世界杯冠军与八强的预测数学模型(一等奖论文)
婴儿早教歌曲-
2010
年湖南师范大学大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读学校颁发的大学生数学建模竞赛的通知与规则
.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网
上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
< br>
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他公开的
资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参
考文献中明
确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公
正、公平性。如有违反竞赛规
则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从
A/B/
C
中选择一项填写）
：
A
题
我
们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
< br>：
团队名称
：
shujiyuan08
参赛队员
(
打印并签名
)
：
1.
徐
所属学院
数计院
联系电话
2.
李
所属学院
数计院
联系电话
3.
王
所属学院
数计院
联系电话
日期：
2010
年
5
月
31
日
1
2010
年南非世界杯冠军与八强的
预测模型
摘要
世界
杯是全世界的一次足球盛会，
每届世界杯前夕对冠军的预测成为人们所讨论的
热点问题。
本文就
2010
年南非世界杯的冠军及八强的预测建立了数学模型进行了探讨。
本文依据南非世界杯赛程，收集了：球队历年交锋记录、世界排名情况、国际足联
评
分标准等数据，运用了“层次分析法”对本届世界杯前期对手之间的交锋情况（相对
实力
）进行建模，运用了“六场分析法”对各球队最近比赛状态进行了分析，综合考虑
了双方
的交锋情况（相对实力）
、球队国际排名（绝对实力）
、球队近
期状态三个因素对
杯赛的影响，
并且依据
2006
年德国世界杯比赛的相关情况对这三个因素的影响大小
（权
数）进行了模拟，该过程运用了“最小二乘法”进行了求解。在建模过程中，我们
依据
国际足联的评分规则，对不同级别的赛事中不同结果比赛进行了加权处理，另外运用
了
MATLAB
、
Excel
表格、
C/C++
等多种计算工具对数据进行了
处理，预测了本届世界杯
冠军以及
8
强
球队，结果为：巴西队捧得本届“大力神”杯，八强中的其他
7
支球队分
别是法国，阿根廷，英格兰，德国，荷兰，意大利和西班牙
。
最后，我们对模型的优缺点进行了
评价，讨论了其推广应用的价值。
关键字
：
层次分析法，
世界排名，
六场分析法，
最小二乘法，
加权处理，
MATLAB
，
C/C++
。
2
1.
问题的重述
1930
年世界杯足球赛举办首届
,
每
4
年举行一次
,
迄今整整
80
年
< br>,
中间除二战影响
停办两届
,<
/p>
已经成功举行了
18
届
< br>,
每届世界杯赛前夕
,
对当届世
界杯赛的冠军预测
,
对进
入前
8
强队伍的预测
,
始终
是一个热门话题，下面请就今年的第
19
届南非世界杯赛
,
利
用各大网站或书籍上收集到的资料
,
各小组预选赛的成绩以及以往在大赛中对抗的成绩
< br>,
给出一些合理的假设与前提
,
并对今年参赛的队伍建立一个适当的数学模型
,
给出你对
这届世界杯的冠军和
8
强的预测结果
.
2.
模型假设
（
1
）
32
支队伍对比赛场地，当地气候，海拔等外界环境具有相同的适应
能力；
（
2
）恶劣天气等突发状况对比赛中各队发挥的影响相当；
（
3
）
32
支队伍在
比赛期间阵容齐整，球员身体健康，不存在球员受伤或离队情况；
（
4
）裁判判罚尺度分明，执法公平公正；
（
5
）每个球员都有良好的
职业操守，每场比赛均能全力以赴，不存在打假球的情况；
3
．符号说明
:
级别比赛权数
:
<
/p>
比赛结果为
的权数
N
X
:
X
队在
级别比赛取得
成绩的场次
D
X
:
X
队在相对实力向量计算中的得分
Q
X
:
X
队的“相对实力值”
R
X
:
X
队的最新世界排名
P
X
:
X
队最新世界排名对应的积分
P
0
:
P
X
的最大值
P
X
:
X
队的“排名积分值”
ST
X
:
X
队的对手强度
OR
:
对手最新世界排名
F
:
在“状态值”求解中的名义得分
F
:
在“状态值”求解中的实际得分
Z
:
“状态值”
1
:
与对手交锋情况对综合实力影响的权数
2
:
最新世界排名对综合实力影响的权数
3
:
球队近期状态对综合实力影响的权数
Y
X
:
X
队的综合实力
K
:
得分矩阵
G
:
情况矩阵
E
:
比较矩阵
3
4
．问题分析及模型建立
这是一个关于足球比赛结果预测的问题，总共有
32
支队伍，分为
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、
< br>H8
个小组，其分别为：
A
组：南非、墨西哥、乌拉圭、法国
B
组：阿根廷、尼日利亚、韩国、希腊
C
组：英
国、美国、阿尔及利亚、斯洛文尼亚
D
组：德国、澳大利亚、塞尔维亚、
加纳
E
组：荷兰、丹麦、日本、喀麦隆
F
组：意
大利、巴拉圭、新西兰、斯洛文尼亚
G
组：巴西、朝鲜、科特迪瓦、葡萄牙
H
组：西班牙、瑞士、洪都拉斯、智利
赛程：首先小组内部每队分别与其他三队各赛一场，最后按积分排名，选出头两名晋级<
/p>
16
强，然后按以下图示赛程进行决赛阶段的比赛：
表一：世界杯决赛阶段赛程表
A1
B2
？
？
？
？
？
？
B1
A2
C1
C2
D2
E1
？
VS
？
D1
？
？
？
？
？
E2
F2
F2
G1
G2
H1
？
H2
4.1
赛前对手之间交锋情况模型：
我们都知道，双方以前的交锋情况在很大程度上能反映它们之间的相对实力大小，
所以有必要对双方交锋情况建立模型，进行分析。
< br>4.1.1
比赛有级别之分，
而不同球队对不同级别的比
赛重视程度有别，
所以比赛的级别对
我们评价球队实力有影响。
根据国际足联计算各国世界排名的标准（附件
-1
）
，大型足球比赛被分为以下几个
级别，并被赋予不同的权值
世界杯正赛
1
=4.0
；
洲际杯和联合会杯比赛
2
=3.
