小学奥数 5-3-2 质数与合数(二).教师版
忽必烈是谁-
5-3-2.
质数与合数（二）
知识框架
1.
2.
3.
4.
掌握质数与合数的定义
能够用特殊的偶质数
2
与质数
5
解题
能够利用质数个位数的特点解题
质数、合数综合运用
知识点拨
一、质数与合数
< br>一个数除了
1
和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质
数
(
也叫做素数
).
< br>一个数除了
1
和它本身，还有
别
的约数，这个数叫做合数
.
要特别记住：
0
和
1
不是质数，也不是合数
.
常用的
100
以内的质数：
2
、
3
< br>、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
，共计
25
< br>个；除了
2
其余的质数都是奇数；除了
< br>2
和
5
，其余的质数个
位数字只能是
1
，
3<
/p>
，
7
或
9.
考点：⑴
值得注意的是很多题都会以质数
2
的特殊性为考点
.
⑵
除了
2
和
5
，其余质数个位数字只能是
1
，
3
，
7
或
9.
这也是很多题解题思路，需要大家注意
.
二、判断一个数是否为质数的方法
根
据定义如果能够找到一个小于
p
的质数
q
(
均为整数
)
，使得
q
能够整除
p
，那么
p
就不是质数，所以
我
们只要拿所有小于
p
的质数去除
p
就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的
p
，我们可以先找一
个大于且接近
p
的平方数
K
2
，再列出所有不大于
K
的质数，用这些质数去除
p
，如没有能够除尽的那么
p
就为质数
.
例如：
149
很接近<
/p>
144
12
12
，根据整除的性质
149
不能被
2
、
3
、
5
、
7
、
11
整除，所以
149<
/p>
是
质数
.
。
例题精讲
模块一、偶质数
2
【例
1
】
如果<
/p>
a
,
b
,
c
都是质数，并且
a
b
c
，则
c
的最小值是
_________
【考点】偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，<
/p>
4
年级，初赛，
17
题
【解析】
< br>本
题考察的是最小的偶质数
2
，
所以
c
最小是
2.
【答案】
2
【例
2
】
两个质
数之和为
39
，求这两个质数的乘积是多少
.
【考点】偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】解答
5-3-2.
质数与合数（二）
.
题库
教师版
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【解析】
因
为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是
2
，
另一个是
37
，乘积为
74
.
我们要
善于抓住此类题的突破口。
【答案】
74
【
巩
固
】
将
1
999
表示为两年质数之和：
l
999=
口
+
口，在口中填入质数。共有多少种表示法
?
【考点】
偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】华杯赛初赛
第
1
题
【解析】
因
为两个奇数的和是偶数，所以将
1999
表示成两个质数的和，
这两个质数中必有一个是偶数，因
而也就是
2
< br>，另一个是
1999
－
2
＝
1997
即
1999
＝
2
十<
/p>
1997
，只有一种填法
(
我们将
2
＋
1997
与
1997
＋
2
作为同一种
)
．
【答案】一种
【例
3
】
A
，
B
，
C
为
3
个小于
20
的质数，
A
B
C
30
，求这三个质数
.
【考点】偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
因
为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是
2
，另两个奇质数之和
为
28
，又因为这三个数都要小于
20
，所以只能为
< br>11
和
17
，所以这三个质数分
别是
2
，
11
，
17
.
【答案】
< br>2
，
11
，
17
【
巩
固
】
把
100
分拆成三个质数（只能被
1
和它本身整除且大于
1
的自然数叫做质数）
的和，共有
_____
种
方法。
【考点】偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，四
年级，初赛，第
6
题
【解析】
1
00
是个偶数，拆成
3
个质数之和，而
质数中除
2
以外，其他的都是奇数，
3
个奇数之和为奇数，
所以其中必有
2<
/p>
，现在知两个质数之和为
98
，则可拆成
61+37
、
67+31
、
19+79
。所以共有
3
种方
法。
【答案】
3
种
【例
4
】
已知<
/p>
3
个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这
3
个质数的乘积是多少？
【考点】偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
最
小的合数是
4
，其平方为
16
．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这
3
个
质数中必然有
2
，那
么其余
2
个的和是
14
，只能一
个是
3
一个是
11
，因此这
3
个质数的乘积是
2
3
11
66
．
【答案】
66
【例
5
】
7
个连续质数从大到小排列是
a
、
b
、
c
、
d
、
e
、
f
、
g
已知它们的和是偶数，那么
d
是多少？
【考点】偶质数
2
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
因
为
7
个质数的和是偶数，所以这
7
个质数不可能都是奇数
.
