圆的概念公式及推导完整版
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〖圆的定义〗
几何
说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
< br>
轨迹
说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定
长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆弧和弦：圆上任意
两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣
弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的
角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点
的角叫做圆周
角。
<
/p>
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和
三角形三
边都相切的圆叫
做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段
弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的
半径成为圆锥的
母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆一
O
半径一
r
扇形弧长／圆锥母线一
l
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点
>
r
；
P
在
O O
上
,
P0= r
；
弧一
c
直径—
d
周长—
C
面积一
S
P
与圆<
/p>
O
的为例（设
P
是一点，则
P0
是点到圆心的距离），
P
在
O
O
外，
P0
P
在
O
0
内，
P0<
r
。
直线与圆有
3
种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，
这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线
AB
与圆
0
为
例（设
0P
丄
AB
于
P
,
则
P0
是
AB
到圆心的距离）：
AB
与
O
0
相离，
P0
>
r
;
AB
与
O
0
相切，
P0= r
;
AB
与
O
0
相交，
P0<
r
。
两圆之间有
5
种位置关系：
无公共点的，
一圆在另一圆之外叫外离，
在之内叫内含；
有唯一公共点的，
一圆在另一圆之外
叫
外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为
R
和
r
，且
R
>
r
，圆心距为
P:
外离
P
>
R+r
；外切
P=R+r
；相交
R-r
<
Pv
R+r
；内切
P=R-r
;
内含
P
<
R-
r
。
【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中
心对称图形，其对称
中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的
直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦，并且平分弦所对的
弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所
对应
的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90
度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角
形三
个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角
平分线的交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线
垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（
1
）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（
经过圆心。（
3
）
圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
2
）经过切点垂直于切线的直线必
1.
圆的周长
C=2n r= n d 2.
圆的面积
S=n r2 3.
扇形弧长
匸
n n r/180
4.
扇形面积
S=nn r2/360=rl/2
5.
圆锥侧面积
S=n rl
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另
图示
一边和圆相切的角叫做。
如右图所示，直线
PT
切圆
O
于点
C
，
BC
、
AC
为圆
O
的弦，则有
/
角）。
弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度
数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
的角）
弦切角定理证明
:
证明一：设圆心为
O,
连接
OC OB,
连接
BA
并延长交直线
T
于点
•••/ TCB=90
- / OCB
•••/ BOC=180
-2 / OCB
此图证明的是弦切角
/
TCB
•••
, /
B0C=2
/
TCA
（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）
•••/ B0C=2Z CAB
（圆心角等于圆周角的两倍）
•••/ TCA=Z CAB
（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：
AC
是
O
O
的弦
,
AB
是
O O
的切线，
A
为切点，弧是弦切角
/
求证：（弦切角定理）
证明：分三种情况
:
（
1
）
圆心
O
在
/
BAC
的一边
AC
上
•/
AC
为直径，
< br>AB
切
O
O
于
A
,
•••弧
CmA
弧
CA
•••为半圆，
•••/ CAB=90=
弦
CA
所对的圆周角
B
点应在
A
点左侧
（
2
）
圆心
O
在
/
BAC
的内部
.
过
A
作直径
AD
< br>交
O 0
于
D,
若在优弧
m
所对的劣弧上有一点
那么，连接
EC
、
ED
、
EA
PCA=Z PBC(
/
PCA
为弦切
.
（
弦切角就是与弦所夹
BAC
所夹的弧
.
则有：
/
CED=
/
CAD
/
DEA=
/
DAB
/ CEA=Z CAB
（弦切角定理）
（
3
）
圆心
O
在
Z
BAC
的外部
，
过
A
作直径
AD
< br>交
O O
于
D
那么
/
CDA+Z CAD=Z
CAB+Z CAD=90
:
丄
CDA=Z CAB
二（弦切角定理）
弦切角推论
:
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
举例
：
例
1
:
如图，在中
,
C=90
，以
AB
为弦的
O O
与
AC
相切于点
A,Z CBA=60 , AB=a
BC
长
.
解：连结
OA, OB.
•••在中，
Z C=90
•：
Z BAC=30
：
.
BC=1/2a(
RTA
中
30
°角所对边等于斜边的一半）
<
/p>
例
1
:
如图，在
中，
Z C=90
,
以
AB
为弦的
O O
与
AC
相切于点
A,Z CBA=60 , AB=a
求
解：连结
0A, OB.
•••在中
，
Z C=90
:.Z BAC=30
•:
BC=1/2a
（
RTA
中
30
°角所对边等于斜边的一半）
例
2
:
如图，
AD
是△
ABC
中
Z
BAC
的平分线，经过点
A
的
O O
与
BC
切于点
D
,
与
AB
,
AC
分别相
交于
E
,
F.
求证：
EFI BC.
证明：连
DF.
AD
是
Z
BAC
的平分线
Z BAD=Z
DAC
Z EFD=Z BAD
Z EFD=Z DAC
O O
切
BC
于
D
Z FDC=Z DAC
Z EFD=Z FDC
EF
II
BC
例
3
:
如图，△
ABC
内接于
O
O
,
AB
是
O O
直径，
CD
丄
AB
于
D, MN
切
O
O
于
C
,
求
证：
AC
平分
Z MCD
BC
平分
Z NCD.
证明：•••
AB
是
O
O
直径
：
.Z ACB=90
求
BC
长
.
•••
CD
丄
AB
•••/ ACD=Z B,
•/
MN
切
O
O
于
C
•••/ MCA=/ B
,
:
丄
MCA=/ ACD,
即
AC
平分
/
MCD
同理：
BC
< br>平分
/
NCD.
切线长定理
从圆外一点引圆的两条，
它们的相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长
AC=ABo
•••/ ABO=/ ACO=90
BO=CO
半径
AO=AO
公共边
••• Rt A ABO^ Rt A ACO()
••• AB=AC
/
AOB=
/
AOC
/
OAB=
/
OAC
切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等
切线长的概念
.
如图，
P
是
O
O
外一点，
PA
，
PB
是
O
O
的两条切线，我们把线段
PA
，
做点
P
到
O O
的切线长
.
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能
< br>度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平<
/p>
分两条切线的夹角
.
推广：连接
BC
，
BC
丄
AO
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交
点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦
被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言
:
若弦
AB
、
CD
交于点
P
则
PA- PB=PC
PD
（相交弦定理）
推论：如果弦
与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两
条线段的
几何语言
:
若
AB
是直径，
CD
垂直
AB
于点
P
，
PB
叫