高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题复习课程
初恋那件事-
第一章
解三角形
1
、正弦定理：
在
C
中，
< br>a
、
b
、
c
分别为角
、
、
C
的对边，
< br>R
为
C
< br>的外接圆的半径，则
有：
a<
/p>
b
c
2
R
．
sin
sin
sin
C
2
、正弦定理的变形公式：
①
a
2
R
sin
，
b
2
R
sin
，
c
2
R
sin
C
；
a
b
c<
/p>
，
sin
<
/p>
，
sin
C
<
/p>
；
2
R
2
R
2
R
③
a
:
b
:
c
sin
:sin
:sin
C
；
a
b
c
a
b
c
④
．
sin
sin
sin
C
sin
sin
sin
C
②
sin
注意：
正弦定理主要用来解决两类问题：
1
、已知两边和
其中一边所对的角，求其余的量。
2
、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（
一解、
两解、
无解三中情况）
如：在三
角形
ABC
中，已知
a
、
b
、
A
（
A
为锐角）求
B
。具体的做法是：
数形结合思想
画出图：法一：把
a
扰着
C
点旋转，看所得轨迹以
AD
有无交点：
C
当无交点则
B
无解、
当有一个交点则
B
有一解、
a
当有两个交点则
B
有两个解。
< br>
b
法二：是算出
CD=bs
inA,
看
a
的情况：
bsinA
当
a
，则
B
无解
A
当
bsinA
≤
b,
则
B
有两解
D
当
a=bsinA
或
a>b
时，
B
有一解
注：当
A
为钝角或是直角时以此类推既可。
< br>
3
、三角形面积公式：
1
1
1
S
C
bc
sin
ab
sin
C
ac<
/p>
sin
．
<
/p>
2
2
2
4
、余弦定理：
在
C
中，有
a
b
c
2
bc
cos
，
b
a
c
2
ac
cos
<
/p>
，
2
2
2
2
2
2
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
< br>C
．
5
、余弦定理的推论：
b
2
c
< br>2
a
2
cos
，
2
bc
a
2
c
2
<
/p>
b
2
cos
<
/p>
，
2
ac
a
2
b
2
c
2
cos
C
．
2
ab
(
余弦定理主要解决的问题：
1
、已知两边和夹角，求其余的量。
2
、已知三边求角
)
1
6
、如何判断三角形的形状：
设
a
、
b
、
c
是
C
的角
、
、
C
的对边，则：
①若
a
b
c
，则
C
90
；
②若
a
b
c
，则
< br>C
90
；
③若
a
b
c
，则
C
90
．
7
、正余弦定理的综合应用
：
如图所示：隔河看两目标
A
< br>、
B,
但不能到达，在岸边选取相距
< br>3
千米的
C
、
< br>D
两点，
并测得∠
ACB=75
,
∠
BCD=45
,
∠
ADC=30
,
O
C
∠
AD
B=45
(A
、
B
、
C
、
D
在同一平面内
)
，求两目标
A
、
B
之间的距离。
附：三角形的五个“心”
；
重心：三角形三条中线交点
.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点
.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点
.
垂心：三角形三边上的高相交于一点
.
练习题
一、选择题
1
、在△
ABC
中，
a
＝
10
，
B=60
°
,C=45
°
,
则
c
等于
（
B
）
A
．
10
3
B
．
10
O
O
O
2
2
2
o
2
2
2
o
2
2
2
o
B
A
D
3
<
/p>
1
C
．
3
1
D
．
10
3
2
、三角形的两边分别为
5
和
3
，它们夹角的余弦是方程
5
x
2
7
x
6
0
< br>的根，则三角形的另一边长为
A
．
52
B
．
2
13
C
．
16
D
．
4
3<
/p>
、在△
ABC
中，若
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
c
)
，则
A
（
C
）
A
90
B
60
C
120
D
150
0
0
0
0
4
、在△
ABC
中，根据下列条件解
三角形，则其中有两个解的是
（
D
）
A
．
b
=
10
，
A =
45
°，
B =
70
°
B
．
a
=
60
，
c
=
48
，
B =
100
°
C
．
a
=
7
，
b
=
5
，
A =
80
°
D
．
a
=
14
，
b
=
16
，
A =
45
°
5
、
已知△
ABC
中，
a
< br>∶
b
∶
c
＝1∶
3
∶2，则
A
∶
B
∶
C
等于
(
A
)
A
．1∶2∶3
C
．
1
：
3
：
2
B
．2∶3∶1
D
．
3
：
1
：
2
6
、若△
A
BC
的周长等于
20
，面积是
10
3
，
A
＝
60
°，则
BC
边的长是（
C
）
A
．
5
B
．
6
二、填空题（每题
5
分
,
共
25
分）
C
．
7
D
．
8
2
7
、在
ABC
中，已知
sin
A
:
sin
B
:
sin
C
6
:
5
:
4
，则
cosA
___________
a
b
c
8
、
在△
ABC
中，
A
=60°,
b
=1,
面积为
3
，则
=
sin
A
s
in
B
sin
C
9
、在△
ABC
< br>中，已知
AB=4
，
AC=7<
/p>
，
BC
边的中线
AD
7
，那么
BC=
2
7
，且
C
2
10
、在
△
ABC
中，已
知角
A
、
B
、
C
所对的边分别是
a
< br>、
b
、
c
，边
c
3
3
，则
a
b
________________
2
三．解答题（
2
小题，共
40
分）
60
，又
△
ABC
的
面积为
13<
/p>
、在
ABC
中
，
sin(
C
A
)
1
,
sinB=
1
.