0
4
冠军？
世界杯预选赛
3
=2.5
友谊赛，邀请赛
<
/p>
4
=1.0
4.1.2
．为了增加模型的精确性，我们还对比赛结果进行大胜（净胜球
>=3
）
，小胜，平
局，小
负，大负（净输球
>=3
）的区分：并对其分别赋予
1
:
2
:
3
:
4
:
5
=5:4:3:2:1
的
权值；
4.1.3
．
考虑到一个足球运动员的职业生涯为
15
年左右，
因而只收集了交锋二队从
1994
年
6
月至
2010
年
5
月期间胜败情况进行
分析（数据参见附件—
4
）
。
4.1.4
．用层次分析法建立双方的赛前交
锋占优模型
得分
Dx
世
界
杯
正
< br>赛
1
洲
际
赛
或
联
合
会杯
2
世
界
杯
预
选
赛
3
友
< br>谊
赛
4
大
胜
小
胜
平
局
小
负
大
负
1
2
3
4
5
对于交锋双方
a
，
b
两队来说，每队各自的得分分别为
Da
1
4
4
N
a
1
5
Db
< br>1
N
b
1
5<
/p>
在小组赛中，针对四只队伍
a
，
b
，
c
，
d
，列如下的比较矩阵：
Da
Da
Da
1
Db
Dc
Dd
Db
Db
D
b
1
<
/p>
Da
Dc
Dd
E=
<
/p>
Dc
Dc
Dc
1
Dd<
/p>
Db
Dd
<
/p>
Dd
Dd
Dd
1
Da
Db
Dc
<
/p>
5
再采用
类似权向量的计算方法，
最终得到相对实力向量
Qa
,
Qb
,
Qc
,
Qd
，
Q
值越大，
其相对实力越强。
而在杯赛的决赛阶段，
由于采用的是淘汰赛制，
所以对于比赛两队
e
，
f
来说，依据
D
e
1
D
f
，可求得实力向量
(
Q
,
Q
)
，
Q
值较大者相对实力较强。
它们的比较矩阵
a
b
D
f
<
/p>
1
D
e
4.2.
世界排名模型：
国际足联根据各队历年来的比赛结果，依据一定的标准，对各队每场比赛给以一个
< br>分数，再通过分数的累加，得到一个时间点的各球队世界排名。由此可见，世界排名在
很大程度上能反映各球队的绝对实力，这对我们分析综合实力有较大的影响。以下是世
界排名模型的建立：
4.2.1
我
们搜集到本届杯赛
32
只球队的最新世界排名
< br>R
1
R
2
…
R
X
…
R
32
及其对应积分
< br>P
1
P
2
…
P
X
…
P
32
（附件—
2
）
，且确定
max(
P
X
)=
P
0
；
4.2.2
定义“排名积分值”
P
X
:
P
X
=
P
X
/
P
0
(0<=
P
X
<=1
)
球队排名积分值越大，其绝对实力越强，反之，则绝对实力较弱。
< br>
4.3.
近期状态模型：
体育竞技比赛中，运动员状态的对比赛胜负的影响十分显著。足球世界杯比赛也不
< br>例外，
一只球队近期的比赛状态的好坏，
往往会导致该队
在杯赛中有上佳或欠佳的表现，
从而影响它们的比赛成绩。所以，我们引用西方国家博彩
业预测球队胜负的“六场预测
法”
，搜集各支队伍在杯赛前的最
近六场大型比赛结果，进行分析，建立模型。模型建
立如下：
4.3.1.
