湖南省常德市2020年中考数学试题
-
2020
年湖南省常德市中考数学试卷
一．选择题（共
8
小题）
的倒数为（
）
A.
1
4
B.
2
C. 1
D.
﹣
4
2.<
/p>
下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称
是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
如图，已知
AB
∥
DE
，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠
BCE<
/p>
的度数为（
）
A.
70°
B. 65°
C. 35°
4.
下列计算正确的是（
）
A.
a
2
+
b
2
＝（
a
+
b
）
2
C.
a
÷
a
＝
a
5.
下列说法正确的是（
）
10
5
2
B.
a
2
+
a
4
＝
a
6
D.
a
?
a
＝
a
2
3
5
的
< br>
D. 5°
D.
200
5
π
A.
明天的降水概率为
80%
，则明天
80%
的时间下雨，
20%
的时间不下雨
B.
抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C.
了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D.
一组数据的众数一定只有一个
6.
一个圆锥的底面半径
r
＝
10
，高
h
＝
20
，则这个圆锥的侧面积是（
）
A.
100
3
π
B.
200
3
π
C.
100
5
π
7.
二次函数
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0）的图象如图所示，下列结论：①
b
2
﹣
4
ac
＞
0
；②
abc
＜
0
；③4
a
+
b
＝
0
；④4
a
﹣
2
b
+
c
＞
0
．其
中正确结论的个数是（
）
1
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8.
如图，将一枚跳棋放在七边形
ABCDEFG
的顶点
A
处，按顺时针方向移动这枚跳棋
2020
次．移动规则是：
第
k
次移动
k
个顶点
（如第一次移动<
/p>
1
个顶点，
跳棋停留在
< br>B
处，
第二次移动
2
个顶点，
跳棋停留在
D
处
）
，
按这样的规则，在这
2020
次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（
）
A.
C
、
E
二．填空题（共
8
小题）
< br>
B.
E
、
F
C.
G
、
C
、
E
D.
E
、
C
、
F
9.
分解因式
：
xy
4
x
_________________
．
2
2
1
0.
若代数式
在实数范围内有意义，则
x
的取值范围是
_____
．
2
x
6
11.
计算：
1
9
﹣
+
8
＝
_____
．
2
2
12.
如图，若反
比例函数
y
＝
k
（
x
＜
0
）
的图象经过点
A
，
AB
⊥
x
轴于
B
< br>，且△
AOB
的面积为
6
，则
k
＝
_____
．
x
月
23
日是世界读书日，这天某校为了解学
生课外阅读情况，随机收集了
30
名学生每周课外阅读的时间，
统计如表：
阅读时间（
x
小时）
人数
若该
校共有
1200
名学生，试估计全校每周课外阅读时间在
5
小时以上的学生人数为
_____
．
14.
今年新冠病
毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购
5
只．李
红出门买口罩时，无论是否
x
≤
12
＜
x
≤5
8
5
＜
x
≤
6
x
＞
4
2
买到
，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回
5
只
．已知李红家原有库存
15
只，出门
1
0
次购买后，家里现有口罩
35
只．请
问李红出门没有买到口罩的次数是
_____
次．
15.
如图
1
，已知四边形
ABCD
是正方形，将
△
DAE
，
DCF
分别沿
DE
，
DF
向内折叠得到图
2
，此时
< br>DA
与
DC
重合（
A
、
C
都落在
G
点）
，若
GF
＝
4
，
EG
＝
6
，则
DG
的长为
_____
．
16.
阅读理解：对于
x
3
﹣（
n
2
+1
）
x
< br>+
n
这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
2
x
3
﹣（
n
2
+1
）
x
+
n
＝
x
3
﹣
< br>n
2
x
﹣
x
+
n
＝
x
（
x
2
﹣
n
2
）﹣（
x
﹣
n
）＝
x
（
x
﹣
n
）
（
x
+
n
）﹣（
x
﹣
n
）＝（
x
﹣
n
）
（
x
+
nx
﹣
1
）
．
理解运用：如果
x
﹣（
n
+1
）
x
+
n
< br>＝
0
，那么（
x
﹣
n
）
（
x
+
nx
﹣
1
）＝
0
，即有
x
﹣
n
＝
0
或
x
+
nx
﹣
1
＝
0
，
因此，方程
x
﹣
n
＝
0
和
x
2
+
nx
﹣
1
＝
0
的所有解就是方程
x
3
﹣（
n
2
+1
）
x
+
n
＝
0
的解．
解决问题：求方程
x
﹣
5
x
+2
＝
0
解为
_____
．
三．解答题（共
10
小题）
17.
计算：
2
0
+
（
3
3
2
2
2
1
﹣
1
）
?
4
﹣4tan45°．
3
2
x
1
x
4
①
18.
解不等式组
2
3
x
1
1
．
x
②
3
2
3
< br>7
x
9
x
2
9
1
9.
先化简，再选一个合适
数代入求值：
（
x
+1
﹣
）÷
．
x
x
20.