（
I
）求
sinA
的值；
(II)
设
AC=
6<
/p>
，求
ABC
的
面积
.
3
知识点巩固练习（一）
一、选择题
1
．在△
ABC
中，若
C
90
,
a
6
,
B
30
，则
c
b
等于（
）
A
．
1
B
．
1
C
．
2
3
D
．
2
3<
/p>
2
．若
A
为△
ABC
的内角，则下列函数中一定取正
值的是（
）
A
．
sin
A
B
．
cos
A
C
．
tan
A
D
．
0
0
1<
/p>
tan
A
3<
/p>
．在△
ABC
中，角
A
,
B
均为锐角，且
cos
A
sin
B
,
则△
ABC
的形状是（
）
A
．直角三角形
B
．锐角三角形
C
．钝角三角形
D
．等腰三角形
0
4
．等腰三角形一腰上的高是
3
，这条高与底边的夹角为
60
，
则底边长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
3
D
．
2
3
<
/p>
2
5
．在△
AB
C
中，若
b
2
a
sin
B
，则
A
等于（
）
A
．
30
或
60
B
．
45
或
6
0
C
．
120
或
60
D
．
< br>30
或
150
6
．边长为
5,7,8
的三
角形的最大角与最小角的和是（
）
3 <
/p>
0
0
0
0
0
0
0
0
A
．
90
B
．
120
C
．
135
D
．
150
二、填空题
1
．在
Rt
△
ABC
< br>中，
C
90
< br>，则
sin
A
sin
B
的最大值是
_______________<
/p>
。
2
．在△<
/p>
ABC
中，若
a
b
bc
c
,
则
A
_________
。
< br>
3
．在△
ABC
中，若
b
2
,
B
30
,
C
135
,
则
a
_________
。
4
．在△
ABC
中，若
sin
A
∶
sin
B
∶
sin
C
7
∶
8
∶
13
，则
C
_____________
。
三、解答题
1
．
在△<
/p>
ABC
中，若
a
cos
A
b
cos
B
c
cos
C
,
则△
ABC
的形状是什么？
2
．在△
ABC
中
，求证：
0
0
2
2
2
0
0
0
0
0
a
b
cos
B
cos
A
c
(
)
b
a
b
a
3
．在锐角△
ABC
中，求证：
sin
A
sin
B
sin
C
cos
A
cos
B
cos
C
。
4
知识点巩固练习（二）
一、选择题
1
．在△
ABC
中，
A
:
B
:
C
1:
2:3
，则
a
:
b
:
c
等于（
）
A
．
1:
2:3
B
< br>．
3:
2:1
C
．
1:
3
:
2
D
．
2
:
3
:1
2
．在△
ABC
中，若
角
B
为钝角，则
sin
B
sin
A
的值（
）
A
．大于零
B
．小于零
C
．等于零
D
．不能确定
3
< br>．在△
ABC
中，若
A
2
B
，则
a
等于（
）
A
．
2
b
sin
A
B
．
2
b<
/p>
cos
A
C
．
2
b
sin
B
D
．
2
b
cos
B
4
．在△
ABC
中，若
lg
sin
A
lg
cos
B
lg
sin
C
lg
2
，则△
AB
C
的形状是（
）
A
．直角三角形
B
．等边三角形
C
．不能确定
D
．等腰三角形
5
．在△
ABC
中，若
(
a
b
c
)(
b
c
a
)
3
bc
,
< br>则
A
( )
A
．
90
B
．
60
C
．
135
D
．
150
6
．在△
ABC
中，若
a
7
,
< br>b
8
,
cos
C
0
0
0
0
13
，则最大角的余弦是（
）
14
1
1
1
1
A
．
B
．
C
．
D
．
5
6
7
8
a<
/p>
b
c
=_______
。
sin
A
sin
< br>B
sin
C
< br>二、填空题
1
．若在△
ABC
中，
A
60
0
,
b
1
,
S
ABC
3,
则
2
．若
A
,
B
是锐角三角形的两
内角，则
tan
A
tan
B
_____
1
（填
>
或
<
）
。
3
．在△
ABC
中，若
sin
A<
/p>
2
cos
B<
/p>
cos
C
,
则<
/p>
tan
B
ta
n
C
_________
。
4
．在△
ABC
中，若
a
9
,
b
10
,
c
12
,
则△
ABC
的形状是
_________
。
5
．在△
ABC
中，若
a
三、解答题<
/p>
3
,
b
2
,
c
6
2
,
则
A
_________
。
2
1
．
在△
ABC
中，
A
120
0
,
c
b
,
a
21,
S
V