由于选取的六场比赛各支队伍的对手不同，
为了消除由于对手强弱差异而引起的
“不公平”
，我们参考国际足联拟定一个概念——“对手强度
ST
（
Strength of
opponent
）
”
，其值的取得根据国际足联计算各球队世界排名的规则（
附件
-1
）
：
ST=
（
200-OR
）
/100 (OR
为对手世界排名
)
。
4.3.2.
又由足
球赛一般积分规则
“
3-1-0
”
，
可得到其六场比赛分别的名义得分
F
n
（
n=1
，<
/p>
2...6
）
,
再用
Fn
与对手强度的乘积来表示其实际得分
< br>F
n
，即
F
n=Fn*STn
。
4.3.3.
其场均实际得分为
F
< br>F
F
*
ST
n
n
n
1
6
6<
/p>
n
6
6
4.3.
4
.
为了使后面的加权步骤更加合理，
我们引进
“状态值”
Z
。
对于参赛的
32
支队伍，
各
自存在其场均实际得分，
我们找出最大的
F
值
F
在用各自的
F
比上
< br>F
max
，
< br>max
得到
0-1
n
1
。
之间的一个数值，这个数据就是我们要求的“状态值”
:
Z=
F
<
/p>
/
F
max<
/p>
“状态值”
越高，
则球队在世界杯的比赛状态越好，
越有可能创造佳绩；
而<
/p>
“状态值”
越低，则该队在比赛中不易发挥出自己的正常水平。<
/p>
6
4.4.
综合以上三项因素分析：
由于双方赛前交锋情况，球队最新世界排名，近期状态这
三个因素对比赛结果的影
响的程度不确定，因此我们对其赋予相应的权值
1
，
2
，
3
，再对其加权处理，则
X
队综合实力可表示为
< br>Y
X
=
Q
X
*
1
+
Px
*<
/p>
2
+
Z
X
*
3
(
1
2
3
1
)
。
小组赛阶段，
比较每个小组各队的综合实力
Y
X
大小，
排在小组前两名的队伍晋级下
一轮比赛，后
两名则被淘汰；决赛阶段，比较对阵双方综合实力
Y
X
大小，
Y
X
值大的一<
/p>
只队伍会取得比赛胜利，即晋级下一轮，
Y
X
值小的一只队伍则被淘汰。
4.5.
权值
1
，
2
，
3
的估计
：
为了确保权值的精确性和科学性，我们用
< br>2006
年世界杯前期球队交锋情况，
2006
年
5
月世界排名，
20
06
年杯赛前期各队状态以及
2006
年世界杯比赛最终成绩等，来估
计权值
1
，
2
，
3
，并最终将其应用到
2010
年世界杯成绩的预测中。
为了简化模型，且兼顾比赛的全过程，在小组赛阶段，我们选择
F
组（巴西，克罗
地亚，日本，澳大利亚）进行分析；决赛阶段（
1/8
决赛
，
1/4
决赛，半决赛，决赛）
，
< br>我们选择当届世界杯冠军得主意大利队进行分析。
模型的建立：
沿用以上对
2010
年世界杯成绩预测的模型，可获得：
1.
小组赛
F
组相对实力向量
Q
,
Q
,
Q
,
Q
（分别代表巴西，克罗地亚，日本，
B
K
R
A
澳大利亚的相对实力）
2.
1/
8
决赛中，意大利与澳大利亚的相对实力向量
Q
Y
,
Q
A
3.
1/4
决赛中，意大利与乌克兰的相对实力向量
Q
Y
,
Q
W
4.
半决赛中，意大利与德国的相对实力向量
Q
Y
,
< br>Q
D
5.
决赛中，意大利与法国的相对实力
Q
Y
,
Q
F
6.
<
/p>
根据
2006
年
5
月
fifa
世界排名（附件—
3
）结果，我们可以分别获得巴西，克罗
地亚
，日本，澳大利亚，乌克兰，德国，法国，意大利的“排名积分值”
：
< br>
D
,
P
F
,
P
P
B
,
P
K
,
P
R
,
P
A
< br>,
P
W
,
P
Y
7.
根据
2006
年世界杯前期的各队的
6
场比赛结果，
我们可以分别获得巴西，
克罗
地亚，日本，澳大利亚，乌克兰
，德国，法国，意大利的“状态值”
：
Z
B
,
Z
K
,
Z
R
,
Z
A
,
Z
< br>W
,
Z
D
,
Z
F
,
;
Z
Y
8.
依据实际的
06
年世界杯
F
小组的出线情况以及意大利队的夺冠之路，
我们可
以
得到如下
7
个约束不等式（比赛成绩
较好的队伍的综合实力值大于成绩较差的
队伍）
：
7
Y
B
Y
A
Y
K
Y
R
Y
Y<
/p>
Y
A
Y
Y
Y
W
Y
Y
Y
D
Y
Y
Y
F
3
*
Z
X<
/p>
）
（其中
Y<
/p>
X
1
*
Q
X
2
*
P
X
在模型的求解中，我们将用最小二乘准则，对
1
，
2
，
3
进行估计。
5
．模型的求解
4
5
5.1
．对相对实力向量的求解
Da
5.1.
