初一上册数学学习知识要点
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初一上册数学知识要点
1
、有理数的概念：整数和分数统称
为有理数．
2
、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数
{
整数
{
正整数、
0
、负整数、
分
数
{
正分数、负分数
}}}
；
②按正数、
负数与
0
的关系分类：
有理数
{
正数
{
< br>正整数、
正分数
}
、
0
、
负数
{
负整数、负分数
}}
．
<
/p>
注意：如果一个数是小数，
它是否属于有理数，就看它是否能化成
分
数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，
< br>因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属
于有理数．<
/p>
数轴
（
1
）
数轴的概念：
规定了原点、
正方向、
单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
< br>（
2
）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表
示，但数轴
上的点不都表示有理数．
（一般取右方向为正方向，
数轴上的点对应
任意实数，包括无理数．
）
（
3
）用数轴比较大小：一般来
说，当数轴方向朝右时，右边的数总
比左边的数大．
相反数概念
（
1
）
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（
2
）
相反数的意
义：
掌握相反数是成对出现的，
不能单独存在，
从数轴上看，除
0
外，互为相反数的两个数，它们分别
在原点
两旁且到原点距离相等．
（<
/p>
3
）
多重符号的化简：
< br>与“+”个数无关，
有奇数个“
-
”号结
果为负，有偶数个“
-
”号，
结果为正．
（
4
）
规律方法总结：
求一个数的相反数的方法就是在这个数的
前边添加“
-
”，
如
a
的相反数是
-a
，
m+n
的相反数是
-
（
m+n
）
，
这时
m+n
是一个整体，在整体前面添负号
时，要用小括号．
绝对值
（
1
）
概
念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
-/
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于
0
的数
有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（
2
）
如果用字母
a
表示有理数，
则数
a
绝对值要由字母
a<
/p>
本身的取值来确定：
①当
a
是正有理数时，
a
的绝对
值是它本身
a
；
②当
a
是负有理数时，
a
的绝对值是它的相反数
-a
；
< br>
③当
a
是零时，
a
的绝对值是零．
即
|a|={a
（
a
＞
0
）
0
（<
/p>
a=0
）
-a
（
a
＜
0
）
非负数的性质
任意一个数的绝对值都是非负数，
当几个数或式的绝对值相加和为
0
时，则其中的每一项都必须等于
0
．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
有理数的大小比较
比较有理数的大小
可以利用数轴，
他们从左到有的顺序，
即从大到小
的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）
；
也可以利用数的性质比较异号两数及
0
的大小，
利用绝对值比较两个
负数的大小．
<
/p>
（
2
）有理数大小比较的法则：
①正数都大于
0
；
< br>②负数都小于
0
；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1
．法则比较：正数都大于
0
，负
数都小于
0
，正数大于一切负数．两
个
负数比较大小，绝对值大的反而小．
2
．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3
．作差比较：
若
a-b
＞
0
，则
a
＞
b
；
若
a-b
＜
0
，则
a
＜
b
；
若<
/p>
a-b=0
，则
a=b
-/
1
）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，
取绝对值较大的加数符号，
并用较大的绝
对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得
0
．
③一个数同
< br>0
相加，仍得这个数．
（在进
行有理数加法运算时，
首先判断两个加数的符号：
是同号还是<
/p>
异号，
是否有
0
．从而确定用那一条法则．在应用过程中，
要牢记
“
先
符号，后绝对值
”
．<
/p>
）
（
2
）相关运算律
交换律：
a+b=b+a
；
结合律（<
/p>
a+b
）
+c=a+
（
b+c
）
．
1
）有理数减法法则：减去一
个数，等于加上这个数的相反数．
即：
a-b=a+
（
-b
）
（
2
）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符
号（减
号变加号）
；
二是减数的性质符号（减数变相反数）
；
【注意】
：
在有理数减法运算时，
被减数与减数的位置不能随意交换；
因为
减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，
0
加任
何数都不变，
0
减任何
数应依法则进行
计算．
1
）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（
2
）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都
转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转
化成省略括号的代数和的形式，
就可以应用加法的运算律，
使计
算简化．
1
）倒数：乘积是
1
的两数互为倒数．
一般地，
a•1a=1
（
a≠0
）
，就说
a
（
a≠0
）的倒数是
1a
．
（
2
）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的
“
桥梁
”
和
“
渡船
< br>”
．正像减法转化
为加法及相反数一样，非常重要．倒数
是伴随着除法运算而产生的．
-/
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而
0
没有倒数，这与相
反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相
求一个数的相反数时，
只需在这个数前面加上<
/p>
反数
“
-
”
即可
求一个整
数的倒数，
就是写成这个整数分之一
求一个数的倒
数
求一个分数的倒数，
就是调换分子和分母的位
置
注意：
0
没有倒数．<
/p>
1
）有理数
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值
