推理与证明练习题
-
第一章
推理与证明练习题
1
．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺
呼吸的．”此推理方法是：
；
2
．在数
列
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4
，…中，第
25
项为：
；
n
＋
2
1
1
1
1
3
．证明
<1
＋
＋
＋
＋…＋
<
n
＋
1(
n
>1)
，当
n
＝
2
时，中间式等于：
；
2
2
3
4
2
n
4
．否定结论“至多有两个解”的说法是：
< br>
；
1
5
．三角形的面积为
S
＝
(
a
＋
b
＋
c
)
r
，
a
，
b
，
c
为三角形的边长，
r
为三角形内切圆的
2
半径，利用类比
推理可以得出四面体的体积为：
；
6
．
某人在上楼梯时，
一步上一个台阶或两个台阶，
设他从平地上到第一级台阶时有
f
(1)
< br>种走法，从平地上到第二级台阶时有
f
(2)
种走法……则他从平地上到第
n
级
(
n
≥3)台阶时
的走法
f
(
n
)
等于：
；
3
7
．
已知
f
(
x
)
＝
x
＋
x
，
a
，
b
，
c
∈
R
，
且
a
＋
b
>0
，
a
＋
c
>0<
/p>
，
b
＋
c
>0
，
则
f
(
a
)
＋
f
(
b
)
< br>＋
f
(
c
)
的值一定：
；
1
1
8
．数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
，
a
n
＋
1
＝
1
－
，则
a
< br>2 013
等于：
；
2
a
n
3
1
5
3
7
9
．一个数列
{
a
n
}
的前
n
项为
，
，
，
，
，….则猜想它
的一个通项公式为
a
n
＝
5
2
11
7
17
________.
10
．观察下列的图形中小正方形的个数，则第
6
个图中有
________
个小正方形，第
n
个图中有
________
个小正方形．
图
1
11
．用反证法证明命题“若
x
－
(
a
＋
b
)
x
＋
ab
≠0，则
x
≠
a
且
x
≠
b
”时，应假设为
________
．
a
11
＋
a<
/p>
12
＋…＋
a
2
0
a
1
＋
a<
/p>
2
＋…＋
a
30
12
．已知等差数列
{
a
n
}
中，有
＝
，则在等比数列
{
b
n
}
中，
10
30
会有类似的结论：
__________
______.
13
．已知
a
＋
b
＋
c
＝
0
，比较
ab
＋
bc
＋
ca
的大值与
0
的大小；
3
3
2,
3<
/p>
3
3
2,
3
3
3
3
2
14
．观察下列等式：
1
＋
2
＝
3
1
＋
2
＋
3
＝
6
1
＋
2
＋
3
＋
4
＝
10
，….根据上述规
律，
第五个等式为
____________________
____
．
2
a
n
15
．
(
本小题满分
12
分
< br>)
若
a
1
>0
，
a
1
≠1，
a
n
＋
1
＝
(
n
＝<
/p>
1,2
，…)．
1
＋
a
n
(
1)
求证：
a
n
＋
1
≠
a
n
；
1
(2)
令
a
1
＝
，写出
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
的值，观察并归纳出这个数列的通项公式
a
n
.
2
n
n
16
．(2014·银川模拟
)
用数学归纳法证明“当
n
为正奇数时，
x
＋
y
能被
< br>x
＋
y
整除”
< br>的第二步是
(
)
A
．假设
n
＝
2
k
＋
1
时正确，再推
n
＝
2
k
＋
3
时正确
(
k
∈
N
＋
)
B
．假设
n
＝
2
k
－
1
时正确，再推
n
＝
2
k
＋
1
时正确
(
k
∈
N
＋
)
C
．假设
n
＝
k
时正确，再推
n
＝
k
＋
1
时正确
(
k
∈
N
＋
)
D
．假设
n
≤
k
(
k
≥1)时正确，再推
n
＝
k
＋
2
时正确
(
k
∈
N
＋
)
2
1
1
1
3
5
*
17
．
f
(
n
)
＝
1
＋
＋
＋…＋
(
n
∈
N
)
，经计算得
f
(2)
＝
，
f
(4)
＞
2
，
f
(8)
＞
，
f
(16)
＞
2
3
n
2
2
< br>7
3
，
f
(32)
＞
.