1.
对交锋双方
a
，
< br>b
的得分
< br>1
4
N
a
1<
/p>
Db
1
N
b
1
5
的求解：
我们不妨引入这样的一个“得分矩阵”
5
1
1
1
2
1
3
1
4
20
15
12.5
<
/p>
16
12
10
4
2
2
2
3
2
4
< br>2
1
K=
3
1
3
2<
/p>
3
3
3
4
=
12
9
7.5
3
< br>
8
6
5
2
4
2
4
3
4
4
4
1
< br>
4
3
2.5
1
5
2
5
3
5
4
5
1
（
< br>
表示球队在
级别的比赛中取得
<
/p>
成绩后获得的得分）
再引进各球队与对手交锋的“情况矩阵”
G
（
4*5
）
0
0
0
0
0
<
/p>
0
0
1
0
0
例如
G=
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
< br>表示该队与对手的交锋中，
世界杯预选赛打平一场，
洲际
杯或者联合会杯小胜对手一场。
那么
x
队的得分
Dx
就是
< br>G*K
的迹，
即矩阵主对角线上所有元素的和。
我们用
matlab
软件编程（附件—
8
）实现该计算。
5.1.2
对相对实力向量的计算
在小组赛中，针对四只队伍
a
，
b
，
c
，
d
，列如下的比较矩
阵：
8
Da
Da
Da
1
Db
Dc
Dd
Db
Db
D
b
1
<
/p>
Da
Dc
Dd
E=
Dc
Dc
D
c
1
<
/p>
Dd
Db
Dd
Dd
Dd
D
d
1
<
/p>
Da
Db
Dc
用
C++
软
件编写程序
(
附件—
9)
实现如下操作：
①各列归一化
②各行求和
③各列除以
4
最终得到本小组相对实力向量
Qa
,
Qb
,
Qc
,
Qd
。
通过这样的求解过程，结合搜集的双方历史交锋情况（附件
—
4
）
，我们计算出
< br>2010
年
南非世界杯各小组
4
只队伍相对实力的比较：
表二：小组赛相对实力表
A
B
C
D
排
组
球队
相对实
球队
相对实
球队
相对实
球队
相对实
序
别
力值
力值
力值
力值
1
0.310
阿根廷
0.445
英格兰
0.297
0.403
法国
德国
2
3
4
1
2
3
4
乌拉圭
墨西哥
南非
E
0.295
0.200
0.195
尼日利
亚
韩国
希腊
F
相对实
力值
意大利
0.464
巴拉圭
新西兰
斯洛伐
克
0.227
0.158
0.151
5.2
．
“排名积分值”的求解
根据附件—
2
P
0
=
巴西队积分
=
1611
；
9
0.219
0.205
0.131
美国
阿尔吉
尼亚
斯洛文
尼亚
G
球队
0.246
0.246
0.211
塞尔维
亚
澳大利
亚
加纳
H
0.270
0.208
0.119
排
序
组
别
球队
荷兰
喀麦隆
丹麦
日本
相对实
力值
0.386
0.223
0.202
0.189
球队
相对实
力值
葡萄牙
0.325
巴西
科特迪
瓦
朝鲜
0.242
0.242
0.191
相对实
力值
西班牙
0.472
洪都拉
斯
瑞士
智利
0.217
0.169
0.142
球队
所以
P
X<
/p>
=
P
X
/
P
0
=
P
X
/1611
；
我们借助
excel
办公软件对
32
支球队的“排名积分值”进行求解，结果如下
：
表三：
“排名积分值”表
组
别
A
球队
南非
墨西哥
乌拉圭
法国
排名积
分值
0.243
0.556
0.558
0.648
球队
阿根廷
尼日利
亚
韩国
B
排名积
分值
0.668
0.548
0.392
球队
英格兰
美国
C
排名积
分值
0.663
0.594
0.510
0.534
球队
德国
澳大利
亚
塞尔维
亚
加纳
D
排名积
分值
0.672
0.550
0.588
0.497
阿尔及
利亚
0.589
希腊
斯洛文
尼亚
组
别
F
G
排名积
分值
0.735
0.509
0.255
0.482
球队
巴西
朝鲜
科特迪
瓦
葡萄牙
E
球队
荷兰
丹麦
日本
喀麦隆
排名积
分值
0.764
0.476
0.423
0.551
球队
意大利
巴拉圭
新西兰
斯洛伐
克
H
排名积
分值
1
0.177
0.531
0.775
球队
西班牙
瑞士
洪都拉
斯
智利
排名积
分值
0.971
0.550
0.456
0.551
5.3
．
“状态值”的求解
根据（附件—
5
）
，我们用
excel
办公软件计算出
32
支队伍赛前近期
6
场比赛的“对
手强度”值，场均实际得分；我们
查找到荷兰队的场均实际得分为
4.595
为最大场均实