第
5
代
移动通信技术简称
5
G
，某地已开通<
/p>
5
G
业务，经测试
5
G
下载速度是
4
< br>G
下载速度的
15
倍，
小明和
小强分别用
5
G
与
4
G
下载一
部
600
兆的公益片，小明比小强所用的时间快
140
秒，求该地
4
G
与
5
G
的下载
速度分别是每秒多少兆
21.
已知一次函数
y
＝
kx
+
b
（
k
≠0）的图象经过
A
（
3
，
18
）和
B
（﹣
2
，
8
）两点．
（
1
）求一次函数的解析式；
（
2
）若一次函数
y
＝
kx
+
b
（<
/p>
k
≠0）的图象与反比例函数
y
＝
22.
如图
1
是自动卸货汽车卸货时
状态图，图
2
是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆
BC
的底部支撑点
B
在水平线
AD
的下方，
AB
与水平线
AD
之间的夹角是
5°，卸货时，车厢与水平线<
/p>
AD
成
的
的
3
m
（
m
≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
x
60°，此时
AB
与支撑顶杆
BC
的夹角为
45°，若
AC
＝
2
米，求
< br>BC
的长度．
（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈，cos65°≈，ta
n65°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈，
2
< br>≈）
23.
今年
2
﹣
4
月某市出现了
200
名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治
疗．图
1
是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图
（不完整）
，图
2
是这三类患者的人均
治疗费用统计
图．请回答下列问题．
（
1
）轻症患者的人数是多少
（
2
）该市为治疗危重症患者共花费多少万元
（
3
）所有
患者
平均治疗费用是多少万元
（
4
）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五位患者任选两位转
入另一病房，请用树状图
法或列表法求出恰好选中
B
、
D
两位患者的概率．
24.
< br>如图，已知
AB
是⊙
O
的直径，
C
是⊙
O
上的一点，
D
是
A
B
上的一点，
DE
⊥
< br>AB
于
D
，
DE
交
BC
于
F
，且
EF
＝
EC
．
（
1
）求证：
EC
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
BD
＝
4
，
BC
＝
8
，圆的半径
OB
＝
5
，求切线
EC
的长．
的
4
25.
如图，已知抛物线
y
＝
ax
2
过点
A
（﹣
3
，
（
1
）求抛物线的解析式
；
（
2
）已
知直线
l
过点
A
，
M
（
9
）
．
4
3
，
0
）且与抛物线交于另一点
B
，与
y
轴交于点
C
，求证：
MC
2
＝
MA
?
MB
；
2
（
3
）若点
P
，
D
分别是抛物线与直线
l
上的动点，以
OC
为一边且顶点为
O
，
C
，
P
，
D
的四边形是平行四边
< br>形，求所有符合条件的
P
点坐标．
26.
已知
D
是
Rt△
ABC
斜边
AB
的中点，
∠
ACB
＝90°，
∠
A
BC
＝30°，
过点
D
作
Rt△
DEF
使∠
DEF
＝90°，
∠
D
FE
＝30°，连接
CE
并延长
CE
到
P
，使
EP
＝
CE
，连接<
/p>
BE
，
FP
，<
/p>
BP
，设
BC
与
DE
交于
M
，
PB
与
EF
交
于
N
．
（<
/p>
1
）如图
1
，当
D
，
B
，
F
共线时，求证：
①
EB
＝
EP
；
②∠
EFP
＝30°；
（
2
）如图
2
，当
D
，
B
，
F
< br>不共线时，连接
BF
，求证：∠
BFD
+∠
EFP
＝30°．
5
答案
一．选择题（共
8
小题）
根据倒数的定义进行解答即可
.
【详
解】
4
的倒数为
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答
.
【详解】
A
、不是轴对称图形，也不是中心对称
图形，故本选项不合题意；
1
．故选
：
A
．
4<
/p>
B
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C
、既是轴对称图形，又是中心对称
图形，故此选项正确；
D
、不是轴对
称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：
C
．
作
CF
∥<
/p>
AB
，根据平行线的性质可以得到∠
1<
/p>
＝∠
BCF
，∠
FCE
＝∠
2
，从而可得∠
BCE
的度数，本题得以解决．
【详解】作
CF
∥
AB
，
∵
AB
∥
DE
，
∴
CF
∥
DE
，
∴
AB
∥
DE
∥
DE
，
∴∠
1
＝∠
BCF
，∠
FCE
＝∠
2
，
∵∠
1
＝
3
0°，∠
2
＝35°，
∴∠
BCF
＝30°，∠
FCE
＝35°，
∴∠
BCE
＝65°，
故选：
B
．
4.