推测：当
n
≥2
时，有
______
______
．
2
< br>，
x
≥0，
若
< br>f
1
(
x
)
＝
f
(
x
)
，
f
n
＋
1
(
x
)
＝
f
(
f
n
(
x
< br>))
，
1
＋
x
n
∈
N
＋
，
则
f
2014
(
x
)
的表达式为
________
．
19
．
(
本小题满分
12
分
)
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图
2
为她们刺绣中最简单
的四个图案，这些图案都是由小正方形
构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规
律刺绣
(
小正方形的摆放规律相同
)
，设第
n
个图形包含
f
(
n
)
个小正方形．
18
．
(2014·陕西文，
14)
已知
f
(
x
)
＝
x
图
2
(1)
求出
f
(5)
的值；
(2)
利用
合情推理的“归纳推理思想”归纳出
f
(
n
＋
1)
与
f
(
n
)
之间
的关系式，
并根据你
得到的关系式求出
f
(
n
)
的表
达式；
1
1
1
1
(3)
求
＋
＋
＋…＋
的值．
f
f
－
1
f
－
1
f<
/p>
n
－
1
20
．
(<
/p>
本小题满分
14
分
)
函数列
{
f
n
(
x
)}
满足
f
1
(
x
)
＝
x
1
＋
x
2
(
x
>0)
，
f
n
＋
1
(
x
)
＝
f
< br>1
[
f
n
(
x
)]
．
(1)
求
f
2
(
x
)
，
f
3
(
x
)
；
(2)
猜想
f
n
(
x
)
的表达式，并证明．
21<
/p>
．已知数列
{
a
n
}
，
a
1<
/p>
＝
5
且
S
n
－
1
＝
a
n
(
n
≥2，
n
∈
N
＋
)
．
(1)
求
a
2
，
a
3
，
a
4
，并由此猜想
a
< br>n
的表达式；
(2)
用数学归纳法证明
{
a
n
}
的通项公式．
22
．
(
山东高考
)
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
已知对任意的
n
∈
N
< br>＋
，点
(
n
，
S
n
)
均在函
x
数
y
＝
b
＋
r
(<
/p>
b
>0
且
b
≠1，
b
，
r
均为常数
)
的图像上．
(1)
求
r
的值；
(2)
当
b
＝
2
时，记
b
n
＝
2(log
2
a
n
＋
1)(
n
∈
N
＋
)
，证明：对任意的
n
∈
N
＋
，不等式<
/p>
b
1
＋
1
b
2
＋
1
b
n
＋
1
·
·…·
>
n
＋
1
成立．
b
1
b
2
b
n
x
[
解析
]
(1)
解：因为对任意
n
∈
N
＋
，点
(
n
，
S
n
)
均在函数
y
< br>＝
b
＋
r
(
b
>0
且
b
≠1，
b
，
r
n
均为常数
)
的图像上，所以
S
n
＝
b
＋
r
.
< br>当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
b
＋<
/p>
r
，
n
n
－
1
n
n
－
1
n
－
1
当
n
≥2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝<
/p>
b
＋
r
－
(
b
＋
r
)
＝
b
－
b
＝
(
b
－
1)
b
，
n
－
1
又
因为
{
a
n
}
为等比数列，所以
r
＝－
1
，公比为
b
，
a
n
＝
(
b
－
1)
b
< br>.
n
－
1
n
－
1
(2)
证明：当
b
＝
2
< br>时，
a
n
＝
(
b
－
1)
b
＝
2
，
b
n
＝
2(l
og
2
a
n
＋
1)
＝
2(log
2
2
n
－
1
＋
1)
＝
2
n
，
b
n
＋
1
2
n
＋
1
b
1
＋
1
b
< br>2
＋
1
b
n
＋
1
3
5
7
2
n
＋
1
则
＝
，所以
·
·…·
＝
·
·
·…·
.
b<
/p>
n
2
n
b
1
b
2
b
n
2
4
6
2
n
3
5
7
2
n
＋
1
下面用数学归纳法证明不等式：
·
·
…·
>
n
＋<
/p>
1.
2
4
6<
/p>
2
n
3
3
①当
n
＝
1
时，左边＝
，右边＝
2
，因为
>
2
，所以不等式成立．
2
2
②假设当
n
＝
k
(
k
∈
N
＋
)
时，不等式成立，
3<
/p>
5
7
2
k
＋
1
即
·
·
·…·
>
k
＋
1.
则当
n
＝
k
＋
1
时，
2
4
< br>6
2
k
3
5
7
2
k
＋
1
2
k
＋
3
左边＝
·
·
·…·
·
2
4
6
2
k
2
k
＋
2
2
k
＋
3
< br>>
k
＋
1
·
＝
2
k
＋
2
＝
＝
k
＋
k
＋
2
＋
1
k
＋
k
＋
< br>2
＋
k
＋
k
＋
1
>
k
＋
＋
1
，
k
＋
所以当
n
＝
k
＋
1
时，不等式也成立．
由①②可得，不等式对任何
n
∈
N<
/p>
＋
都成立，
b
1
＋
1
b
2
＋
1
b
n
＋
1
即
·
·…·
>
n
＋
1
恒成立．
＋
1
＋
b
2
b
n
【解】
(1)
f
(5)
＝
41.