际得分，所以各队的“状态值”
Z=
F
/4.595
，同样，我们用
excel
软件来实现该计算，结
果如下：
表四：
“状态值”表
组
别
A
球队
南非
墨西哥
乌拉圭
B
状态值
0.565
0.768
0.741
球队
阿根廷
尼日利
亚
韩国
状态值
0.540
0.443
0.506
球队
英格兰
美国
阿尔及
利亚
10
C
状态值
0.733
0.664
0.620
球队
德国
澳大利
亚
塞尔维
亚
D
状态值
0.647
0.663
0.669
法国
0.701
希腊
斯洛文
尼亚
组
别
F
G
状态值
0.670
0.521
0.384
0.553
球队
巴西
朝鲜
科特迪
瓦
葡萄牙
0.544
0.601
加纳
0.543
E
球队
荷兰
丹麦
日本
喀麦隆
状态值
1
0.602
0.474
0.667
球队
意大利
巴拉圭
新西兰
斯洛伐
克
H
状态值
0.676
0.711
0.847
0.353
球队
西班牙
瑞士
洪都拉
斯
智利
状态值
0.566
0.734
0.906
0.726
5.4
：权值
1
，
2
，
3
的求解（所需数据参见附件—
3
附件—
6
附件—
7
）
5.4.1
．
类似
5.1
的相对实力向量求解方法，
易得
2006
年世界杯
F
小组的相对实
力向量：
Q
,
Q
,
Q
,
Q
(0.291,0.272,0.225,0.212)
；
B
K
R
A
5.4.2.
类似<
/p>
5.2
的
“排名积分值”
的求解方法，
易得
2006
年
世界杯
F
小组各球队的
“排
名积分值”
：
=0.830
P
R
=0.852
P
A
=0.740
P
B
=1
P
K
5.4.3
类似
5.3
的
“状态值”
的求解方法，
易得
2006
年世界杯
F
小组各球队的
“状态值”
：
Z
B
=
0.796
Z
K
=
0.8
96
Z
R
=
0.862
Z
A
=<
/p>
0.586
5.4.4
根据
2006
年世界杯
F
组出
线实际情况，可推得如下
3
个不等式：
Y
B
< br>
Y
A
Y
K
Y
R
,
Z
B
)
>
(
1
,
2
,
< br>3
)*(
Q
A
< br>,
P
A
,
Z
A
)
……
①
(
1
,
2
,
3
)*(
Q
B
,
P
B
,
Z
< br>A
)
>
(
1
,
2
,
3
)*(
Q
K
,
P
K
,
Z
K
)
……
②
(
1
,
2
,
3
)*(
Q
A
,
P
A
,
Z
< br>K
)
>
(
1
,
2
,
3
)*(
Q
R
,
P
R
,
Z
R
)
……
③
(
1
,
2
,
3
)*(
Q
K
,
P
K
5.4.5
类似
5.1<
/p>
，
5.2
，
5.
3
的求解方法，在
2006
年世界杯中
：
(1)1/8
决赛
< br>意大利
vs.
澳大利亚
两队相对实力向量为
(
Q
Y
,
Q
< br>A
)
=( 1,1)
(
两队没有交锋
)
=0.740
两队“排名积分值”
P
Y
=0.880
P
A
两队“
状态值”
Z
Y
= 0.914
Z
A
=
0.586
根据
2006
年世界杯
1/8
决赛
意大利
vs.
澳大利亚的比赛结果是意大利队以
1-0
战胜澳大利亚队，晋级下一轮，则
Y
Y
Y
A
，即<
/p>
,
Z
A
)
……
④
(
1
,
2
,
3
)
*
(
< br>Q
Y
,
P
Y
,
Z
Y
)
>
(
1
,
2
,
3
)
*
(
Q
< br>A
,
P
A
(2)1/4
决赛
意大利
vs.
乌克兰
两队相
对实力向量为
(
Q
Y
< br>
,
Q
W
)
=( 0.619,0,381 )
=0.736
两队“排名积分值”
P
Y
=
0.880
P
W
两队“
状态值”
Z
Y
=0.914
Z
W
=0.
976
根据
2006
年世界杯
1/4
决赛
意大利
vs.
乌克兰的比赛结果是意大利队以
3-0
11
战胜乌克兰队，晋级半决赛，有
Y<
/p>
Y
Y
W
，即
(
1
,
2
< br>,
3
)
*
(
Q
Y
,
P
W
,<
/p>
Z
W
)
……
.
⑤
Y
,
Z
Y
)
>
(
1
,
2
,
3
)
*
(
< br>Q
W
,
P
（
3
）半决赛
意大利
vs.
德国
两队相对实力向量为
(
Q
Y
,
Q
D<
/p>
)
=(0.5
，
0.5 )
=0.842
两队“排名积分值”
P
Y
=0.880
P
D
两队“
状态值”
Z
Y
= 0.914
Z
D
=0.873
根据
2006
年世界杯半决赛
意大利
vs.