相乘．
（
2
）任何
数同零相乘，都得
0
．
（
3
）多个有理数相乘的法则：①几个不等于
0
的数相乘，积的符号
由负因数的个数
决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶
数个时，积为正．②几个数相乘，有
一个因数为
0
，积就为
0
．
（
4
< br>）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，
看
0
因数和积的符号当先，
这样做使运算既准确又
简单．
1
）
有理数除法法则：
除以一个不等于
0
的数，
等于乘这个数的倒数，
即：
a÷b=a•1b
（
b≠0
）
（
2
）方法指引：
（
1
）两数相除，同号得正，异
号得负，并把绝对值相除．
0
除以任
何
一个不等于
0
的数，都得
0
．
（
2
）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一
般采用
“
同号得正，异号得负，并把绝对值相除
”
．如果有了分数，则
采用
“
除以一个不等于
0
的数，等于乘这个数的倒数
”
，再约分．乘除
混合运算时一定注意两个原则
：①变除为乘，②从左到右．
-/
1
）有理数乘方的定义：求
n
个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在
a
n
中，
a
叫做底数，
n
叫做指数．
a
n
读作
a
的
n
次方．
（
将
a
n
看作是
a
的
n
次方的结果时，
也可以读作
a
的
n
次幂．
）
（
2
）
乘方的法则：
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数；
0
的任何正整数
次幂都是
0
．
（
3
）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，
首先要确定幂的
符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算
比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，
应先算乘方，再做乘除，最后做加减
．
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶
次方都是非负数，
当几个数或式的偶次方相加和为
0
时，则其中的每一项都必须等于
0
．
1
）
< br>有效数字：
从一个数的左边第一个不是
0
的数字起到末位数字止，
所有的数字都是这个数的有效数字．
< br>
（
2
）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精
确到哪一位，保留几个
有效数字等说法．
（
3
）规律方法总结：
“
精确
到第几位
”
和
“
有几个有效数字
”
是精确度的两种常用的表示形式，
它们实际意义是不一样的，
前者可以体现出误差值绝对数的大小，
而
后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
1
）科学记数法：把一
个大于
10
的数记成
a×
10
n
的形式，其中
a
是
整数数位只有一位的数，
n
是正整数，这种记数法叫做科学记数
法．
【科学记数
法形式：
a×
10
n
< br>，其中
1≤a
＜
10
，
n
为正整数．
】
（
2
）规律方法总
结：
①科学记数法中
a
的要求和
10
的指数
n
的表示规律为关键，
由于
10
的指数比原来的整数位数少
1
；
按此规律，
先数一下原数的整数位数，
即可求出
10
的指数
n
．
②记数法要求是大于
10
的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大
于
10
的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
-/
用科学记数法表示较小
的数，一般形式为
a×
10
-n
，其中
1≤|a|
＜
10
，
n
为由原数左边起第一个不为零
的数字前面的
0
的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数
x
的
规律
x
的取值范围
|x|≥10
表示方法
a×
10
n
1≤|a|
＜
10
|x|
＜
1
a×
10
-n
a
的取值
n
的取值
整数的位数
-1
第一位非零数字前所
有
0
的个数
（含
小数点前的
0
）
1
）科学记数法
a×
10
n
表示的数，
“
还原
”
成通常表示的数
，就是把
a
的小数点向右移动
n
位所得到的数．若科学记数法表示较小的数
a×
10
-n
，
还原为原来的数，
需要把
a
的小数点向左移动
< br>n
位得到原数．
（
2
）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个
互逆的过程，
这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的
方法．
1
）用科学记数法
a×
10
< br>n
（
1≤a
＜
< br>10
，
n
是正整数）表示的数的
有效数
字应该有首数
a
来确定，首数<
/p>
a
中的数字就是有效数字；
（
2
）用科学记数法
a×
10
n
（
1≤
a
＜
10
，
n
是正整数）表示的数的精确
度的表示方法是：
< br>先把数还原，
再看首数的最后一位数字所在的位数，
即为
精确到的位数．
例如：近似数
4.1
0×
10
5
的有效数字是
4
，
1
，
< br>0
；把数还原为
410000
后
，再看首数
4.10
的最后一位数字
0
所在的位数是千位，即精确到
千位．
1
）有理数混合运算顺序：先算乘方
，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先
做括号内的
运算．
（
2
）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过
程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1
．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是
-/
在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
<
/p>
2
．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相
同
的两个数，
和为整数的两个数，
乘积
为整数的两个数分别结合为一组
求解．
3
．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，
< br>然后进行计算
4
．巧用运算律
：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使
计算更简便
1
）计算器的面板是由键盘和显示器
组成．
（
2
）
开机键和关机键各是
AC/ON
，<
/p>
OFF
，
在使用计算器时要按
AC/ON
