2019年湖南省长沙市中考数学真题及答案
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2019
年湖南省长沙市中考数学真题及答案
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共
12
小题，每小题
3
分，共
36
分）
1
．下列个数中，比﹣
3
小的数是
A
．﹣
5
B
．﹣
1
C
．
0
D
．
1
2
．
根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》
，明确到
202
0
年，长沙电网建设改造投资规模达到
元，确保安全供用电需求数据
用科学记数法表示为
A
．
15
10
B
．
1.5
10
C
．
1.5
10
D
．
0.15
10
3
．下列计算正确的是
A
．
3
a
2
b
<
/p>
5
ab
B
．
(
a
)
a
C
．
a
a
a
D
．
(
a
b
)
a
b
4
．下列事件中，是必然事件的是
<
/p>
A
．购买一张彩票，中奖
B
．射击运动员射击一次，命中靶心
C
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D
．任意画一
个三角形，其内角和是
180°
5<
/p>
．如图，平行线
AB
，
< br>CD
被直线
AE
所截，∠
1
＝80°，则∠
2
的度数是
A
．
80
°
B
．
< br>90
°
C
．
100
°
D
．
110
°
6
．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是
6
3
2
2
2
2
3
2
6
< br>9
9
10
11
< br>
7
．在庆祝新中国成立
70<
/p>
周年的校园歌唱比赛中，
11
名参赛同学
的成绩各不相同，按照成绩取前
5
名进入
决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这
11<
/p>
名同学成绩的
A
．平均数
B
．中位数
C
．众数
D
．方差
第
5
题第<
/p>
9
题第
10
题<
/p>
8
．一个扇形的半径为
6
，圆心角为
120
°，则该
扇形的面积是
A
．
2
π
B
．
4
π
C
．
12
π
D
．
24
π
9
．如图，
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝90°，∠
B
＝30°，分别以点
A
和点
B
为圆心，大于
1
1
AB
的长为半径作弧，两
< br>2
弧相交于
M
、
N
两点，作直线
MN
，交
BC
于点
D
，连接
AD
，则∠
CAD
的度数是
A
．
20
°
B
．
30
°
C
．
45
°
D
．
< br>60
°
10
< br>．如图，一艘轮船从位于灯塔
C
的北偏东
60°方向，距离灯塔
60
n
mile
的小岛
< br>A
出发，沿正南方向航
行一段时间后，到达位于灯塔
C
的南偏东
45°方向上的
B
处，这时轮船
B
与小岛
A
的距离是
A
．
30
3
n
mileB
．
60
< br>n
mileC
．
120
n
mileD
．
(
30
30
3)
n
mile
11
．
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木
，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何
?
”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩
余
4.5
尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余
1
尺，问木头长多少尺？可设木头长为
x
尺，绳子长为
y
尺，则所列方程组正确的是
A
．
y
x
4.5
y
x
4.5
y
x
4.5
y
x
4.5
B
．
C
．
D
．
y<
/p>
2
x
1
0.5
y
x
1
y
2
x
1
0.5
y
x
1
5
BD
5
12
．如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
tanA
＝
2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的一个动点，则
CD
< br>＋
的最小值是
A
．
2
5
B
．
4
5
C
．
5
3
D
．
10
二、填空题（本题共
6<
/p>
小题，每小题
3
分，共
< br>18
分）
13
．式子
x
5
在实数范围内有意义，则实数
x
的取值范围是．
14
．分解因式：
am
9
a
＝
．
15
．不等式组
< br>
2
x
1
0
的
解集是．
3
x
6
0
16
．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无
其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜
色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回
袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模
拟的摸球试验统计表：
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率
是（结果保留小数点后一位）
．
17
．如图，要测量池塘两岸相对的
A
，<
/p>
B
两点间的距离，可以在池塘外选一点
C
，连接
AC
，
BC
，分别取
AC
，
< br>BC
的中点
D
，
E
，测得
DE
＝
50m
，则