德国的
比赛结果是意大利队以
2-0
战胜
德国
队，晋级决赛，有
Y
Y
Y
W
，即
(
1
,
2
,
3<
/p>
)
*
(
Q
Y
,
P
D
,
Z
D
)
……
.
⑥
Y
,
Z
Y
)
>
(
1
,
2
,
3
)
*
(
< br>Q
D
,
P
（
4
）决赛
意大利
vs.
法国
两队相对实力向量为
(
Q
Y<
/p>
,
Q
F
)
=(
0.389,0.611)
两队“排名积分值”
P
Y
=0.880
P
F
=0.906
两队“状态值”
Z
Y
= 0.914
Z
F
=0.745
根据
2006
年世界杯半决赛
意大利
vs.
法国的
比赛结果是意大利队以
6-4
（点
球）
战胜法国队，获得世界杯冠军，有
Y
Y
Y
F
，即
(
1
,
2
,
3
)
*
(
Q
Y
,
P
F
,
Z
F
)
……
.
⑦
Y
,
Z
Y
)
>
(
1
,
2
,
3
)
*
< br>(
Q
F
,
P
5
.4.6
利用最小二乘准则估计权值
1
，
2
，
3
的取
值。
设预期的模型为
T
1
A
< br>
2
B
3
C
，
用
T
1<
/p>
A
2
B
3
C
记作
T
1
A
< br>
2
B
3
C
的
最小二乘估计，运用最小二乘准则。则需要对
S
[
T
< br>
f
(
A
,
B
,
C
)
]
(
T<
/p>
1
A
2
B
3
C
)
求极小值，最优的必要条件是
2
2
S
S
S
<
/p>
0
。
1
2
3
对于本题而言，根据以上七个不等式，
C
1
Z
B
Z
A
令：
A
1
Q
B
Q
A
B
1
P
B
P
A
P
K
< br>
C
2
Z
A
Z
K
A
2
Q
A
Q
K
B
2
P
A
A
7
Q
Y
Q
F
B
7
P
Y
P
F
C
7
Z
Y
Z
F
于是有
S
[
T
f
(
A
< br>i
,
B
i
,
C
i
)]
(
T
<
/p>
1
A
i
2
B
i
3
C
i
)
i
1
i
1
7
2
7<
/p>
2
且
7
S
2
(
T
1
A
i
2
B
i
3<
/p>
C
i
)
A
i
=0
……
I
1
i
1
7
S
2
(
T
1
A
i
< br>
2
B
i
3
C
i
)
B
i
=0
……
II
2
i
<
/p>
1
7
S
2
(
T
1
A
i
2
B
i
3
C
i<
/p>
)
C
i
=0
……
III
3
i
1
又
1
2
3
1
……
IV
12
综合以上
I
II
III
IV
式，
运
用
C/C++
表写编程
(
程序见附件—
10)
实现其计算，
< br>求得：
1
=0.215
2
=0.547
3
=0.238
即可得最优权数：
1
=0.215
2
=0.547
3
=0.238
2
=0.547
，
3
=0.238
预测
2010
年世界杯成绩。
5.5
利用
< br>5.4
中求解到的权值
1
=0.215
，
5.5.1
小组赛阶段
3
*
Z
X
，
我们能分别求解出
8
个小组中各支球
根据综合实力
Y
X
1
*
Q
X
2
*
P<
/p>
X
队的综合实力值，对各小组情况进行排序，则小组头两名出线，
晋级十六强。这样的计
算我们用
excel
办公软件实现，结果如下：
表五：小组赛成绩表
A
B
C
D
小
组
组
球队
综合实
球队
综合实
球队
综合实
球队
综合实
排
别
力
力
力
力
名
1
2
3
4
组别
小组排
名
1
2
3
4
法国
乌拉圭
墨西哥
南非
E
球队
荷兰
喀麦隆
丹麦
日本
综合实
力
0.739
0.508
0.407
0.385
球队
意大利
巴拉圭
斯洛伐
克
新西兰
0.588
0.545
0.530
0.309
阿根廷
希腊
尼日利
亚
韩国
F
综合实
力
0.700
0.451
0.428
0.265
球队
巴西
葡萄牙
科特迪
瓦
朝鲜
0.590
0.480
0.452
0.379
英格兰
美国
斯洛文
尼亚
阿尔及
利亚
G
综合实
力
0.760
0.578
0.435
0.307
球队
西班牙
洪都拉
斯
瑞士
智利
0.601
0.536
0.481
0.479
德国
塞尔维
亚
澳大利
亚
加纳
H
综合实
力
0.767
0.512
0.512
0.505
0.608
0.539
0.503
0.427
根据上表和世界杯赛制，可以预测小组赛出线的球队
A
组：法国，乌拉圭
B
组：阿根廷，希腊
C
组：英格兰，美国
D
组：德国，塞尔维亚
E
组：荷兰，喀麦隆
F
组：意大利，巴拉圭
G
组：巴西，葡萄牙
H
组：西班牙，洪都拉斯
5.5.2
决赛阶段
（
1
）
1/8
决赛
根据赛制，我们可以得到
1/8
决
赛的对阵情况，由于比赛采用淘汰制，所以我们只
13
要比较对阵双方的综合实力大小，就能决定谁晋级谁被淘汰。
3
*
Z
X
，相对实力
向量
(
Q
a
,
Q
b
)
根据<
/p>
4.1
中的模型
由综合实力
Y
X
< br>1
*
Q
X
2
*
P
X
参考表二，
可求其结果，
“排名积分值”
P
X<
/p>
“状态值”
Z
X
参考表三，三者加总即为综合
实力
Y
X
。
我们用
e
xcel
办公软件实现以上操作，结果如下：
球队
相对实
力
综合实
力
球队
表六：
1/8
决赛成绩表
A1
vs.