【详解】解：
A
< br>、
a
+2
ab
< br>+
b
＝（
a
+
b
）
，原计算错误，故此选项不
符合题意；
2
2
2
B
、
a
2
与
a
4
不是
同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C
、
a
10
÷
a
5
＝
a
5
，原计算错误，故此选项不符合题意；
D
、
a
2
?
a
3
＝
a
5
，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：
D
．
6
此题主要考查幂与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析
即可得出答案．
【详解】解：
A
、明天的降水概率为
80%
，则明天下雨可
能性较大，故本选项错误；
B
、抛掷
一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是
1
，故本选项错误
；
2
C
、了
解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
D
、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；
故选：
C
．
此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数
的定义．
6.
【详解】解：这个圆锥
的母线长＝
10
2
< br>20
2
＝
10
< br>5
，
这个圆锥的侧面积＝
故选：
C
．
此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．
分析】先由抛物线与
x
轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出
a
＜
0
，进而判断出
b
＞
0
，再用抛物线与
y
轴的交点的位置判断出
c
＞
0
，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为
x
＝
2
，判断出
结论③，最后用
x
＝﹣
2<
/p>
时，抛物线在
x
轴下方，判断出结论④，
即可得出结论．
【详解】解：由图象知，抛物线与
x
轴有两个交点，
∴方
程
ax
2
+
b
x
+
c
＝
0<
/p>
有两个不相等的实数根，
∴
b
﹣
4
ac
＞
0
，故①正确，
2
1
×2π×10×10
5
＝
100
5
π．
2
【
∴﹣
由图象知，抛物线的对称轴直线为
x
＝
2
，
b
＝
2
，
<
/p>
2
a
∴
4
a
+
b
＝
0
，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴
a
＜
0
，
∵
4
a
+
b
＝
0
，
∴
b
< br>＞
0
，而抛物线与
y
轴的交点在
y
轴的正半轴上，
∴
c
＞
0
，
∴
ab
c
＜
0
，故②正确，
< br>
7
由图象知，当
x
＝﹣
2
时，
y
＜
0
，
∴
4
a
﹣
< br>2
b
+
c
＜
0
，故④错误，
即正确的结论有
3
个，
故选：
B
．
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
设顶点
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
< br>F
，
G
分别是第
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6<
/p>
格，
因棋子移动了
k
次后走过的总格数是
1+2+3+…+
k
< br>＝
1
k
（
k
+1
）
，然后根据题目中所给的第
k
次依次移动
k
个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
2
1
1
k
（
< br>k
+1
）
，应停在第
k
（
k
+1
）﹣
7
p
格，
2
2
【详解】设顶点
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
< br>G
分别是第
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
格，
因棋子移动了
k
次后走过的总格数是<
/p>
1+2+3+…+
k
＝
< br>这时
P
是整数，且使
0≤
1
k
（
k
+1
）﹣
7
p
≤6，分别取
k
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
< br>时，
2
1
k
（
k
+1
）﹣
7
p
＝
1
，
3
，
6<
/p>
，
3
，
1
，
0
，
0
，发现第
2
，
4
，
5
格没有停棋，
<
/p>
2
若
7
＜
k
≤2020，
设
k
＝
7+
t<
/p>
（
t
＝
1
，
2
，
3
）代入可得，
1
1
k
（
k
+1
）﹣
7
p
＝
7
m
+
t
（
t
+1
）
，
2
2
由此可知，停棋的情形
与
k
＝
t
时相
同，
故第
2
，
4
，
5
格没
有停棋，即顶点
C
，
E
和
F
棋子不可能停到．
故选：
D
．
本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字
变化规律是解答
的关键
.
二．填空题
（共
8
小题）
（
y+2
）
（
y-2
）
首先提公因式
x
，然后利用平方差公式分解即可；
【详解】解：
x
y
4
x
x
(
y
4)
x
(
y
2)
(
y
< br>
2)
故答案为：
x
（
y+2
）
（
y-2
）
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其 他方
法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解
＞<
/p>
3
本题考查二次根式是否有意义以及分
式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．
【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数
所以有
2
x
6
0
．
止．
2
2
8
又因为分式分母不为零
所以
2
x
6
0
．
< br>故综上：
2
x
6
＞
0
则：
x
＞<
/p>
3
．
故答案为
：
x
＞
3
<
/p>
二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．
2
直接化简二次根式进而合并得出答案．
【详解】解：原式＝
3
2
2
﹣
+2
2
2
2
＝
3
2
．
故答案为：
3
2
．
本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键
.
12.
﹣
12
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【详解】解：∵
AB
⊥
OB
，
∴
S
△
AOB
＝
|
k
|
＝
6
，
2
∴
k
＝±12，
∵反比例函数的图象在二四象限，
∴
k
＜
0
，
∴
k
＝﹣
12
，
故答案为﹣
12
．
此题
主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义．
用总人数×每周课外阅读时间在
5<
/p>
小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．
【详解】解：1200×
6
4
＝
400
（人）
< br>，
12
8
6
4
答：估计全校每周课外阅读时间在
5
小时以上的学生人数为
400
人．
<
/p>
故答案为：
400
．
本题主要考查了用样本所占百分比估算总体
数量的知识．
正确的理解题意是解题的关键．
9