ABC
3
，求
b
,
c
。
5
2
．
<
/p>
在锐角△
ABC
中，求证：
tan
A
tan
B
tan
C
1
。
3
．
在△
ABC
中，求证：
sin
A
sin
B
sin
C
4
cos
4
．
在△<
/p>
ABC
中，若
A
B
120
，则求证：
5
．
在△<
/p>
ABC
中，若
a
cos
6
2
A<
/p>
B
C
cos
co
s
。
2
2<
/p>
2
0
a
b
1
。
b
c
a
c
C
A
3
b
，则求证：
a
c
2
b
c
cos
2
2
2
2
知识点巩固练习（三）
一、选择题
1
．
A
为△
ABC<
/p>
的内角，则
sin
A
cos
A
的取值范围是（
）
A
．
(
2
,
2
)
B
．
(
2
,
2
)
C
．
(
< br>1
,
2
]
D
．
[
2
,
2
]
a
b
等于（
）
c
A
B
A
B
A
B
A
B
A
< br>．
2
cos
B
．
2
cos
C
．
2
sin
D
．
2
sin
2
2
2
2
2
．在△
ABC
中，若
C
90
,
则三边的比
0
3
．在
△
ABC
中，若
a
7
,
b
3
,
c
<
/p>
8
，则其面积等于（
）
A
．
12
B
．
21
C
．
28
D
．
6
3
2
0
4
．在
△
ABC
中，
C
90
，
0
A
45
，则下列各式中正确的是（
）
0
0
A
．
sin
A
cos
A
<
/p>
B
．
sin
B<
/p>
cos
A
C
．
sin
A
cos
B
D
．
sin
B
cos
B
5
．在△
ABC
中，若
(
a
c
)(
a
c
)
b
(<
/p>
b
c
)
，则
A
（
）
A
．
90
B
．
60
C
．
120
D
．
150
0
0
0
0
tan
A
a
2
6
．在△
ABC
中，若
，则△
ABC
的形状是（
）
tan
B
b
2
A
．直角三角形
B
．等腰或直角三角形
C
．不能确定
D
．等腰三角形
二、填空题
1
．在△
ABC
中，若
sin
A
sin
B
,
则
A
一定大于
B
，对吗？填
_________
（对或错）
2
．在△<
/p>
ABC
中，若
cos
A
cos
B
cos
C
1
,
则△
ABC
< br>的形状是
______________
。
3
．在△
ABC
中，∠
C
是钝角，设
x
sin
C
,
y
sin
A
sin
B
,
z
cos
A
cos
B
,
则
x
,
y
,
z
的大小关系
是
___________________________
。
4
．在△
ABC
中，若
a
c
2
b
，则
cos
A
cos
C
cos
< br>A
cos
C
< br>2
2
2
1
sin
A
sin
C
< br>
______
。
3
5
．在△
ABC
中，若
2
lg
tan
B
lg
ta
n
A
lg
t
an
C
,
则
B
的取值范围是
_______________
。
6
．在△
ABC
中，若
b
ac
，则
cos(
A
C
)
cos
B
cos
2
B
的值是
___
______
。
2
三、解答题
7
1
．在
△
ABC
中，若
(
a
b
)
sin(
A
B
)
(
a
b
)
sin(
A
B
)
，请
判断三角形的形状。
2
2
2
．
如果△
ABC
内接于半径为
R
的圆，且
2
R
(sin
A
sin
C
)
(
2
a
b
)
sin
B
,
2
2
2
2
求△
ABC
的面积的最大值。
3
．
已知△
ABC
的三边
a
b
c
且
a
c
2
b
,
A
C
4
．在△
ABC
中，
若
(
a
b
<
/p>
c
)(
a
b
c
)
3
ac
，且
tan
A
tan
C
3
3
，
AB
边上的高
为
4
3
，求角
A
,
B
,
C
的大小与边
a
,
b
,
c
的长
2
，求
a
:
b
:
c
8
答案
知识点巩固练习（一）
一、选择题
1.C
b
tan
30
0
,
b
a
tan
30
0
2
3,
c
2
b
4
4,
c
b
2
3
a
2.A
0
A
,sin
A
0
3.C
cos
A
sin(
4.D
作出图形
5.D
b
2
a
sin
B
,sin
B
2sin
A
sin
B
,sin
A
2
A
)
sin
B
,
2
A
,
B
都是锐角，则
2
A
B
,
A
B
2
,
C
2
1
,<
/p>
A
30
0
或
150
0
<
/p>
2
5
2
8
2
7
2
1
,
60
0
< br>,180
0
60
0
120
0
为所求
6.B
设中间
角为
，则
cos
2
5
8
2
二、
填空题
1.
