2019湖南娄底中考数学解析
-
2019
年湖南省娄底市初中毕业、升学考试
数学
（满分
150
分，
考试
时间
< br>120
分钟）
一、选择题：本
大题共
10
小题，每小题
3
分，共
30
分
．
不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
< br>1
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
2019
的相反数是（
）
A.
－
2019
B
．
2019
C
．
1
1
D
．
2019
2019
【答案】
A
【解析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”或相反数的性
质“互为相反数的两个数之和为
0
”来解答即可．
【知识点】
相反数、倒数
2
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
下列计算正确的是（
）
A.
<
/p>
2
8
B
．
a
2
【答案
】
B
【解析】
A
、根据乘方的定义
2
2
< br>2
2
8
，该选项不正确；
B
、根据幂的乘方
底数不变指数相乘得
a
2
3
3
3
a
6
C
．
a
2
a
3
a
6
D
．
4
x
2
2
x
2
x
3
< br>a
2
3
a
6
，该选项正确；
C
、根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加得
a
2
a
3
a
2
3
a
5
，该选项不正确；
D
、根
据整式加减的法则，只有同类项才能合并，故
4
x
2
2
x
< br>
2
x
不正确．
【知识点】
乘方、幂的运算性质、整式的加减
3
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（
）
A
平行四边形
B
．
C
．
D
．
正方形
菱形
矩形
【答案】
C
【解析】
如图：菱形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
BC
、
CD
、
AD
的中点，<
/p>
∴
EH
∥
FG
∥
BD
，
EH
＝
FG
＝
2
BD
；<
/p>
EF
∥
HG
∥<
/p>
AC
，
EF
＝<
/p>
HG
＝
2
AC
，
故四
边形
EFGH
是平行四边形，
又
∵
AC
⊥
BD
，
∴
EH
⊥
EF
，
∠
HEF
＝
90°
∴
四边形
EFGH
是矩形．
1
1
故选
C
．
【知识点】
菱形的性质、矩形的判定、三角形中位线的性质
4
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
一组数据－
2
、
1
、
1
、
0
、
2
、
1
，这组数据的众数和中位数分别是（<
/p>
）
A.
－
2
，
0
B
．
1
，
0
C
．
1
，
1
D
．
2
，
1
【答案】
C
【解析】
将这组数据按从小到大排列为－
2
，
0
，
1
，
1
，
1
，<
/p>
2
，第三、四个数的平均数是中位数；出现次数最多的
数是众数；故
C
正确．
【知识点】
数据统计中的众数、中位数
5
．
（
201
9
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
201
8
年
8
月
31
日，华为正式发布了全新一代自研手机
SoC
< br>麒麟
980,
这款号称六项全球第一的芯片
,
随
着华为
Mate
20
系列、
荣耀
M
agic
2
相继搭载上
市，
它的强劲性能、
出色能效比、
卓越智慧、
顶尖通信能力，
以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用
体验，再次被市场和消费者所认可．麒麟
980
是全
球首颗
7nm
（
1nm<
/p>
＝
10
9
m
）手机芯片．
7nm
用科学记数法表示为（
）
A.