我们知道是偶数的
质数只有
2
，因此这
7
个质数中必有一个是
2.
又因为
2
是最小的质数，
并且这
7
个连续质数是从大到小排列的，
所以
g
2
.
其他
6
个数从大到小依次是
17
、
13
、
11
、
7
、
5
、
3.
这样
d
7
.
【答案】
7
【例
6
】
如果<
/p>
a
，
b
均为质数
，且
3
a
7
b
41
，则
a
b
______.
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，复赛，第
8
题，
4
分
【解析】
根
据题意
a
,
b
中必然有一个偶质数
2
，
，
当
a
<
/p>
2
时，
当
b
2
时不符合题意，
所以
a
b
2
5
<
/p>
7
.
b
5
，
【答案】
7
如
果
a
，
b
均为质数，且
3
d
＋
7
b<
/p>
＝
41
，则
a<
/p>
＋
b
＝
____
____
。
【
巩
固
】
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六
年级，二试，第
9
题，
4
分
5-3-2.
质数与合
数（二）
.
题库
教师版
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【解析】
根
据奇偶性我们可以知道
a
、
b
中必然有一个是
2
，若
a
=2
，则
b
=7,
满足题意；若
b
=2,
则
a
=9
，与
题意不符。所以
a
为
2
、
b
为
7
，则
a
+
b
=9
。
【答案】
9
【例
7
】
已知<
/p>
P
,
Q
都是质数
，并且
P
11
Q
93
2003
，则
P
Q
=
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
本
题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。
通过观察发现题
目中有
2
个未知数，
但是都是质数，<
/p>
从结果上看
2003
是一个奇数，那么前
面
2
个乘积必须为
1
< br>个奇数
1
个偶数，那么
P
和
Q
中必须有
一个是
2
才可以。由大小关系可以发现只能
Q
是
2
，解出
P
=199,
P
×
Q
=398
。
【答案】
398
【例
8
】
a
、
b
、
c
都是质数，如果
a
b
b
c
342
，那么
b
。
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，复赛，第
5
题，
6
分
【解析】
由
于
342
是
2
的倍数，
不是
4
的倍数，
所以
a
<
/p>
b
与
b
c
为一奇一偶，
则
a
或者
c
为质数
2
，
令
a
<
/p>
2
，
而
342=
2×3×3×19，
则
a
b
9
或者
a
b
< br>3
19
57
或者
a
b
9
19
171
，对应的
b
为
7
或者
< br>55
或者
169
，只有
7
是质数，所以
b
=7
。
【答案】
7
【例
9
】
三个质
数△、
□
、
○
，如果
□
△
1
，△
□
○
，那么△是多少？
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
除
了
2
以外的质数都是奇数，这样的两
个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、
□
必有一个偶质数
2
，又因为
□
<
/p>
△
1
，所以△
2
【答案】
2
a
，
b
，
c
都是质数，并且
a
< br>b
33
，
b
c
44
，
c
d
66
，那
么
cd
____
。
【例
10
】
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，初赛，第
8
题，
5
分
【解析】
a
b
33
为奇数，所以
a=2
，<
/p>
b=31
，
c=13
，
d=53
，那么
cd=13×5
3=
689
【答案】
689
【例
11
】
已<
/p>
知
P
是质数，
P
2
1
也是质
数，求
P
5
1997
是多少？
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
P
是质数，
P
2
必定是合数，而且大于
1
．又由于
P
2
1
是质数
，
P
2
大于
1
，
P
2
1
一定是奇质数，
则
P
2
一定是偶数．所以
P
必定是偶质数，即
P
2
．
P
5
1997
2
5<
/p>
1997
3
2
1997
2029
【答案】
2029
【
巩
固
】
当
p
和
p
3
+5
都是质数
时，
p
5
+5=
。
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，初赛，第
6
题，
6
分
【解析】
p
和
p
3
+5
奇偶性不同，所以较小的
p
一定是
2
，所以
p
< br>3
+5=13
，
p
5
+5=
37
【答案】
37
【例
12
】
P<
/p>
是质数，
P
1
0
，
P
14
，
P
10<
/p>
2
都是质数．求
P
是多少？
【考点】偶质数
2
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
由
题意知
P
是一个奇数，因为
10
3
3
1
，
14
3
4
< br>2
，所以
P
是
< br>3
的倍数，所以
P
3
5-3-2.
质数与
合数（二）
.
题库
教师版
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