键，停止使用时要按
OFF
键．
（
3
）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上
的功能是第一
功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成
才能使用．
（
4
）开方运算按用到乘方运算键
x
2
的第二功能键
”
和
的第二
功能键
“
”
．
（
5
）对于开平方运算的按键顺序是：
2ndfx
2
被开方数
ENTE<
/p>
．
（
6
）对于开立方运算的按键顺序是：
32ndf
∧被开方数
ENTE
．
7
）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：
MRC
、
M-
、
M+
、
MU
．键入数字后，按
M+
将数字读入内存，此后无论进行多少
步
运算，只要按一次
MRC
即可读取先前存储的数字，按下
M-
则把
该数字从内存中删除，或者按二次<
/p>
MRC
．
注意
：
由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，
可以参考说明
书进行操作．
计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：
1
）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（
DEL
）键消去
一次数值，再重新输入正确的数
字
（
2
）直
接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计
算．
（
3
）按下（
-
）键可输入负数，即先输入（
-
）号
再输入数值．
（
4
）开方运算按用到乘方运算键
x
2
的第二功能键
”
和<
/p>
的第二
功能键
“
”
．
-/
（
5
）对于开平方运算的按键顺序是：
2ndfx
2
被开方数
ENTE
或直接
按键
，再输入数字后按
“=”
即可．
（
6
）对于开立方运算的按键顺序是：
32ndf<
/p>
∧被开方数
ENTE
或直
接按
x3
，再输入数字后按
“
=”
即可
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数
或表示数的字母连接
而成的式子．
单独的一个数或者一个字母也是代
数式．带有
“
＜（
≤
）
”“
＞（
≥
）
”“=”“≠”
等符号的不是代数式
例如：
ax+2b
，
-13
，
2b23
，
< br>a+2
等．
注意：①不包括等
于号（
=
）
、不等号（
≠
、
≤
、
≥
、＜、＞、≮、≯）
、
约等号<
/p>
≈
．
②可以有绝对值．例如：
|x|
，
|-2.25|
等
<
/p>
1
）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算
符
号的式子表示出来，就是列代数式．
（
2
）列代
数式五点注意：①仔细辨别词义．
列代数式时，要先认真
审题，
抓住关键词语，
仔细辩析词义．
如
“
除
”
与
“
除以
”
，
“
平方的差
（或
平方差）
”
与
“
差的平方
”
的词义区分．
< br>
②分清数量关系．要正确列代
数式，只有分清数量之
间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，
< br>一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，
且又要体现出
先低级运算，
要把代数式中代表低级运算的这部分括起
来．
④规范书写格式．
列代数时要按要求规范地书写．
< br>像数字与字母、
字母与字母相乘可省略乘号不写，
数与数
相乘必须写乘号；
除法可写
成分数形式，
带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名
称什么
时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用
.
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就
要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
< br>1
．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
< br>
2
．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有
字母与数字的
乘法中，通常将
“×”
简
写作
“•”
或者省略不写．
3
．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数
若是带分数要把它化成假分数．
4
．含有字母的除法，一般不用
“÷”
（除号）
，而是写成分数的形式
-/
探究题是近几年中考命题的亮点，
尤
其是与数列有关的命题更是层出
不穷，形式多样，
它要求在已有
知识的基础上去探究，观察思考发现
规律．
< br>（
1
）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是
解决这类问
题的方法．
（
2
）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中
一个为
x
，再利用它们之间的关系，设出其他未
知数，然后列方程
图形的变化类的规律题
首先应找出图
形哪些部分发生了变化，
是按照什么规律变化的，
通过
分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
探寻规律要认真观
察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
1
）代数式的：用数值代替代数式里
的字母，计算后所得的结果叫做
代数式的值．
（
2
）代数
式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出
的代数式可以化简，要先化简再
求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
整式
1
）概
念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，
但是多项式没有系数，
多项式的每一项是一个单项式，
含有字母的项都有系数．
（
2<
/p>
）规律方法总结：
①对整式概念的认识
，
凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，
在
整式范围内用
“+”
或
“
-
”
将单项式连起来的就是多项式，不含<
/p>
“+”
或
“
-<
/p>
”
的
整式绝对不是多项式，而单项式注重
一个
“
积
”
字
．
②对于
“
数
”
或
“
形<
/p>
”
的排列规律问题，
用先从开始的几个简
单特例入手，
对比、
分析其中保持不变的部分及发展变化的部分
，
以及变化的规律，
尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性
的结论．
单项式