B2
A2
vs.
B1
C1
vs.
D2
法国
希腊
乌拉圭
阿根廷
英格兰
塞尔维
亚
0.417
0.583
0.495
0.505
0.667
0.333
0.611
0.577
0.588
0.602
0.690
0.553
C2
vs.
D1
美国
德国
0.333
0.555
0.667
0.665
E1
vs.
F2
E2
vs.
F1
荷兰
巴拉圭
喀麦隆
意大利
相对实
0.667
0.333
0.500
0.500
力
综合实
0.799
0.474
0.668
0.669
0.873
0.515
0.625
0.764
力
根据上表和赛制，本届杯赛八强预
测名单出炉：法国，阿根廷，英格兰，德国，荷
兰，意大利，巴西和西班牙。
（
2
）
1/4
决赛
参考
1/8
决赛的预测方案，同理可预测的
1/4
决赛的结果：
表七：
1/4
决赛成绩表
球队
法国
英格兰
阿根廷
德国
荷兰
巴西
意大利
西班牙
相对实
0.568
0.432
0.467
0.533
0.500
0.500
0.483
0.517
力
综合实
0.643
0.630
0.594
0.636
0.763
0.815
0.665
0.777
力
根据上表和赛制，可以获得本轮晋
级的球队，它们分别是法国，德国，巴西和西班牙。
（
3
）半决赛
同样，参考
1/8
决赛的预测方案，同
理可预测的半决赛的结果：
表八：半决赛成绩表
球队
相对实力
法国
0.667
巴西
0.333
德国
0.455
西班牙
0.545
G1
vs.
H2
G2
vs.
H1
巴西
洪都拉
葡萄牙
西班牙
斯
0.767
0.233
0.542
0.458
14
综合实力
0.665
0.780
0.620
0.783
根据上表和赛制，可以获得晋级决赛的球队，它们
是巴西队和西班牙队。
（
4
）决赛
同样，参考
1/8
< br>决赛的预测方案，同理可预测的决赛的结果：
表九：决赛成绩表
球队
巴西
西班牙
相对实力
综合实力
0.500
0.816
0.500
0.774
根据上表和赛制，可预测本届世界杯冠军归属巴西队。
综合以上对决赛阶段结果的预测，我们拟出如下赛事表
表十：决赛阶段赛事表
法国
A1
阿根廷
B1
法国
法国
德国
阿根廷
希腊
B2
乌拉圭
A2
英格兰
C1
美国
C2
塞尔维亚
D2
英格兰
巴
西
vs
西班牙
德国
德国
D1
喀麦隆
E2
荷兰
E1
巴拉圭
F2
荷兰
巴西
巴西
西班牙
意大利
意大利
F2
巴西
G1
葡萄牙
G2
西班牙
洪都拉斯
H2
西班牙
H1
巴西
5.2.3
问题的结论
综上所述，我们预测
2010
年南非世界杯冠军将被
巴西队
获得，八强球队分别为法
国，阿根廷，英格兰，德国，荷兰，意大利
，巴西和西班牙
。
6.