AB
的长是
m
．
18
．如图，函数
y
k
(
k
为常数，
k
＞
0)
的图象与过原点的
O
的直线相交于
A
，
B
两点，点
M
是第
一象限内
x
双曲线上的动点（点
M
在点
A
的左侧）
，
直线
AM
分别交
x
轴，
y
轴于
C
，
D
两点，连接
BM
分别交
x
轴，
y
轴于点
E
，
F
．
现有以下四个结论：
①△
ODM
与△
OCA
的面积相等；
②若
BM
⊥
AM<
/p>
于点
M
，
则∠<
/p>
MBA
＝30°；
2
③若
M
点的
横坐标为
1
，△
OAM
为等边三角形，则
k
＝
2
3
；④若
MF<
/p>
＝
的结论的序号是．
< br>2
MB
，则
MD
＝
2MA
．其中正确
5
第
12
题第
9
题第
10
题
三、解答题（本大题共
8
< br>小题，共
66
分）
19
．
（
6
分）计算：
2
(
)
6
3
2cos60
．
1
2
1
a
3
1
a
2
4
a
4
)<
/p>
20
．
（
6
分）先化简，再求值：
(
，其中
a
＝
3
．
a
1
a
1
a
2
a
21
．
（<
/p>
8
分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传
活动，为了解学生对垃圾分类知识
的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部
分学生进行问卷调查
,
将他们的得分按优秀、良
好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（
1
）本次调查随机抽取了名学生；表中
m
＝，
n
＝；
（
2
）补全条形统计图；
（
3
）若全校有
2000
名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好
”
等级的学生共有多少人．
22
．
（
8
分）如图，正方形
ABCD
，点
E
，
F
分别在
AD
，
CD
上，且
DE
＝
CF
，
AF
与
BE
相交于点
G
．
（
1
）求证：
BE
＝
AF
；
（
2
）若
AB
＝
4
，
DE
＝
1
，求
AG
的长．
3
23
．
（
9
分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，
某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公
益课受益学
生
2
万人次，第三批公益课
受益学生
2.42
万人次．
（
1
）如果第二批，第三批公益课受益学生人次
的增长率相同，求这个增长率；
（
2
）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24
．
（
9
分）根据相似多边形的定义，
我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边
形．相似四边形对应
边的比叫做相似比．
（
1
）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填< /p>
写“真”或“假”）
．
①条边成比例的两个凸四边形相似；
（命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；
（命题）
③两个大小不同的正方形相似．
（命题）
（
2
）
如图
1
，
在四边形
ABCD
和四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
∠
ABC
＝∠
A
1
B
1
C
1
，
∠
BCD
＝∠
B
1
C
1
< br>D
1
，
求证：四边形
ABCD
与四边形
A
1<
/p>
B
1
C
1
D
1
相似．
AB
BC
CD
，
A
1
B
1
B
1
C
1
C
1
< br>D
1
（
3
）
如图
2
，
四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
AC
与
BD
相交于点
O
，
过点
O
作
EF
∥
AB
分别交
AD
，
BC
于点
E
，
F
．
记
四边形
ABFE<
/p>
的面积为
S
1
，
四边形
EFDE
的面积为
S
2
，
若四边形
ABFE
与四边形
EFCD
相似，
求
值．
25
．
（
10
分）已知抛物线
y
2
x
(
b
2)
x
< br>
(
c
2020)
(
b
，
< br>c
为常数
)
．
< br>
（
1
）若抛物线的顶点坐标为
(1
，
1)
，
求
b
，
c
的值
；
（
2
）若
抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求
c
的取值范围
；
4
2
S
2
的
S
1
（
3
）在（
1
）的条件下，存在正实数
m
，
n
(
m
＜
n
)
，当
< br>m
≤
x
≤
n
时，恰好有
求
m
< br>，
n
的值．
m
n
1
≤
≤
，
2
m
1
y
2
< br>2
n
1
26
．
（
10
分）如图，抛物线
y
ax
6
ax
(
a
为常数，
a
＞
0)
与
x
轴交于
O
，
A
两点，点
B
为抛物线的顶点，
点
D
的坐标为
(
t
< br>，
0)(
﹣
3
< br>＜
t
＜
0)
，连接
BD
并延长与过
O
，
A
，
B
三点的⊙
P
相交于点
C
．
（
1
）求点
A
的坐标；
<
/p>
（
2
）过点
C<
/p>
作⊙
P
的切线
C
E
交
x
轴于点
E
．①如图
1
，求证：
CE
＝
DE
；②如图
2
，连接
AC
，
BE
，
BO
，
当
a
＝
2
3
1
1
，∠
CAE
＝∠
OBE
时，求
的值．
3
OD
OE
参考答案
5