7
10<
/p>
8
m
B
．
7
10<
/p>
9
m
C
．
0.7
1
0
8
m
D
．
7
10
10
m
【答案】
B
【解析】
绝对值小于
1
的正数用科学记
数法表示为
a
10
< br>
n
，其中
n
< br>是等于原数左边起第一个不为零的数字前面
的所有
0
的个数．其实本题可由条件中
1
nm
10
9
m
得
7
nm
7
1
nm
7
< br>10
9
m
．
【知识点】
科学记数法——表
示较小的数
6
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
下列命题是假命题的是（
）
A
．到线
段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B
．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C
．
n
边形（
n
≥
3
）的内角和是
< br>180
n
< br>360
D
．旋转不改变图形的形状和大小
【答案】
B
【解析】
A
．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．
B
．等边三角形既是轴对称图形，但不
是中心对称图形；故该选项为假命题．
C
．由
n
边形（
n
< br>≥
3
）的内角和是
n
2
180
知该选项是真命题．
D
．由旋转的性质得该选项是真命题．
【知识点】
线段垂直平分线的判定、
n
边形的内角和、轴对称图形、中心对称图形、旋转的性质
7
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
如图（
1
）
，⊙
O
的半径为
2
，双曲线的解析式分别为
y
1
1
和
y
，则阴影部分的面积为
(
)
x
x
A
．
4
B
．
3
C
．
2
D
．
【答案】
C
【解析】
根据反比例函数
y
1
1
，
y
及圆的中心对称性和轴对称性知，
将二、
四象限的阴影部分旋转到一、
x
x
三象限对应部分，
显然所有阴影部分的面积之和等
于一、
三象限内两个扇形的面积之和，
也就相当于一个半径为<
/p>
2
的半圆的面积．
∴
S
阴影
1
2
2
2
．
2
故选
C
．
【知识点】
反比
例函数图象和圆的中心对称性及轴对称性、扇形的面积
8
．
（
2019<
/p>
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
如图（
< br>2
）
，边长为
2
3
的等边△
ABC
的内切圆的
半径为（
）
A.
1
B
．
3
C
．
2
D
．
2
3
【答案】
A
【解析】
由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形
OCD
中，从而解得．
如图（
2
－
1
）
，设
D<
/p>
为⊙
O
与
AC<
/p>
的切点，连接
OA
和
OD
，
∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，
<
/p>
∴
OD
⊥
AC<
/p>
，
∠
OAD
＝<
/p>
30°
，
OD
即
为圆的半径．
又∵
AC
2
3
，
< br>
∴
AD
1
1
AC
2
3
3
2
2
∴在直
角三角形
OAD
中，
tan
OAD
tan
30
代入解得：
OD
＝
1
．<
/p>
故答案为
1
．
OD<
/p>
OD
3
AD
3
3
【知识点】
等边三角形的性质、三角形的内
切圆与内心、特殊角的三角函数值．
9
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
将
y
（
）
1
的图象
向右平移
1
个单位长度，再向上平移
1
个单位长度所得图象如图（
3
）
．则所得图象的解析式为
x
A.
y
<
/p>
1
1
1
1
1
B
．
y
1
C
．
y
1
D
．
y
1
x
1
x
1
x
< br>1
x
1
【答案】
C
．
【解析】
二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合
．
1
1
的图
象向右平移
1
个单位长度后所得函数关系式为
< br>y
，
x
x
1
1
1
1
．
∴将
y
的图象向右平移
1
个单位长度，再向上平移<
/p>
1
个单位长度所得图象的解析式为
y
x
x
1
∵将
y
故选
C
．
【知识点】
函数图象的平移与几何变换“上加下减、左加右减”的原理．
10
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
< br>，
3
分）
x
b
0
y
x<
/p>
b
y
kx
2
如图（
4
）
，直线
和
与
x
轴分别交于
点
A
（－
2
，
0
）
，点
B<
/p>
（
3
，
0
）
，则
的解集为<
/p>
kx
2
0
（
）
A.
