
r
1
r
2
外切
3
条公切线
;
r
1
r
2
d
< br>
r
1
r
2
相交
2
条公切线
;
d
r
1
r
2
内切
1
条公切线
;
0
d
r
1
r
2
内含
无公切线
.
91.
圆的切线方程
(1)
已知圆
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
．
①若已知切点
(
x
0
,
y
0
< br>)
在圆上，则切线只有一条，其方程是
D
(
x
0
x
)
E
(
y
0
y<
/p>
)
F
0
.
2
2
D
(
x
0
x
)
< br>E
(
y
0
y
)
F
0
表示过
两个切点的切点弦方程．
当
(
x
0
,
y
0
)
圆外时
,
x
0
x
y
0
y
< br>2
2
②过圆外一点的切线方程可设为
y
y
0
k
(
x
<
/p>
x
0
)
，再利用
相切条件求
k
，这时必有两条切线，
x
0
x
y
0
y
注意不要漏掉平行于
y
轴的切线．
③斜率为
k
的切线方程可
设为
y
kx
b
，再利用相切条件求
b
，必有两条切线．
(2)
已知圆
x
y
r
．
2
①过圆上的
P
点的切线方程为
;
(
x
,
y
)
x
x
y
y
r
0
0
0
0
0
2
2
2<
/p>
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y
kx
r
1
k
< br>2
.
14
高考数学常用公式及结论
200
条
椭圆
<
/p>
x
a
cos
x
2
y
2
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的参数方程是
.
a
b
y
b
sin
x
2
y
2
< br>椭圆
2
2
1(
a
b
0)
焦半径公式
a
b
< br>PF
1
a
ex
，
PF
2
a
ex
,
F
1
,
F
2
分别为左右焦点
< br>
PF
1
F
2
x
2
y
2
2
b
<
/p>
tan
;
<
/p>
焦点三角形：
P
为椭圆
< br>2
2
1(
a
b
0)
上一点，
则三角形
PFF
的面积
S=
1
2
2
a
b
2
特别地，若
PF
1
PF
2
,
此三角形面积为
b
；
x
2
y
2
在椭圆
2
2
1(
a
b
0)
上存在点
P
，使
PF
1
PF
2
的条件是
c≥b,即椭圆的离心率
e
的范
a
b
高考数学常用公式及结论
200
条
15
围是
[
2
,1)
；
2
2
2
x
0
y
0
1
.
a
2
b
2
2
2
x
0
y
0
2
1
.
2
a
b
椭圆的的内外部
x
< br>2
y
2
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0<
/p>
)
在椭圆
2
<
/p>
2
1(
a
b
0)
的内部
a
b
x
2
y
2
（
2
）点
P
(
x
0
,
< br>y
0
)
在椭圆
< br>2
2
1(
a
b
0)
的外部
a
b
椭圆的切线方程
x
x
y
y
x
2
y
2
(1)
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)
处的切
线方程是
0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x
x
y
y
x
2
y
2
（
2
）过椭圆
2
2
1(
a
b
0)
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
所引两条切线的切点弦
方程是
0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x
2
y
2
2
2
2
2
2
（
3
）椭圆
2
2
1(
a
< br>b
0)
与直线
Ax
By
C
0
相切的条件是
A
a
B
b
c
.
< br>
a
b
双曲线
x
2
y
2
双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的焦半径公式
a
b
a
2
a
2
PF
1
|
e
(
x
)
|
，
PF
2
|
e
< br>(
x
)
|
.
c
c
双曲线的内外部
2
< br>2
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2<
/p>
2
1(
a
0,
b
0)
的内部
2
2
1
.
a
b
a
b
16
高考数学常用
公式及结论
200
条