(2)
因为<
/p>
f
(2)
－
f<
/p>
(1)
＝
4
＝4
×1，
f
(3)
－
f
(2)
＝
8
＝4×2，
f
(4)
－
f
(3)
＝
12
＝4×3，
f
(5)
－
f
(4)
＝
16
＝4
×4，
b
1
…
由以上规律，可得出
f
(
< br>n
＋
1)
－
f
(
n
)
＝
4
n
，
<
/p>
因为
f
(
n
＋
1)
－
f
(
n
)
＝
4
n
，所以
f
(
n
＋
1)
＝
f
(
n
< br>)
＋
4
n
，所以
f
(
n
)
＝
f
(
n
－
1)
＋
4(
n
－
1)
＝<
/p>
f
(
n
－
2)
＋
4(
n
－
1)
＋
4(
n
－
2)
＝
f
(
n
－
3)
＋
4(
n
－
1)
＋
4(
n
－
2)
＋
4(
n
－
3)
＝…
＝
f<
/p>
[
n
－
(
n
－
1)]
＋
4(
n
－
1)
＋
4(
n
－
2)
＋
4(
n
－
3)
＋…＋
4[
n
－
(
n
－
1)]
2
＝
2
n
－
2
n
＋
1.
1
1
1
1
1
(3)
当
n
≥2
时，
＝
＝
(
－
)
，
f
n
－
1
2
n
n
－
2<
/p>
n
－
1
n
1
1
1
1
所以
＋
＋
＋…＋
f
f
－
1
f
－
1
< br>f
n
－
1
1
1
1
1
1
1
1
1
＝
1
＋
(1
－
＋
－
＋
－
＋…＋
－
)
2
2
2
3
3
4
n
－
1
< br>n
1
1
3
1
＝
1
＋
(
1
－
)
＝
－<
/p>
.
2
n
2
2
n
18
．
(
本小题满分
14
分
)
函数列
{
f
n
(
x
)}<
/p>
满足
f
1
(
x
)
＝
(1)
求
f
2
(
x
)
，
f
3
(
x
)
< br>；
(2)
猜想
f
n
(
x
)
的表达式，并证明．
解：
(1)
f
1
(
x
)
＝
x
1
＋
x
2
(
x
>0)
，
f
n
＋
1
< br>(
x
)
＝
f
1
[
f
n
(
x
)]
．<
/p>
x
1
＋
x
2
2
(
x
>0)
，
x
f
2
(
x
)
＝
1
＋
x
2
x
2
1
＋
2
x<
/p>
1
＋
2
1
＋
x
x
2
1
＋
2
x
x
x
f
3
(
x
)
＝
＝
＝
.
2
2
2
x
2
1
＋
2
x
＋
x
1
＋
3
x
1
＋
2
< br>1
＋
2
x
x
(2)
猜想
f
n
(
x
)
＝
，下面用数学归纳法证明：
2
1
＋
nx
①当
n
＝
1
时，命题显
然成立．
＝
x
，
x
②假设当
n
＝<
/p>
k
时，
f
k
(
x
)
＝
x
1
＋
kx
2
，那么
f
k
＋
1
(
x
)
＝
1
＋
kx
1
＋
2
2
2
x
＝
x
＝
2
2
1
＋
kx
＋
x
1
＋
kx
x
1
＋
k
＋
x
2
.
这就是说，当<
/p>
n
＝
k
＋
1
时命题成立．
1
＋
nx
20
．
已知数列
{
a
n
}
，
a
1
＝
5
且
S
n
－
1
＝
a
n
(
n
≥2，
n
∈
N
＋
)
．
(1)
求
a
2
，
< br>a
3
，
a
4
，并由此猜想
a
n
的表达式；
(2)
用数学归
纳法证明
{
a
n
}
的通项公式．
[
分析
]
利
用不完全归纳法猜想归纳出
a
n
，然后
用数学归纳法证明．解题的关键是根
据已知条件和假设寻找
a<
/p>
k
与
a
k
＋
1
和
S
k
与
S
k
＋
1
之间的关系．
[
解析
]
(
1)
由已知，得
a
2
< br>＝
S
1
＝
a
1
＝
5
，
a
3
＝
S
2
＝
a
1
＋
a
2
＝
10
，
a
4
＝
S
3
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝<
/p>
5
＋
5
n
＝
＋
10
＝
20
，
a
n
＝
.