x<
－
2
B
．
x>3
C
．
x<<
/p>
－
2
或
x>3
D
．
－
<
br>x <
br>2
2
【答案】
D
．
【解析】
观
察两个函数图象在
x
轴上方部分对应点的横坐标的公共部分，在
x
＝﹣
2
的右边，对应于每一个
x
的
值，函数值
y
x
b
都落在
x
轴的上方，即不等式
b
0
的解集为
x>
﹣
；在
x
轴
上
3
的左边，对应于每一
个
x
的值，
函数值<
/p>
y
kx
2
都落在
x
轴的上
方，
即不等式
kx+2
＞
0
的解集为
x
＜
3
；
再根据“大小小大取中间”
< br>
x
b
0
即可得出不等式组
的解集．
kx
2
0
观察函数图象得到
不等式
x
b
0
的解集为
x
＞﹣
2
，
不等式
kx+2
＞
0
的解集为
x
＜
3
；
< br>
所以不等式组
x
b
0
的解集为－
2
＜
x
＜
3
．
kx
2
< br>
0
故选
A
．
【知识点】
一次函数的图象与一元一次不等式解集的关系．
<
/p>
11
．
（
201
9
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
二次函数
y
ax
2
b
x
c
的图象如图（
< br>5
）所示，下列结论中正确的有（
）
①
abc<0
②
b
2
4
ac
0
2
个
③
2
a
b
④
a
c
b
2
C
．
3
个
D
．
4
个
2
A
．
1
个
B
．
【答案】
A
【解析】
解：①由抛物线的开口方向向下知
a<0
，对称轴在
y
轴的左侧得
a
、
b
同号，抛物线与
< br>y
轴交于正半轴
得
c>0,
所以
abc>0
；故结论①错误；
②由抛物线与
x
轴有两个交点得
b
2
4
ac
0
，故结论②错误；
③由图象知对称轴
x
<
/p>
b
b
1
得
1
；由
a<0
，结合不等式的性质三可得
b>2a,
即
2a<
b
；故结论③错误；
2
a
2
a
2
2
< br>④由图象知：当
x
＝
1
时，
y<0
即
a+b+
c<0
；当
x
＝－
1
时，
y>0
即
< br>a
－
b+c>0
；
∴
a
< br>
b
c
a
b
c
0<
/p>
，即
a
c
b
2
0
；∴
a
c
b
2
．故结论④正确．
故答案
A
正
确．
【知识点】
二次函数图象的性质
、不等式的性质、判别式的性质．
12
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
如图（
6
）
，在单位长度为
1
米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为
2
米，圆心角为
120
°的
多次复制
并
首尾连接而成．现有一点
P
从
A(A
为坐标原点
)
出发，以每秒
米的速度沿曲线向右运动，则在第
2019
秒时
点
P
的纵坐标为（
）
2
3
A.
－
2
B
．
－
1
C
．
0
D
．
1
【答案】
B
【解析】
根据图象可得移动
4
次图象完成一个循环，从而可得出
点
P2019
的坐标．
120
2
4
< br>
，
180
3
2
∵点
P
< br>从原点
A
出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，
3
解：半径为
2
米，圆心角为
120
°的弧长为：
∴点
P
走
1
秒走
2
个弧，
当点
P
从原点
O
出发，沿这条曲线向右运动
，运动时间为
1
秒时，点
P
的坐标为（
3
，
1
）
，
当点
P
从原点
O
出发，沿这
条曲线向右运动，运动时间为
2
秒时，点
P
的坐标为（
2
3
< br>，
0
）
，
当点
P
从原点
O
出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为
3
秒时，点
P
的坐标为（
3<
/p>
3
，﹣
1
）
，
当点
P
从原点
O
出发，沿这条曲线向右运动，运动时
间为
4
秒时，点
P
的坐标为（
4
3
，
0
）
，
当点
P
从原点
O
< br>出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为
5
秒时，点
P
的坐标为（
5
3
，
1
）
，
当点
P
从原点<
/p>
O
出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为
6
秒时，点
P
的坐标为（
6
3
，
0
）
，
…，根据图象可得移动
4
次图象完成一个循环，从而可得出点
P2019
的坐标．
1
∵201
9
÷4＝
504<
/p>
…3
∴
A20
19
的坐标是（
2019
3
，－
1
）
，
∴在第
2019
秒时点<
/p>
P
的纵坐标为－
1
．
故答案为
B
．
【知识点】
点的坐标、探索图形规律、周期性．
二、填空题：本大题共
6
小题，每小题
3
分，共
18