1
1
1
sin
A
sin
B
sin
A
cos
A<
/p>
sin
2
A<
/p>
2
2
2
0
b
2
c
2
a
2
1
,
A
120
0
2.
120
cos
A
2
bc
2
3.
6
2
A
15
0
,
a
b
b
sin
A
6
2
,
a
4sin
A
4sin
15
0
4
sin
A
s
in
B
sin
B
4
0
4.
120
a
∶
b
∶
c
sin
A
∶
s
in
B
∶
sin
C
7
∶
8
∶
13
，
<
/p>
a
2
b
2
c
2
1
,
C
120
0
令
a
7
k
,
b
8
k
,
c<
/p>
13
k
cos
C
2
ab
2
三、解答题
1.
解：
a
cos
A
b
cos
B
c
cos
C
,sin
A
cos
A
sin
B
cos
B
sin
C
cos
C
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
,2sin(
A
B
)cos(
A
B
)
2si
n
C
cos
C
cos(
A
B
)
co
s(
A
B
)
,2cos
A
cos
B
0
cos
A
0
或
cos
B
0
，得
A
所以△
< br>ABC
是直角三角形。
<
/p>
2
或
B
2
a
2
c
2
b
2
b
2
c
2
a
2
2.
证明：将
cos
B
，
cos
A
代入右边
2
ac
2
bc
a
2
c
2
b
2
b
2
c
2
<
/p>
a
2
2
a
2
2
b
2
)
得右边
c
(
2
abc
2
abc
2
ab
9
a
2
b
2
a
b
<
/p>
左边，
ab
b
a
∴
a
b
cos
B
cos
A
c
(
)
b
a
b
a
3
．证明：∵△<
/p>
ABC
是锐角三角形，∴
A
B
<
/p>
∴
sin
A
<
/p>
sin(
2
,
即
2
A
2
B
0
B
)
< br>，即
sin
A
cos
B
；同理
sin
B
cos
C
；
sin
C
cos
A
2
∴
sin
A
sin
B
sin<
/p>
C
cos
A<
/p>
cos
B
<
/p>
cos
C
知识点巩固练习（二）
一、选择题
1.C
A
6
,
B
3
,
C
2
,
a
:
b
:
c
<
/p>
sin
A
:
si
n
B
:
sin
C
1
3
2<
/p>
:
:
1:
3
:
2
2
2
2
2.A
A
B
,
A
B
，且
A
,
B
都是锐角，
sin
A
sin(
B
)
sin
B
3.D
< br>sin
A
sin
2
B
2sin
B
cos
B
,
a
2
b
cos
B
4.D
lg
sin
A
si
n
A
lg
2
,
2,sin
A
2cos
B
sin
C
cos
B
sin
C
cos
B
sin
C
sin(
B<
/p>
C
)
2cos
B
sin
C
,sin
B
cos
C
cos
B
sin
C
0,
< br>
sin(
B
C
)
0,
< br>B
C
，等腰三角形
5.B
(
a
b
c
)(
b
c
a
)
< br>3
bc
,(
b
< br>
c
)
a
3
bc
,
2
2
b<
/p>
2
c
2
a
2
1
,
A
60
0
b
c
a
3
bc
,cos
A
2
bc
2
2
2
2
6.C
c
a
b
2
ab
cos
C
9,
c
3
，
B
为最大角，
cos
B
二、填空题
1.
2
2
2
1
7
2
39
1<
/p>
1
3
3,
c
4,
a
2
13,
a
13
S
ABC
bc
sin
A
c
3
2
2
2
a
b
c
a
13
2
39
sin
A
sin
B
sin
C
sin
A
3
3
2
1
0