n
－
2
< br>
5×2
n
< br>由①②，可知
f
n
(
x
)
＝
x
2
对所有
n
∈
N
＋
均成立．
(2)
①当
n
＝
2
时，
a
2
＝5×2
＝
5
，表达式成立．
当
n
＝
1
时显然成立，下面用数
学归纳法证明
n
≥2
时结硫化亦成立．
k
－
2
②假设
n
＝
k
(
k
≥2，
k
∈
N
＋
)
时表达式成立，即
a
k
＝5×2
，
则当
n
＝
k
＋
1
时，由已知条件和假设有
a
k
＋
1
＝
S
k
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
k
k
－
2
＝
5
＋
5
＋
10
＋…＋5×2
k
－
1
－
2
＝
5
＋
1<
/p>
－
2
k
－
1
＝5×2
(
k
＋
1)
－
2
＝5×2
.
故当<
/p>
n
＝
k
＋
1
时，表达式也成立．
n
－
2
由①②可知，对一切
n
(
n
≥2，
n
∈
N
＋
)
都有
a
n
＝5×2
.
[
点评
]
本
题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊
到一般的数学思
想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题．解决方法是观察
与分析法，也就
是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成
数列的规律，同
时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律．
21
．
(
山东高考
)
等比数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知对任意的
n
∈
N
＋
，点
(
n
，
S
n
)
均在函
x
数
y
＝
< br>b
＋
r
(
b
>0
且
b
≠1，
b
，
r
均为常数
)
的图像上．
(1)
求
r
的值；
(2)
当
b
＝
2
时，记
b
n
＝
2(log
2
a
n
＋
1)(
n
∈
N
＋
)
，证明：对任意的
n
∈
N
＋
，不等式
b
1
＋
1
b
2
＋
1
b
n
＋
1
·
·…·
>
n
＋
1
成立．
2
－
2
b
1
b
2
b
n
< br>[
解析
]
(1)
解：因为对任意
n
∈
N
＋
，点
(
n
，
S
n
)
均在函数
y
＝
b
＋
r
(
b
>0
且
b
≠1，
b
，
r
n
均为常数
)
的图像上，所以
S
n
＝
b
＋
r
.
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
b
＋
r
，
n
n
－
1
n
n
－<
/p>
1
n
－
1
当
n
≥2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
b
＋
r
－
(
b
＋
r
)
＝<
/p>
b
－
b
＝
(
b
－
1)
b
，
n
－
1
又因为
{
a
n
}
为等比数列，所以<
/p>
r
＝－
1
，公比
为
b
，
a
n<
/p>
＝
(
b
－
1)
b
.
n
－
1
n
－
1
(2)
证明：当
b
＝
2
时，
a
n
＝
(
b
－
1)
b
＝
2
，
b
< br>n
＝
2(log
2
a
n
＋
1)
＝
2(log
2
2
n
－
1
＋
1)
＝
2
n
< br>，
b
n
＋
1
2
n
＋
1
b
1
＋
1
b
2
＋
1
b
n
＋
1
3
5
7
< br>2
n
＋
1
则
＝
，所以
·
·…·
＝
·
·
·…·
.
b
n
2
n
b
1
b
2
b
n
2<
/p>
4
6
2
n
3
5
7
2
n
＋
1
下面用数学归纳法
证明不等式：
·
·
…·
>
n
＋
1.
2
4
6
2
n
3
3
①当
n
＝
1
时，左边＝
< br>，右边＝
2
，因为
>
2
，所以不等式成立．
2
2
②假设当
n
＝
k
(
k
∈
N
＋
)
时，不
等式成立，
3
5
7
2
k
＋
1
即
·
·
·…
·
>
k
＋
1.
则当
n
＝
k<
/p>
＋
1
时，
2
4
6
2
k
3
5
7
2
k
＋
1
< br>2
k
＋
3
左边＝
·
·
·…·
< br>·
2
4
6
2
k
2
k
＋
2
2
k
＋
3
>
k
＋
1
·
＝
2
k
＋
2
< br>＝
＝
x
k
＋
k
＋
2
＋
1
k
＋
k
＋
2
＋
k
＋
k
＋
1
>
k
< br>＋
＋
1
，
k
＋
所以当
n
＝
k
＋
1
时，不等式也成立．
由①②可得，不
等式对任何
n
∈
N
＋
都成立，
b
< br>1
＋
1
b
2
＋
1
b
n
＋
1
即
·
·…·
>
n
＋
1
恒成立．
＋<
/p>
1
＋
b
1
b
2
b
n