分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
< br>
13
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
函数
y<
/p>
x
3
的自变量
x
的取值范围
____________
．
【答
案】
x
≥
3
【解析】
根据二次根式有意义的条件是“被开方数为非负数”得
x
3
0
，即
x
≥
3
．
【知识点】
二次根式的定义
14
．
（<
/p>
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
如图（
7
）
，随机闭合开关
S
1
< br>，
S
2
，
S
3
中的两个，能让灯泡发光的概率是
____________
．
【答案】
2
．
3
【解析】
当开关
S
1
与
S
2
闭合或
S
1
与
S
3
闭合时，
灯泡才会发光．
同时闭合两个开关可能出现表格中的几种情况：
P
灯泡发光
4
2
．
<
/p>
6
3
【知识点】
列举法求概率
15
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）<
/p>
如图（
8
）
，
AB
∥
CD
，
AC
∥
BD
，∠
1
＝
28
°，则∠
2
的度数为
____________
_
．
【答案】
28
°．
【解析】
解：∵
AC
< br>∥
BD
，∠
1
< br>＝
28
°，
< br>∴∠
A
＝∠
1
< br>＝
28
°．
< br>又∵
AB
∥
CD
，
∴∠
2
< br>＝∠
A
＝
28
< br>°．
【知识点】
平行线的性质．
16
．
（<
/p>
2019
湖南省娄底市，
1
，
3
分）
如图（
9
）
，
C
、
D
两点在以
AB
为直径的圆上，
AB
＝
2
，∠
ACD
＝
30
°，则
AD
＝
_____________
．
【答案】
1
．
【思路分析】
连结
AD
，由
AB
为圆的直径得∠
AD
B
＝
90
°，在⊙
O
中有∠
B
＝∠
< br>ACD
＝
30
°，
故得
AD
1
1
AB
2
1
．
2
2
【解题过程】
如图，图
9
－
1
，连结
AD
，
∵由
AB
为⊙
O
的直径，
∴∠<
/p>
ADB
＝
90
°
，
又∵在⊙
O
中有∠
ACD
＝
30
°
,
∴∠
B
＝∠
ACD
＝
30
°，
∴
AD
1
1
AB
2
< br>1
．
2
2
【知识点】
圆周角的性质“直径所对的圆周角是直角，同弧
所对的圆周角相等”
、
30
°的锐角所
对的直角边等于
斜边的一半．
17
．
（
2019
湖南省娄底市，
1
，
< br>3
分）
已知方程
x
2
bx
3
0
的一根为
5
< br>【答案】
5
2
．
【思路分析】
一元二次方
程根与系数的关系
x
1
x
2
2
，则方程的另一根为
___________
．
c
得
x
1
a
5
< br>
2
3
，进而求得
x
1
．
< br>
c
a
【解题过程】
解：设原方程的另一个根为
< br>x
1
，则由一元二次方程根与系数的关系
x
1
x
2
得
x
1
5
2<
/p>
3
3
3
x
∴
1
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
．
i
1:1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的定
义及解法．
18
< br>．
（
2019
湖南省娄底市，<
/p>
1
，
3
分）
已知点
P
x
0
,
y
0
到直线
y
kx
b
的距离可表示为
d<
/p>
kx
0
b
y
0
1
k
2
，例如：点（
0
，
1
）到直线
y
＝
2x+
6
的
距离
d
2
0
6
1
1
2
2
5
．据此进一步可得两平行直线
y
< br>
x
与
y
x
4
之
间的距离为
___________
．
【答案】
2
2
．
【思路分析】
在直线
y
x
上任取点，不妨取（
0
，
0
）
，利用公式计算（
0
，
0
）到直线
y
< br>x
4
的距离就是两平
行直线
y
x
与
y
x
4
之间的距离．
【解题过程】解：
在直线
y
< br>
x
上任取点，不妨取（
0
，
0
）
，根据两条
平行线之间距离的定义可知，
（
0
，<
/p>
0
）到直
线
y<
/p>
x
4
的距离就是两平行直线
y
< br>x
与
y
x
4
之间的距离．
d
【知识点】两
条平行线之
间的距离、二次根式的化简．
三、
解答题（本大题共
2
小题，每小题
6<
/p>
分，共
12
分）
19
．
（
20
19
湖南省娄底市，
19
，
6
分）
计算：
【思路分析】
根据
a
< br>
1
0
0
4
0
1
1
2
4
2
2
．
2
1
2019
1
3
2sin
60
2
0
1
a
0
<
/p>
，
a
p
1
a
p
a
0
，
sin
60
3
代入化简计算即可．
2