模型的评价与推广
6.1
模型的优点
（
1
）此模型考虑的因素较多，我们针对杯赛之前对手之间的交锋情况（相对实力）
，
15
世界排名情况（绝对实力）以及各球队最近比赛状态进行了综
合评价，全面地考虑了影
响足球比赛成绩的主要因素。
（
2
）以
06
年德国世界杯作为实例，考虑对手之间的交锋情况（相对实力）
，世界
排
名情况
（绝对实力）
以及各球队当期
比赛状况对世界杯结果影响，
同时求出了影响权数，
且将此权数
运用到
2010
年世界杯的预测中，模型由此变得更科学，可信
度也增强。
（
3
）对级别不同的比赛，及比赛胜负大小的差异，我们依据国际足联计算世界排名
的标
准，得出其各自的权值，增强了模型的权威性与精确性。
（<
/p>
4
）该模型对数据的处理运用了
MATL
AB
、
excel
、
< br>C/C++
等多种计算工具，确保了
计算结果的准确性，
且避免了我们将大量的时间和精力耗费于繁杂的计算中。
6.2
模型的缺点
< br>（
1
）在两队赛前交锋情况的分析中，我们忽略了比赛距
今时间的长短差别对相对实
力影响程度的不同，所以模型失去了一定的精确性；然而我们
在模型的建立中，只考虑
最近
16
年的
比赛，尽可能降低了上述情况对模型的影响。
（
2
）众所周知，东道主球队会有一定的“主场优势”
，而在此模型的中没有具体考
虑这一点，因此，在对有东道主参加的比赛结果预测中，存
在一定的误差。然而，如今
世界杯已成为世界人民的盛会，加之便利的交通等良好的外部
条件，大量的国外球迷会
去到现场观看比赛，从而，
“主场优势
”对比赛的影响得到削弱。
6.3
模型的推广
此模型采用了科学方法来
预测
2010
年南非世界杯的冠军和八强，基于世界杯正赛
赛制分为小组（循环）赛和淘汰赛两个阶段，我们不妨把该模型应用于采用类似赛制的
比赛中，来预测它们的比赛结果。例如奥运会足球、篮球、排球比赛，
NBA
一个赛季
的比赛等，都是采用了循环赛与淘汰赛相结合的
赛制，运用本模型，就可以对这些比赛
的最终结果做出不错的预测。喜欢体育博彩的人，
可以参照这个模型所预测的结果进行
交易，以获得更多的收益。
7.
参考文献
（
1
）国际足联官方网站
/worl
dfootball/ranking/procedure/
10/05/28
（
2
）六场预测法
/view/?fr=ala0_1
10/05/28
（
3
）腾讯体育网
/draw/
10/05/28
（
4
）新浪体育
10/05/28
（
5
）
06
世
界
杯
各
队
赛
< br>前
交
锋
/?tid=11458
10/05/29
（
6
）
06
世界杯分组及其比
赛结果
/f?kz=109695495
10/05/29
（
7
）孙祥，
MATLAB7.0
基础教程，清华大学出
版社，
2005
（
8
）
Frank no
（美），数学建模（第
3
版），机械工程出版社，
2005.1
8.
附件
附件—
1
：
国际足联世界排名的标准
16
COMPARISON OF
BASIC CALCULATION CRITERIA
Matches
Result:
Win-Draw-Defeat
Importance of match
Revised World Ranking
All international
“
A
”
matches
3 points -1 points
–
0 points
Existing world ranking
All
international
“
A
”
matches
Complex points allocation
Strength of opponent
1 (friendly match) to 4 (FIFA
1 (friendly match) to 2 (FIFA World
World Cup™)
Cup™)
Position
in world ranking (no. 1 =
2.00, no. 30
= 1.70, no. 118 =
Complex calculation
based on
0.82 etc.)
difference in strength of teams
Formula: [200
–
Position] / 100
Based on results in
last three
FIFA World Cups (wins per
confederation per match)
Complex calculation based on all
inter-
continental matches played in
the
previous 12 months
Regional
strength
Period
Number of matches
considered
per year
Number of
goals
Home and away
matches
Last
four years, gradual decline
Last 8
years with linear importance of
in
importance of results: 100%-
results
50% - 30% - 20%
Average
points gained from all
matches in last
12 months
(minimum: 5 matches)
--
--
Complex
calculation (average
between best 7
matches and all
matches)
Points value from the difference
between goals for and goals against
3-point bonus for away team
附件
-2
2010
南非世界杯
32
支球队世界排名（
2010.5
）
< br>
组
别
球
队
A
南
非
墨
西
哥
乌
拉
圭
法
国
阿
根
廷
B
尼
日
利<
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亚
21
883
C
韩
国
希
腊
英
格
兰
美
国
阿
尔
及
利
亚
30
821
D
斯
洛
文
尼
亚
2
5
86
0
德
国
澳
大
利
亚
20
886
塞
尔
维
亚
15
947
加
纳
排
83
名
积
392
分
组
别
球
队
荷
兰
17
895
16
899
9
104
4
7
1076
47
632
13
964
8
1068
14
957
6
1082
3
2
80
0
E
丹
麦
日
本
喀
麦
隆
19
887
意
大
利
5
118
4
F
巴
拉
圭
31
82
0
新
西
兰
78
41
0
斯
洛
伐
克
34
77
7
巴
西
朝
鲜
G <
/p>
科
特
迪
瓦
27
85
6
葡
萄
牙
3
124
9
西
班
牙
2
156
5
瑞
士
H
洪
都
拉
斯
38
73
4
智
利
4
排
名
积
123
分
1
36
76
7
45
68
2
1
161
1
105
285
24
86
6
18
888
附件—
3
：
06
年世界杯
32
支球队世界排名（
2005.5
< br>）
17